108 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》

核心觀念

本題使用：

• 光滑牆面只能提供「垂直於牆面」的法向力，沒有摩擦力。
• 均勻鋼軸的重量作用於中點。
• 以 $A$ 點取力矩，可消去球鉸鏈反力 $\mathbf R_A$。
• 球鉸鏈 $A$ 可提供三個方向的力分量，但不提供反力偶矩。

令兩牆交線在地面的投影為 $O$，取 $z$ 軸鉛直向上；$x$、$y$ 軸分別沿圖中 $6\text{ m}$ 與 $2\text{ m}$ 的方向，則

$$A=(6,2,0),\qquad B=(0,0,h).$$

(a) 自由體圖

將鋼軸單獨取出，應標示：

1. 鋼軸中點 $G$ 的重量

   $$\mathbf W=-200(9.81)\mathbf k=-1962\mathbf k\ \text{N}.$$

2. $A$ 點球鉸鏈反力

   $$\mathbf R_A=A_x\mathbf i+A_y\mathbf j+A_z\mathbf k.$$

3. $B$ 點與兩面光滑垂直牆的接觸反力。兩力皆為水平法向力：

   $$\mathbf R_B=B_x\mathbf i+B_y\mathbf j.$$

其中 $B_x$、$B_y$ 分別為兩面牆對鋼軸的法向反力。

(b) 球端 $B$ 的高度

鋼軸長度為 $7\text{ m}$，其水平投影長度為

$$OB_{\text{水平}}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\text{ m}.$$

因此由空間直角三角形：

$$7^2=6^2+2^2+h^2.$$

解得

$$h=\sqrt{49-36-4} =\sqrt{9} =3\text{ m}.$$

所以

$$\boxed{B\text{ 點離地高度}=3\text{ m}}.$$

(c) 以 $\sum\mathbf M_A=0$ 求 $B$ 點反力

因鋼軸均勻，重心 $G$ 位於 $AB$ 中點，因此

$$\mathbf r_{B/A}=-6\mathbf i-2\mathbf j+3\mathbf k\ \text{m},$$ $$\mathbf r_{G/A}=-3\mathbf i-\mathbf j+1.5\mathbf k\ \text{m}.$$

取 $A$ 點力矩：

$$\mathbf r_{B/A}\times\mathbf R_B +\mathbf r_{G/A}\times\mathbf W=0.$$

先計算接觸反力所產生的力矩：

$$\begin{aligned} \mathbf r_{B/A}\times\mathbf R_B &= \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ -6&-2&3\\ B_x&B_y&0 \end{vmatrix} \\ &=-3B_y\mathbf i+3B_x\mathbf j +(2B_x-6B_y)\mathbf k. \end{aligned}$$

重量所產生的力矩為

本題考驗平面區域質心 (centroid) 的計算，使用積分法求解。

給定的曲線為 $y = a \sin(\frac{\pi x}{\alpha})$，範圍是 $0 \le x \le \alpha$。
我們需要計算此區域的質心 $(\bar{x}, \bar{y})$。

質心的座標公式為：
$\bar{x} = \frac{\int x \, dA}{\int dA}$
$\bar{y} = \frac{\int y \, dA}{\int dA}$

其中 $\int dA$ 是總面積 $A$。
對於平面區域，我們可以將 $dA$ 表示為 $y \, dx$ (垂直切片) 或 $x \, dy$ (水平切片)。在這裡，使用垂直切片 $dA = y \, dx$ 比較方便。

計算總面積 A:
$A = \int_0^\alpha y \, dx = \int_0^\alpha a \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \, dx$
令 $u = \frac{\pi x}{\alpha}$，則 $du = \frac{\pi}{\alpha} dx \implies dx = \frac{\alpha}{\pi} du$。
當 $x=0$, $u=0$。當 $x=\alpha$, $u=\pi$。
$A = \int_0^\pi a \sin(u) \left(\frac{\alpha}{\pi} du\right) = \frac{a\alpha}{\pi} \int_0^\pi \sin(u) \, du$
$A = \frac{a\alpha}{\pi} [-\cos(u)]_0^\pi = \frac{a\alpha}{\pi} (-\cos(\pi) - (-\cos(0)))$
$A = \frac{a\alpha}{\pi} (-(-1) - (-1)) = \frac{a\alpha}{\pi} (1 + 1) = \frac{2a\alpha}{\pi}$。

計算質心 $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{\int_0^\alpha x \, y \, dx}{A} = \frac{1}{A} \int_0^\alpha x \left( a \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \right) \, dx$
$\bar{x} = \frac{a}{A} \int_0^\alpha x \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \, dx$
我們需要對 $x \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right)$ 進行積分。使用分部積分法：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
令 $u = x$，$dv = \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \, dx$。
則 $du = dx$， $v = \int \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \, dx = -\frac{\alpha}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right)$。

$\int_0^\alpha x \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \, dx = \left[ x \left(-\frac{\alpha}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right)\right) \right]_0^\alpha - \int_0^\alpha \left(-\frac{\alpha}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right)\right) \, dx$
$= \left[ -\frac{\alpha x}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \right]_0^\alpha + \frac{\alpha}{\pi} \int_0^\alpha \cos\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \, dx$

第一項：
$\left[ -\frac{\alpha x}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right) \right]_0^\alpha = \left(-\frac{\alpha (\alpha)}{\pi} \cos\left(\frac{\pi \alpha}{\alpha}\right)\right) - \left(-\frac{\alpha (0)}{\pi} \cos\left(\frac{\pi (0)}{\alpha}\right)\right)$
$= -\frac{\alpha^2}{\pi} \cos(\pi) - 0 = -\frac{\alpha^2}{\pi} (-1) = \frac{\alpha^2}{\pi}$。

本題考驗靜力平衡與靜摩擦力的應用。一個 5 kg 的圓柱體由兩條等長繩子懸吊，繩子的另一端連接著通過水平軸的環。當環與軸之間有靜摩擦力時，才能支撐住圓柱體。

題目設定:

• 圓柱體質量 $m = 5$ kg。
• 圓柱體重力 $W = mg = 5 \times 9.81 = 49.05$ N。
• 兩繩子等長，且連接到環上。
• 環通過水平軸，環本身質量忽略不計。
• 環與軸之間存在靜摩擦力。
• 圖示顯示，當兩環分開距離為 $d$ 時，每條繩子與水平方向的夾角為 $\theta$。
• 繩子與水平方向的夾角 $\theta$ 可以由圓柱體的懸掛點到軸的垂直距離（圖示為 600 mm = 0.6 m）以及兩環之間的距離 $d$ 來決定。
• 從圖示可知，繩子與水平線夾角 $\theta$ 滿足 $\tan \theta = \frac{0.6 \text{ m}}{d/2}$。

分析圓柱體與繩子的受力 (靜力平衡):
圓柱體受到兩個繩子的張力 $T_1$ 和 $T_2$，以及重力 $W$。由於圓柱體靜止，合力為零。
由於兩繩等長，且圓柱體位於兩環的正中間，故 $T_1 = T_2 = T$。
對圓柱體進行力平衡分析：
$\sum F_y = 2T \sin \theta - W = 0 \implies T = \frac{W}{2 \sin \theta}$
$\sum F_x = 2T \cos \theta = 0$。這個是錯誤的。繩子的張力 T 應該只有垂直方向的分量來支撐 W。水平方向的分量應該由摩擦力來平衡。

重新思考：
圓柱體由繩子懸吊，繩子連接到環。環在水平軸上。
圓柱體受重力 $W$。
兩繩子的張力 $T$。
繩子的張力 $T$ 垂直於圓柱體，並將力傳遞到環。
每個環受到來自繩子的張力 $T$ 的一個分量，以及來自軸的摩擦力 $f$。
假設兩環分別位於 $x = -d/2$ 和 $x = d/2$。
圓柱體懸掛在 $x=0$ 位置。
繩子與水平線夾角為 $\theta$。
從圖示看，繩子的張力 T 是將圓柱體拉起的力。
圓柱體受力：重力 $W$ 向下，繩子張力 $T_1$ 和 $T_2$ 向右上和右上。
由於對稱性，$T_1 = T_2 = T$。
垂直方向：$2T \sin \theta = W$。
水平方向：左右兩個張力分量 $T \cos \theta$ 應該被環上的摩擦力平衡。
但是，繩子是連接到環上的。所以張力 $T$ 是從圓柱體傳遞到環上的。
每個環受力：

1. 來自繩子的張力 $T$ 的分量。
2. 來自軸的摩擦力 $f$。
3. 來自軸的支持力 $N$。

讓我們從環開始分析。
每個環受到來自繩子的張力 $T$。此張力 $T$ 的方向指向圓柱體。
繩子與水平線的夾角為 $\theta$。
所以，張力 $T$ 在水平方向的分量是 $T \cos \theta$，在垂直方向的分量是 $T \sin \theta$。
這些分量作用在環上。
圓柱體總重力 $W$。
由 $2T \sin \theta = W$ 可知，$T \sin \theta = W/2$。
這表示每個環承受的來自繩子的垂直向下的力分量是 $W/2$。
每個環承受的來自繩子的水平向前的力分量是 $T \cos \theta$。

由於圓柱體靜止，整個系統是靜止的。
這意味著作用在每個環上的水平力必須平衡。
作用在左環的水平力：來自繩子的張力 $T \cos \theta$ (向右)，以及軸給予的摩擦力 $f_L$ (向左)。
作用在右環的水平力：來自繩子的張力 $T \cos \theta$ (向左)，以及軸給予的摩擦力 $f_R$ (向右)。
由於對稱性，$f_L = f_R = f$。
為了支撐圓柱體，必須有靜摩擦力。
因此，在左環，水平平衡方程為：$T \cos \theta - f_L = 0 \implies T \cos \theta = f_L$。
在右環，水平平衡方程為：$T \cos \theta - f_R = 0 \implies T \cos \theta = f_R$。
所以，$f = T \cos \theta$。
最大靜摩擦力為 $f_{s,max} = \mu_s N$。
每個環受到的垂直支撐力 $N$ 是來自軸的支持力。

核心觀念

本題考查平面剛體運動的加速度分析：

$$\mathbf a_B = \boldsymbol\alpha_{AB}\times\mathbf r_{B/A} -\omega_{AB}^{\,2}\mathbf r_{B/A}$$

以及連桿 $BC$ 的相對加速度關係：

$$\mathbf a_C = \mathbf a_B + \boldsymbol\alpha_{BC}\times\mathbf r_{C/B} -\omega_{BC}^{\,2}\mathbf r_{C/B}$$

活塞 $C$ 只能沿鉛直方向運動，因此必須滿足

$$a_{Cx}=0$$

以 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。

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幾何關係

由圖得

$$AB=0.25\text{ m},\qquad BC=0.75\text{ m}$$

且 $AB$ 與水平夾角 $45^\circ$，$BC$ 與鉛直夾角 $13.6^\circ$。

因此

$$\mathbf r_{B/A} = -0.25\cos45^\circ\,\mathbf i + 0.25\sin45^\circ\,\mathbf j$$ $$\mathbf r_{B/A} = (-0.1768\,\mathbf i+0.1768\,\mathbf j)\text{ m}$$ $$\mathbf r_{C/B} = 0.75\sin13.6^\circ\,\mathbf i + 0.75\cos13.6^\circ\,\mathbf j$$ $$\mathbf r_{C/B} = (0.1764\,\mathbf i+0.7290\,\mathbf j)\text{ m}$$

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(b) 點 $B$ 的加速度

曲柄 $AB$ 的角速度大小為 $10\text{ rad/s}$，角加速度為順時針：

$$\boldsymbol\omega_{AB}=-10\mathbf k,\qquad \boldsymbol\alpha_{AB}=-20\mathbf k$$

所以

$$\mathbf a_B = (-20\mathbf k)\times\mathbf r_{B/A} - 10^2\mathbf r_{B/A}$$

切向加速度為

$$\boldsymbol\alpha_{AB}\times\mathbf r_{B/A} = (3.536\,\mathbf i+3.536\,\mathbf j)\text{ m/s}^2$$

法向加速度為