115 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》

本題主要考驗結構學中靜力平衡的概念，特別是樑與懸吊系統的受力分析。

首先，我們需要分析樑 AB 的受力情況。樑 AB 的長度為 0.5 m，單位長度質量為 95 kg/m，因此其總質量為 $m = 95 \text{ kg/m} \times 0.5 \text{ m} = 47.5 \text{ kg}$。樑 AB 的重量 $W$ 為 $W = mg = 47.5 \text{ kg} \times 9.81 \text{ m/s}^2 \approx 465.975 \text{ N}$。這個重量作用在樑的質心，也就是樑的中點。

樑 AB 還受到三個力的作用：

1. 銷釘 A 的支撐力（我們要求解的）。
2. 懸吊繩的張力 $T$，作用在距離 A 點 0.25 m 處，方向向上。
3. 外部載重 10 kN，作用在距離 A 點 1.5 m 處，方向向下。

樑 AB 的重量 $W$ 作用在距離 A 點 0.25 m 處（因為它是均勻樑，質心在中心）。

(a) 求懸吊繩的張力 $T$：
根據題目提示，只需要一個方程式。我們可以對樑 AB 進行靜力平衡分析。由於銷釘 A 是一個支點，我們可以取 A 點為力矩的參考點，以消除銷釘 A 的支撐力對力矩的貢獻。

作用在樑 AB 上的力矩（以 A 點為參考點）：

• 懸吊繩張力 $T$ 產生的力矩：$T \times 0.25 \text{ m}$ （順時針方向，假設 $T$ 向上）
• 樑的重量 $W$ 產生的力矩：$W \times 0.25 \text{ m}$ （逆時針方向）
• 外部載重 10 kN 產生的力矩：$10 \text{ kN} \times 1.5 \text{ m} = 10000 \text{ N} \times 1.5 \text{ m} = 15000 \text{ Nm}$ （逆時針方向）

為了簡化，我們將 10 kN 視為 10000 N。
根據靜力平衡，總力矩為零：
$\sum M_A = 0$

核心觀念

本題考查平面面積與形心座標：

$$\bar{x}=\frac{M_y}{A},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{A}$$

其中 $M_y$ 為對 $y$ 軸的一次面積矩，$M_x$ 為對 $x$ 軸的一次面積矩。

由圖可知，陰影區域由 $y$ 軸與曲線

$$y^2=1-0.5x$$

所圍成，且範圍為 $-1\le y\le 1$、$0\le x\le 2$。將曲線改寫為

$$x=2(1-y^2)$$

圖形關於 $x$ 軸對稱，因此形心的 $y$ 座標必為 $0$。

解題方法

採用水平微小面積條，因為曲線已可直接表示成 $x$ 關於 $y$ 的函數：

$$dA=x(y)\,dy=2(1-y^2)\,dy$$

(a) 陰影面積

$$\begin{aligned} A &=\int_{-1}^{1}2(1-y^2)\,dy\\ &=2\left[y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{1}\\ &=2\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)\\ &=\frac{8}{3}\ {\rm m^2} \end{aligned}$$

(b) 形心座標

對 $y$ 軸的一次面積矩為

核心觀念

相對運動的基本關係為

$$\mathbf v_{A/B}=\mathbf v_A-\mathbf v_B,\qquad \mathbf a_{A/B}=\mathbf a_A-\mathbf a_B$$

A 點作曲線運動，其加速度分為切向與法向：

$$\mathbf a_A=a_t\mathbf e_t+a_n\mathbf e_n$$

其中

$$a_t=\dot v=0.5\ \text{m/s}^2,\qquad a_n=\frac{v_A^2}{R}$$

由圖得彎道半徑 $R=50\ \text{m}$，半徑 $OA$ 與 $+x$ 軸夾角為 $40^\circ$。依圖示，A 沿彎道順時針運動。

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解題方法

取 $+x$ 軸向右、$+y$ 軸向上。A 點的切向單位向量為

$$\mathbf e_t=\sin40^\circ\,\mathbf i-\cos40^\circ\,\mathbf j$$

指向圓心的法向單位向量為

$$\mathbf e_n=-\cos40^\circ\,\mathbf i-\sin40^\circ\,\mathbf j$$

B 點沿直線向右運動，因此

$$\mathbf v_B=8.5\,\mathbf i\ \text{m/s}$$ $$\mathbf a_B=0.7\,\mathbf i\ \text{m/s}^2$$

(a) A 相對於 B 的速度

A 點速度為

$$\begin{aligned} \mathbf v_A &=7\left(\sin40^\circ\,\mathbf i-\cos40^\circ\,\mathbf j\right)\\ &=(4.500\,\mathbf i-5.362\,\mathbf j)\ \text{m/s} \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} \mathbf v_{A/B} &=\mathbf v_A-\mathbf v_B\\ &=(4.500\,\mathbf i-5.362\,\mathbf j)-8.5\,\mathbf i\\ &=(-4.000\,\mathbf i-5.362\,\mathbf j)\ \text{m/s} \end{aligned}$$

其大小為

$$|\mathbf v_{A/B}| =\sqrt{(-4.000)^2+(-5.362)^2} =6.69\ \text{m/s}$$

方向位於第三象限，與 $-x$ 軸夾角為

$$\theta_v=\tan^{-1}\left(\frac{5.362}{4.000}\right)=53.3^\circ$$

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(b) A 相對於 B 的加速度

A 點的切向加速度為

核心觀念

依圖取推車加速度向左，斜面與水平夾角為 $\theta=15^\circ$。木箱沿斜面方向尺寸為 $b=0.6\text{ m}$，垂直斜面高度為 $h=1\text{ m}$。

在推車參考座標中，木箱受到向右的慣性力 $ma$。因此：

• 沿斜面向下的等效力：
  $D=m(g\sin\theta+a\cos\theta)$
• 垂直斜面壓向斜面的力：
  $N=m(g\cos\theta-a\sin\theta)$
• 為維持木箱與推車相對靜止，摩擦力需沿斜面向上：
  $f=m(g\sin\theta+a\cos\theta)$

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(a) 判斷木箱會滑動還是傾倒

滑動臨界條件

靜摩擦力最大值為 $\mu_sN$，因此滑動臨界條件為

$$m(g\sin\theta+a\cos\theta) =\mu_s m(g\cos\theta-a\sin\theta)$$

解得

$$a_{\text{slip}} = g\frac{\mu_s\cos\theta-\sin\theta} {\cos\theta+\mu_s\sin\theta}$$

代入 $\mu_s=0.5$、$\theta=15^\circ$、$g=9.81\text{ m/s}^2$：

$$a_{\text{slip}} = 9.81 \frac{0.5\cos15^\circ-\sin15^\circ} {\cos15^\circ+0.5\sin15^\circ} \approx 2.01\text{ m/s}^2$$

傾倒臨界條件

傾倒時，木箱以斜面下方的右側底角為支點。等效合力作用線通過該支點，因此

$$Dh=Nb$$

即

$$m(g\sin\theta+a\cos\theta)(1) = m(g\cos\theta-a\sin\theta)(0.6)$$

解得