109 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》

核心觀念

本題利用複合面積法求形心軸的慣性矩，再由慣性矩轉換式求主慣性軸與主慣性矩。

依原圖，截面實際為：

• 中央水平矩形：$150\text{ mm}\times 12\text{ mm}$
• 左端向下矩形：$12\text{ mm}\times 50\text{ mm}$
• 右端向上矩形：$12\text{ mm}\times 50\text{ mm}$

兩端垂直矩形方向相反，並非一般單純的 L 形截面。由圖形的對稱性，形心 $C$ 位於水平矩形的中央，且圖示 $x$、$y$ 軸即為形心軸。

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一、各部分面積與位置

取 $C$ 為原點，$x$ 軸向右、$y$ 軸向上。

水平矩形：

$$A_1=150(12)=1800\text{ mm}^2$$

其形心位於原點，因此

$$x_1=0,\qquad y_1=0$$

左右兩個垂直矩形：

$$A_2=A_3=12(50)=600\text{ mm}^2$$

左側矩形形心座標為

$$x_2=-\left(75-\frac{12}{2}\right)=-69\text{ mm}$$ $$y_2=-\left(\frac{12}{2}+\frac{50}{2}\right)=-31\text{ mm}$$

右側矩形形心座標為

$$x_3=69\text{ mm},\qquad y_3=31\text{ mm}$$

因此兩個垂直矩形的座標貢獻互相抵消，確認 $C$ 即為整體形心。

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二、形心軸慣性矩

矩形自身形心軸的慣性矩為

$$I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12}$$

其中 $b$ 為水平尺寸，$h$ 為垂直尺寸。

1. 水平矩形

$$I_{x1}=\frac{150(12)^3}{12}=21600\text{ mm}^4$$ $$I_{y1}=\frac{12(150)^3}{12}=2812500\text{ mm}^4$$

2. 左右垂直矩形

對每一個垂直矩形：

$$I_{x,c}=\frac{12(50)^3}{12}=125000\text{ mm}^4$$

利用平行軸定理：

$$I_{x}=I_{x,c}+Ad_y^2$$

其中 $d_y=31\text{ mm}$，所以每一個垂直矩形對 $x$ 軸的貢獻為

$$I_{x,v}=125000+600(31)^2$$ $$I_{x,v}=701600\text{ mm}^4$$

因此

$$I_x=21600+2(701600)$$ $$\boxed{I_x=1.4248\times 10^6\text{ mm}^4}$$

對 $y$ 軸：

$$I_{y,c}=\frac{50(12)^3}{12}=7200\text{ mm}^4$$

垂直矩形形心到 $y$ 軸的距離為 $d_x=69\text{ mm}$，故每一個的貢獻為

$$I_{y,v}=7200+600(69)^2$$ $$I_{y,v}=2863800\text{ mm}^4$$

因此

$$I_y=2812500+2(2863800)$$ $$\boxed{I_y=8.5401\times 10^6\text{ mm}^4}$$

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三、形心軸的乘積慣性矩

定義

$$I_{xy}=\int_A xy\,dA$$

水平矩形因位於座標軸中心，故

$$I_{xy,1}=0$$

左右垂直矩形的乘積慣性矩皆為

$$I_{xy,v}=A x_i y_i$$

本題要求繪製梁的剪力圖 (Shear Force Diagram, SFD) 和彎矩圖 (Bending Moment Diagram, BMD)，並標示出集中載荷和力偶矩作用點的剪力與彎矩值。

1. 計算支點反力

梁總長度為 L = 6 m。
支點 A 為鉸支點，可承受垂直反力 $R_{Ay}$ 和水平反力 $R_{Ax}$。
支點 B 為滾支點，可承受垂直反力 $R_{By}$。

作用力：

• 集中載荷 $P = 15$ kN，作用在 $x = 2$ m。
• 均勻分布載荷 $w = 10$ kN/m，作用在 $x = 3$ m 到 $x = 5$ m。其總等效集中載荷為 $W = w \times (5-3) = 10 \times 2 = 20$ kN，作用在分佈區間的中心，即 $x = (3+5)/2 = 4$ m。
• 力偶矩 $M_0 = 20$ kNm (順時針)，作用在 $x = 5$ m。

力平衡方程式：
$\sum F_x = 0 \implies R_{Ax} = 0$ (因為無水平外力)。

$\sum F_y = 0$：
$R_{Ay} - P - W + R_{By} = 0$
$R_{Ay} - 15 \text{ kN} - 20 \text{ kN} + R_{By} = 0$
$R_{Ay} + R_{By} = 35 \text{ kN}$ (方程式 1)

$\sum M_A = 0$ (以 A 點為參考點取力偶矩)：
$-P \times (2 \text{ m}) - W \times (4 \text{ m}) + M_0 + R_{By} \times (6 \text{ m}) = 0$
$-(15 \text{ kN})(2 \text{ m}) - (20 \text{ kN})(4 \text{ m}) + (20 \text{ kNm}) + R_{By}(6 \text{ m}) = 0$
$-30 \text{ kNm} - 80 \text{ kNm} + 20 \text{ kNm} + 6R_{By} = 0$
$-90 \text{ kNm} + 6R_{By} = 0$
$6R_{By} = 90 \text{ kNm}$
$R_{By} = \frac{90}{6} \text{ kN} = 15 \text{ kN}$

將 $R_{By}$ 代入方程式 1：
$R_{Ay} + 15 \text{ kN} = 35 \text{ kN}$
$R_{Ay} = 35 - 15 = 20 \text{ kN}$

所以，支點反力為：$R_{Ay} = 20$ kN (向上)，$R_{By} = 15$ kN (向上)。

2. 繪製剪力圖 (SFD)

我們從左到右分析梁，並考慮每個區間的剪力變化。
設 $V(x)$ 為在位置 x 的剪力。

• 區間 0 < x < 2 m (A 點到集中載荷點)：
  $V(x) = R_{Ay} = 20$ kN。
  在 A 點 ($x=0$)，剪力從 0 躍升至 20 kN。
  在 $x=2$ m 處，剪力為 20 kN。

• 在 x = 2 m 處 (集中載荷點)：
  有一個向下的 15 kN 集中載荷。
  剪力從 20 kN 突然下降 15 kN。
  $V(2^+) = V(2^-) - 15 \text{ kN} = 20 \text{ kN} - 15 \text{ kN} = 5$ kN。
  所以，在集中載荷作用點的剪力是 5 kN。

• 區間 2 < x < 3 m (集中載荷點到均勻分布載荷起點)：
  $V(x) = V(2^+) = 5$ kN。
  剪力值在此區間保持 5 kN。

• 區間 3 < x < 5 m (均勻分布載荷區間)：
  從 $x=3$ m 開始，有一個向下的均勻分布載荷 $w = 10$ kN/m。
  剪力隨 x 線性下降。
  $V(x) = V(3^-) - w \times (x-3)$
  $V(x) = 5 \text{ kN} - 10 \text{ kN/m} \times (x-3)$
  在 $x = 3$ m 處，$V(3^-) = 5$ kN。
  在 $x = 5$ m 處，$V(5^-) = 5 \text{ kN} - 10 \text{ kN/m} \times (5-3) \text{ m} = 5 \text{ kN} - 10 \times 2 \text{ kN} = 5 - 20 = -15$ kN。
  所以，在均勻分布載荷終點 ($x=5$ m) 的左側，剪力為 -15 kN。

• 在 x = 5 m 處 (力偶矩點)：
  有一個順時針 20 kNm 的力偶矩。
  力偶矩不改變剪力值。
  $V(5^+) = V(5^-) = -15$ kN。
  所以，在力偶矩作用點的剪力是 -15 kN。

• 區間 5 < x < 6 m (力偶矩點到 B 點)：
  $V(x) = V(5^+) = -15$ kN。
  剪力值在此區間保持 -15 kN。

• 在 B 點 ($x=6$ m)：
  有一個向上的反力 $R_{By} = 15$ kN。
  剪力從 -15 kN 躍升至 -15 kN + 15 kN = 0 kN。
  剪力圖在 B 點閉合為零，符合要求。

剪力圖特徵：

• 0-2m: +20 kN (水平線)
• 2m: 躍升 -15 kN (至 +5 kN)
• 2-3m: +5 kN (水平線)
• 3-5m: 線性下降，從 +5 kN 到 -15 kN (斜率 -10 kN/m)
• 5m: 力偶矩，剪力不變
• 5-6m: -15 kN (水平線)
• 6m: 躍升 +15 kN (至 0 kN)

3. 繪製彎矩圖 (BMD)

我們從左到右分析梁，並考慮每個區間的彎矩變化。
設 $M(x)$ 為在位置 x 的彎矩。
彎矩變化率 $dM/dx = V(x)$。
彎矩圖的斜率等於剪力圖的值。

• 區間 0 < x < 2 m：
  $V(x) = 20$ kN。
  $M(x) = \int V(x) dx = \int 20 dx = 20x + C_1$
  在 A 點 ($x=0$)，為鉸支點，彎矩為零。$M(0) = 0$。
  $0 = 20(0) + C_1 \implies C_1 = 0$。

核心觀念

本題考查：

• 平面剛體的平衡條件：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 靜摩擦極限：
  $F\leq \mu_s N$
• 梯子在臨界不滑動狀態時，接觸點的摩擦力達到最大值：
  $F=\mu_s N$

設每一側梯長為 $L=2.5\ \text{m}$，梯子兩腳與地面的夾角為 $\alpha$。題目所標示的 $\theta$ 是兩梯腳在鉸鏈 $C$ 處的夾角，因此：

$\theta=180^\circ-2\alpha$

解題方法

將右側梯腳單獨取出分析。右側梯腳為無質量構件，且只有 $B$ 點的地面反力與 $C$ 點的鉸鏈力。

在 $B$ 點，設垂直支持力為 $N_B$，水平摩擦力為 $F_B$。

以鉸鏈 $C$ 為力矩中心。由幾何關係，從 $C$ 到 $B$ 的水平距離為 $L\cos\alpha$，垂直距離為 $L\sin\alpha$。

取力矩平衡：

$$\sum M_C=0$$ $$N_B(L\cos\alpha)-F_B(L\sin\alpha)=0$$

因此：

$$F_B=N_B\cot\alpha$$

臨界不滑動時，$B$ 點摩擦力達到最大值：

$$F_B=\mu_sN_B$$

代入上式：

$$N_B\cot\alpha=\mu_sN_B$$

消去 $N_B$：

核心觀念

依原圖標示，兒童抬腿時質心在 $G_1$，且

$$OG_1=r_1=2.80\ \text{m}$$

放下雙腿後，質心移至 $G_2$，且

$$OG_2=r_2=3.00\ \text{m}$$

本題分為三個階段：

1. 由 $\theta_1=30^\circ$ 靜止擺至最低點：使用機械能守恆。
2. 在最低點瞬間放下雙腿：使用對懸掛點 $O$ 的角動量守恆。
3. 以 $G_2$ 為質心向上擺動至最高點：再次使用機械能守恆。

解題方法

設放腿前、後在最低點的速度分別為 $v_-$、$v_+$，兒童質量為 $m=40\ \text{kg}$。

由初始位置至最低點，質心下降高度為

$$\Delta h_1=r_1(1-\cos\theta_1)$$

因此

$$mg r_1(1-\cos30^\circ) =\frac12 m v_-^2$$

質量約去後，

$$v_-=\sqrt{2gr_1(1-\cos30^\circ)}$$

代入 $g=9.81\ \text{m/s}^2$、$r_1=2.80\ \text{m}$：

$$v_-=\sqrt{2(9.81)(2.80)(1-\cos30^\circ)} =2.713\ \text{m/s}$$

在最低點放下雙腿的瞬間，懸掛點反力通過 $O$，對 $O$ 不產生力矩；重力的衝量可忽略，因此對 $O$ 的角動量守恆：