109 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（在職生）《流體力學（C）》

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第 1 題25 分

An open tank containing water has a bulge in its vertical side that is semicircular in shape as shown in Fig. 1.
Determine the magnitude and direction of the horizontal and vertical components of the force that the water
exerts on the bulge. Note that length of the bulge is b, specific weight of water is denoted as γH2O\gamma_{H_2O}.

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核心觀念

曲面所受靜水壓力可分解為：

  1. 水平分量：等於曲面在垂直平面上的投影面所受之靜水壓力。
  2. 垂直分量：等於曲面上方假想水體的重量。

由圖可知，半圓形凸起半徑為 RR、軸向長度為 bb，且 HH 為自由液面至半圓形上端的深度。

水平分量

半圓曲面在垂直平面上的投影為高 2R2R、寬 bb 的矩形，因此

Av=2RbA_v=2Rb

投影矩形形心位於半圓中心，其深度為

hc=H+Rh_c=H+R

靜水壓力水平分量為

FH=γH2OhcAvF_H=\gamma_{H_2O}h_cA_v

因此

FH=2γH2ORb(H+R)\boxed{F_H=2\gamma_{H_2O}Rb(H+R)}

水位以上壓力較小、下方壓力較大，且水位於凸起左側，所以水平合力方向為向右。

垂直分量

垂直分量等於曲面上方假想水體的重量。此假想水體的截面為半圓，面積為

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第 2 題25 分

A bathtub is being filled with water from a faucet. The rate of flow from the faucet is steady. The tub volume is approximated by a rectangular space as indicated in Fig. 2. Estimate the time rate of change of the depth of water in the tub, dh/dtdh/dt, at any instant. Choose the deformable water body including vertical water column as your control volume, and compute ddt∫c.v.ρdV\frac{d}{dt}\int_{c.v.} \rho dV and ∫c.s.ρ(v⃗⋅n⃗)dA\int_{c.s.} \rho(\vec{v} \cdot \vec{n}) dA respectively.

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核心觀念

本題應使用含有「浴缸內水體＋水龍頭至自由液面間垂直水柱」的變形控制體積，套用含移動控制面的質量守恆式：

ddt∫c.v.ρ dV+∫c.s.ρ(v⃗−w⃗)⋅n⃗ dA=0\frac{d}{dt}\int_{c.v.}\rho\,dV + \int_{c.s.}\rho(\vec v-\vec w)\cdot\vec n\,dA=0

其中：

  • L,WL,W：浴缸長、寬；
  • hh：浴缸內水深；
  • AjA_j：垂直水柱截面積；
  • VV：水柱速度；
  • Q=AjVQ=A_jV：水龍頭穩定流量；
  • w⃗\vec w：控制面速度。

解題方法

依圖將垂直水柱視為截面積固定為 AjA_j 的水柱。若浴缸高度為 HH，控制體積內的水量為

Vc.v.=LWh+Aj(H−h)V_{c.v.}=LWh+A_j(H-h)

因此控制體積內的質量為

∫c.v.ρ dV=ρ[LWh+Aj(H−h)].\int_{c.v.}\rho\,dV = \rho\left[LWh+A_j(H-h)\right].

因為 HH、LL、WW、AjA_j 皆為定值，所以

ddt∫c.v.ρ dV=ρ(LW−Aj)dhdt.\frac{d}{dt}\int_{c.v.}\rho\,dV = \rho(LW-A_j)\frac{dh}{dt}.

其中 −Aj-A_j 的原因是水面上升時，垂直水柱長度 H−hH-h 變短。

接著計算控制面上的質量通量。水流由上方進入控制體積，入口處控制面固定，因此 w⃗=0\vec w=0。取外法向量向上，水流速度向下：

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第 3 題25 分

The fluid flows horizontally through an abrupt expansion as indicated in Fig.3, where A1A_1 is the cross-sectional area upstream of expansion, A2A_2 is the cross-sectional area downstream of expansion, and V1V_1 is the velocity of flow upstream of expansion. Indicate the control volume you choose. Write down the title of conservation laws you use, and derive the head loss from upstream to downstream in terms of V122g\frac{V_1^2}{2g} and A2A1\frac{A_2}{A_1}.

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核心觀念

本題考查突擴管的局部水頭損失。先用連續方程求下游平均流速，再以動量方程求壓力變化，最後代入能量方程求水頭損失。

依圖中流向，流體由右側小管的截面（1）流向左側大管的截面（2），所以 A1<A2A_1<A_2，且 V1V_1 是上游流速。

控制體與解題推導

取控制體涵蓋突擴處，入口設在截面（1），出口設在截面（2）。假設流動為穩定、不可壓縮且水平；截面上的速度以平均流速表示，擴張肩部的壓力取為上游壓力 p1p_1。

由質量守恆（連續方程）：

A1V1=A2V2⟹V2=V1A1A2A_1V_1=A_2V_2 \quad\Longrightarrow\quad V_2=V_1\frac{A_1}{A_2}

對控制體套用線動量守恆。擴張肩部的壓力作用計入後，軸向壓力合力為 (p1−p2)A2(p_1-p_2)A_2，因此：

(p1−p2)A2=ρA2V22−ρA1V12(p_1-p_2)A_2 =\rho A_2V_2^2-\rho A_1V_1^2

再用 A1V1=A2V2A_1V_1=A_2V_2 化簡：

p2−p1=ρV2(V1−V2)p_2-p_1=\rho V_2(V_1-V_2)

接著套用穩定流能量方程（伯努力方程含水頭損失）。管線水平，位能項相消：

p1ρg+V122g=p2ρg+V222g+hL\frac{p_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+h_L

所以

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第 4 題25 分

(a) For a segment between two points in a circular pipe, show that the major head loss due to friction is hf=d(p+pgz)Yh_f = \frac{d(p+pgz)}{Y}
(b) If the wall shear stress of a circular pipe, τw\tau_w, is a function of ϵ\epsilon, VV, dd, μ\mu, ρ\rho, where ϵ\epsilon is the roughness height of the pipe, VV is the cross sectional averaged speed of the flow, dd is the pipe diameter, μ\mu is the fluid viscosity, ρ\rho is fluid density, i.e. τw=f(ϵ,V,d,μ,ρ)\tau_w = f(\epsilon, V, d, \mu, \rho). Perform dimensional analysis to see the friction factor f=8τwρV2f = \frac{8 \tau_w}{\rho V^2} is a function of what non-dimensional parameter(s).
(c) If τw=d(p+ρgz)dx\tau_w = \frac{d(p+\rho gz)}{dx}, i.e. τw=dΔPtotaldx\tau_w = \frac{d\Delta P_{total}}{dx} is given by force balance, derive Darcy-Weisbach equation for pipe flow.

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核心觀念

本題整合三個流體力學基本觀念：

  1. 能量方程與水頭損失：管內流動因黏性摩擦造成機械能沿程降低。
  2. Buckingham Π\Pi 定理：由壁面剪應力、粗糙度、流速、管徑、黏度與密度建立無因次關係。
  3. 微小控制體受力平衡：以管內一小段流體推導壁面剪應力，再連結 Darcy 摩擦因子。

記流體單位重為

γ=ρg\gamma=\rho g

其中 pp 為壓力、zz 為高程、ρ\rho 為密度、gg 為重力加速度。

(a) 沿程摩擦水頭損失

解題方法

對穩定、不可壓縮、定常流動，若管徑固定，平均速度 VV 不變，則兩點間的機械能方程為

p1γ+z1=p2γ+z2+hf\frac{p_1}{\gamma}+z_1 = \frac{p_2}{\gamma}+z_2+h_f

因此

hf=(p1γ+z1)−(p2γ+z2)h_f = \left(\frac{p_1}{\gamma}+z_1\right) - \left(\frac{p_2}{\gamma}+z_2\right)

以微分形式表示，沿流動方向的微小摩擦水頭損失為

dhf=−d(pγ+z)dh_f = -d\left(\frac{p}{\gamma}+z\right)

整理得

dhf=−d(p+γz)γdh_f = -\frac{d(p+\gamma z)}{\gamma}

所以，從點 11 到點 22 的主要沿程水頭損失為

hf=−∫12d(p+γz)γh_f = -\int_1^2\frac{d(p+\gamma z)}{\gamma}

若 γ\gamma 為常數，則

hf=(p1+γz1)−(p2+γz2)γh_f = \frac{(p_1+\gamma z_1)-(p_2+\gamma z_2)}{\gamma}

由於流動方向上總壓水頭會下降，因此 dhf>0dh_f>0。

題目中的 YY 若代表單位重，則其正確的微分寫法為

dhf=−d(p+ρgz)Ydh_f=-\frac{d(p+\rho gz)}{Y}

其中 Y=γ=ρgY=\gamma=\rho g。若只寫成 hf=d(p+ρgz)/Yh_f=d(p+\rho gz)/Y，則缺少微分水頭損失的負號與積分概念。

(b) 摩擦因子的無因次參數

已知

τw=f(ϵ,V,d,μ,ρ)\tau_w=f(\epsilon,V,d,\mu,\rho)

其中各物理量的基本因次為：

物理量意義因次
τw\tau_w壁面剪應力ML−1T−2ML^{-1}T^{-2}
ϵ\epsilon粗糙度高度LL
VV平均流速LT−1LT^{-1}
dd管徑LL
μ\mu動力黏度ML−1T−1ML^{-1}T^{-1}
ρ\rho密度ML−3ML^{-3}

共有 66 個變數，基本因次為 M,L,TM,L,T 三種，因此依 Buckingham Π\Pi 定理可建立

6−3=36-3=3

個獨立無因次群。

選取 ρ\rho、VV、dd 為重複變數，可得：

第一個無因次群

Π1=τwρV2\Pi_1=\frac{\tau_w}{\rho V^2}

第二個無因次群

Π2=ϵd\Pi_2=\frac{\epsilon}{d}

這是相對粗糙度。

第三個無因次群

Π3=μρVd\Pi_3=\frac{\mu}{\rho Vd}

其倒數為 Reynolds 數：

Re=ρVdμRe=\frac{\rho Vd}{\mu}

因此可寫成

τwρV2=Φ(ϵd,μρVd)\frac{\tau_w}{\rho V^2} = \Phi\left(\frac{\epsilon}{d},\frac{\mu}{\rho Vd}\right)

題目定義摩擦因子

f=8τwρV2f=\frac{8\tau_w}{\rho V^2}

乘上一個無因次常數 88 不會改變函數的變數，因此

f=Φ(ϵd,Re)\boxed{ f=\Phi\left(\frac{\epsilon}{d},Re\right) }

也就是說，摩擦因子由下列兩個無因次參數決定：

ϵd與Re=ρVdμ\boxed{ \frac{\epsilon}{d} \quad\text{與}\quad Re=\frac{\rho Vd}{\mu} }

(c) Darcy-Weisbach 方程式推導

1. 微小管段受力平衡

取直徑為 dd、長度為 dxdx 的圓管微小控制體。考慮壓力與重力合併後的總壓力

Pt=p+ρgzP_t=p+\rho gz

在 xx 方向上，壓力與重力所造成的推動力為

−dPtdx A dx-\frac{dP_t}{dx}\,A\,dx
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