113 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《流體力學（C）》

此題主要考驗對流體力學基本定律的掌握，包含連續性方程式（Continuity Equation）以及 Navier-Stokes 方程式。

核心觀念：

1. 連續性方程式 (Continuity Equation)： 代表質量的守恆，對於不可壓縮流體，其形式為 $\nabla \cdot V = 0$。
2. Navier-Stokes 方程式 (Navier-Stokes Equation)： 代表動量守恆，對於不可壓縮、牛頓流體，其形式為 $\rho \left( \frac{\partial V}{\partial t} + V \cdot \nabla V \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 V + \rho g$。

解題步驟：

(a) 判斷速度場是否滿足連續性方程式與 Navier-Stokes 方程式

首先，我們需要計算速度場 $V$ 的散度（divergence）來檢查是否滿足連續性方程式。
速度場為 $V = Kxi + Kyj + Kzk$。
其中，速度分量為 $u = Kx$, $v = Ky$, $w = Kz$。

檢查連續性方程式：
連續性方程式對於不可壓縮流體為 $\nabla \cdot V = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$。
計算各偏微分：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (Kx)}{\partial x} = K$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (Ky)}{\partial y} = K$
$\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial (Kz)}{\partial z} = K$

將這些結果代入連續性方程式：
$\nabla \cdot V = K + K + K = 3K$

要使速度場滿足連續性方程式，必須有 $3K = 0$，也就是 $K=0$。
如果 $K \neq 0$，則此速度場不滿足連續性方程式。
因此，此速度場只有在 $K=0$ 時才是一個有效的不可壓縮流場解。

檢查 Navier-Stokes 方程式：
Navier-Stokes 方程式（忽略時間變化項 $\frac{\partial V}{\partial t}$，假設為定常流）：
$\rho (V \cdot \nabla V) = -\nabla p + \mu \nabla^2 V + \rho g$

我們先計算慣性力項 $V \cdot \nabla V$：
$V \cdot \nabla V = (u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z}) (u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k})$
$= \left( (Kx) \frac{\partial}{\partial x} + (Ky) \frac{\partial}{\partial y} + (Kz) \frac{\partial}{\partial z} \right) (Kx\hat{i} + Ky\hat{j} + Kz\hat{k})$

計算 $V \cdot \nabla u$, $V \cdot \nabla v$, $V \cdot \nabla w$：
$V \cdot \nabla u = (Kx)(K) + (Ky)(0) + (Kz)(0) = K^2x$
$V \cdot \nabla v = (Kx)(0) + (Ky)(K) + (Kz)(0) = K^2y$
$V \cdot \nabla w = (Kx)(0) + (Ky)(0) + (Kz)(K) = K^2z$

所以，慣性力項為 $V \cdot \nabla V = K^2x\hat{i} + K^2y\hat{j} + K^2z\hat{k} = K^2(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$。

接著計算黏滯力項 $\mu \nabla^2 V$：
$\nabla^2 V = \nabla^2 (Kxi + Kyj + Kzk) = \nabla^2(Kx)\hat{i} + \nabla^2(Ky)\hat{j} + \nabla^2(Kz)\hat{k}$
$\nabla^2(Kx) = \frac{\partial^2(Kx)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2(Kx)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2(Kx)}{\partial z^2} = 0 + 0 + 0 = 0$
同理，$\nabla^2(Ky) = 0$ 且 $\nabla^2(Kz) = 0$。
所以，$\nabla^2 V = 0$。

將以上結果代入 Navier-Stokes 方程式（假設 $g=0$ 且忽略時間變化）：
$\rho (K^2x\hat{i} + K^2y\hat{j} + K^2z\hat{k}) = -\nabla p + 0 + 0$
$\nabla p = -\rho K^2(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$

這表示如果 $K \neq 0$，則存在一個壓力梯度 $\nabla p$ 與慣性力項平衡。
然而，題目要求判斷是否為「有效解」，這通常意味著要同時滿足所有基本方程式。由於在 (a) 部分，我們已經發現此速度場只有在 $K=0$ 時才滿足連續性方程式。如果 $K=0$，則速度場 $V=0$，這是一個平凡解，顯然是連續性與 Navier-Stokes 方程式的解。

但如果我們考慮 $K \neq 0$ 的情況，並且假設題目意指「在不考慮連續性方程式的限制下，是否滿足 Navier-Stokes 方程式」，那麼我們需要進一步檢查。

對於 Navier-Stokes 方程式，我們需要檢查壓力梯度 $\nabla p$ 是否可以被找到。
$\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho K^2 x$
$\frac{\partial p}{\partial y} = -\rho K^2 y$

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理。若一個物理關係包含 $n$ 個變數，且基本因次數為 $r$，則可組成 $n-r$ 個彼此獨立的無因次群。

本題變數為

$$\tau_w=f\left(U,\delta,u',\rho,\frac{dp}{dx}\right)$$

共包含 $6$ 個變數，基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，因此可組成

$$6-3=3$$

個無因次群。

指定重複變數為 $\rho$、$U$、$\delta$。

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解題方法

各變數因次如下：

$$\begin{array}{c|c} \text{變數} & \text{因次} \\ \hline \tau_w & ML^{-1}T^{-2} \\ U & LT^{-1} \\ \delta & L \\ u' & LT^{-1} \\ \rho & ML^{-3} \\ \dfrac{dp}{dx} & ML^{-2}T^{-2} \end{array}$$

1. 建立壁面剪應力的無因次群

設

$$\Pi_1=\tau_w \rho^a U^b \delta^c$$

代入因次：

$$[\Pi_1] = (ML^{-1}T^{-2})(ML^{-3})^a(LT^{-1})^b(L)^c$$

整理得

$$[\Pi_1] = M^{1+a}L^{-1-3a+b+c}T^{-2-b}$$

令各基本因次的指數皆為零：

$$1+a=0$$ $$-2-b=0$$ $$-1-3a+b+c=0$$

因此

$$a=-1,\qquad b=-2,\qquad c=0$$

所以

$$\Pi_1=\frac{\tau_w}{\rho U^2}$$

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2. 建立局部紊流速度的無因次群

設

$$\Pi_2=u'\rho^a U^b\delta^c$$

因為 $u'$ 與 $U$ 的因次相同，直接得到

$$\Pi_2=\frac{u'}{U}$$

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3. 建立壓力梯度的無因次群

設

$$\Pi_3=\frac{dp}{dx}\rho^a U^b\delta^c$$

代入因次：

$$[\Pi_3] = (ML^{-2}T^{-2})(ML^{-3})^a(LT^{-1})^b(L)^c$$

整理得

$$[\Pi_3] = M^{1+a}L^{-2-3a+b+c}T^{-2-b}$$

令各基本因次指數為零：

$$1+a=0$$ $$-2-b=0$$

核心觀念

本題利用細管內充分發展流動的 Hagen–Poiseuille 定律估算黏度：

$$\Delta p=\frac{32\mu L V}{D^2}$$

其中：

• $\mu$：動黏度以外的「絕對黏度」或動力黏度，單位 $\mathrm{Pa\cdot s}$
• $L$：管長
• $D$：管徑
• $V$：管內平均流速

容器自由液面至管出口的總水頭差為

$$H=0.12+0.30=0.42\ \mathrm{m}$$

因此管內可用的壓力降近似為

$$\Delta p=\rho gH$$

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解題方法

液體比重為 $0.95$，故密度為

$$\rho=0.95(1000)=950\ \mathrm{kg/m^3}$$

流量：

$$Q=1.9\ \mathrm{cm^3/s} =1.9\times10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}$$

管截面積：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.002)^2}{4} =3.1416\times10^{-6}\ \mathrm{m^2}$$

管內平均流速：

$$V=\frac{Q}{A} =\frac{1.9\times10^{-6}}{3.1416\times10^{-6}} =0.604\ \mathrm{m/s}$$

由自由液面至出口的水頭差：

$$H=0.12+0.30=0.42\ \mathrm{m}$$

壓力降為

核心觀念

本題考查「傾斜平板上的重力驅動層流」。使用：

• $x$ 軸沿平板向下；
• $y$ 軸垂直平板，壁面為 $y=0$，自由液面為 $y=h$；
• 動力黏度為 $\mu$，比重（單位體積重量）為 $\gamma=\rho g$；
• 平板與水平夾角為 $\theta$，重力沿平板方向的分量為 $\gamma\sin\theta$。

液膜為定常、充分發展流，因此 $u=u(y)$，且 $\partial p/\partial x=0$。

解題方法

沿平板方向的 Navier–Stokes 方程式為

$$0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dy^2} +\gamma\sin\theta .$$

由於自由液面平行於平板且為大氣壓，故

$$\frac{\partial p}{\partial x}=0.$$

因此

$$\mu\frac{d^2u}{dy^2}+\gamma\sin\theta=0.$$

題目給定

$$u=Cy(2h-y)=2Chy-Cy^2,$$

所以

$$\frac{d^2u}{dy^2}=-2C.$$

代回動量方程式：

$$-2\mu C+\gamma\sin\theta=0.$$

故

$$\boxed{C=\frac{\gamma\sin\theta}{2\mu}}.$$

此結果也符合邊界條件：

核心觀念

本題使用：

1. 連續方程式
   $\dot{m}=\rho A_1V_1=\rho A_2V_2$

2. 線動量方程式
   $\sum F_x=\dot{m}(V_2-V_1)$

其中流體由截面 1 流向截面 2，且截面 2 排入大氣，因此

$P_2=P_a$

截面積為

$A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}$

解題方法

取流動方向，即由截面 1 指向截面 2，為正方向。對突然收縮區內的流體取控制體積。

沿流動方向的外力包括：

• 截面 1 的壓力力：$P_1A_1$
• 截面 2 的壓力力：反向，因此為 $-P_2A_2$
• 管壁對流體的作用力：設為 $R$

線動量方程式為

$P_1A_1-P_2A_2+R=\dot{m}(V_2-V_1)$

因此

$R=\dot{m}(V_2-V_1)-P_1A_1+P_2A_2$

$R$ 是收縮管壁對流體的力；題目所求的 $F$ 是流體對收縮結構的力，依牛頓第三定律，

$F=-R$

故

$F=P_1A_1-P_2A_2-\dot{m}(V_2-V_1)$

代入 $P_2=P_a$ 及 $\dot{m}=\rho A_2V_2$，得