114 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》

核心觀念

本題屬於工程力學（靜力學）中「等效力系（Equivalent System of Forces）與合力作用線」的經典題型，核心概念包含：

1. 共平面力系之正交分解與合成：將各力分解至卡氏座標系（$x$ 與 $y$ 方向），由各分量代數和求得合力分量： $$F_{Rx} = \sum F_x, \quad F_{Ry} = \sum F_y$$ 合力大小為： $$F_R = \sqrt{F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2}$$
2. 力矩原理（Varignon 定理）：平面力系對任意點所產生的合力矩，等於力系中各力對同一點所產生之力矩代數和： $$(M_R)_B = \sum M_B$$
3. 合力作用線交點定位：當合力 $F_R$ 與桿件中心軸 $AB$（垂直線）相交於距離 $B$ 點下方 $y$ 處時，只有水平分量 $F_{Rx}$ 對 $B$ 點提供力矩，其關係式為： $$(M_R)_B = F_{Rx} \cdot y$$ 由此可解得交點位置 $y$。

解題方法

建立以桿件頂端 $B$ 點為參考點的二維直角座標系：

• 取水平向右為 $+x$ 方向，垂直向上為 $+y$ 方向。
• 逆時針方向（CCW）力矩取為正（$+$），順時針方向（CW）力矩取為負（$-$）。

(a) 求合力大小（Magnitude of the Resultant Force）

依原圖分析作用於立柱上的三道外力：

1. 右上方托架處的拉力 $\vec{F}_1$（大小 $250\text{ N}$）：

   • 作用點位於 $B$ 點右側 $0.5\text{ m}$ 處。
   • 斜率比為 $3 : 4 : 5$（水平邊為 $4$、垂直邊為 $3$、斜邊為 $5$），方向朝右下方（$\searrow$）。
   • 各分量為： $$F_{1x} = 250 \times \frac{4}{5} = +200\text{ N}$$ $$F_{1y} = -250 \times \frac{3}{5} = -150\text{ N}$$

2. 左側套環處的拉力 $\vec{F}_2$（大小 $500\text{ N}$）：

   • 作用點位於 $B$ 點下方 $1.0\text{ m}$、左側偏心 $0.2\text{ m}$ 處。
   • 與水平線夾角 $30^\circ$，方向朝左上方（$\nwarrow$）。
   • 各分量為： $$F_{2x} = -500 \cos 30^\circ = -500 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -433.01\text{ N}$$ $$F_{2y} = +500 \sin 30^\circ = 500 \times 0.5 = +250\text{ N}$$

3. 立柱中下段的水平推力 $\vec{F}_3$（大小 $300\text{ N}$）：

   • 作用點位於 $B$ 點下方 $2.0\text{ m}$（即距基座 $A$ 點上方 $1.0\text{ m}$ 處）。
   • 方向朝水平向左（$\leftarrow$）。
   • 各分量為： $$F_{3x} = -300\text{ N}$$ $$F_{3y} = 0\text{ N}$$

合力之水平與垂直分量：

合力大小：

(b) 求合力作用線與立柱 $AB$ 的交點位置（距 $B$ 點的距離）

利用 Varignon 力矩定理，計算所有外力對 $B$ 點所產生的力矩總和 $\sum M_B$（設定順時針力矩為負）：

1. $\vec{F}_1$ 對 $B$ 點之力矩：
   • 作用點在 $B$ 點右側 $0.5\text{ m}$ 處，水平分量通過 $B$ 點水平線（力臂為 $0$），僅垂直向下分量產生順時針力矩：

核心觀念

本題屬於工程力學中的**摩擦力與楔子（Wedges and Friction）**平衡問題，核心觀念包含：

1. 庫侖乾摩擦定律（Coulomb's Law of Dry Friction）與摩擦角（Angle of Friction）：
   當接觸面處於即將滑動的臨界狀態（Impending motion）時，摩擦力達到最大靜摩擦力 $F = \mu N$。接觸面之全反力（法向力 $N$ 與摩擦力 $F$ 的合力）與法線之夾角即為摩擦角 $\phi$： $$\tan\phi = \mu \implies \phi = \tan^{-1}(0.40) = 21.8^\circ$$
2. 剛體靜力平衡方程式：
   對木箱與楔子分別繪製自由體圖（FBD），利用 $\sum M = 0$ 與 $\sum F_x = 0, \sum F_y = 0$ 解出各接觸面的反力與推力 $P$。

解題方法

(a) 楔子對木箱作用力與鉛直線之夾角

1. 接觸面方位與法線方向：
   • 楔子傾角為 $\alpha = 10^\circ$（由左向右向上傾斜）。
   • 接觸面法線（垂直於楔子斜面且指向木箱內部）向左傾斜，與鉛直線的夾角為 $10^\circ$。
2. 滑動趨勢與摩擦力方向：
   • 當施加推力 $P$ 將楔子向左推入木箱底部時，楔子相對木箱向左移動。
   • 木箱相對於楔子具有沿斜面向右上方移動的相對運動趨勢，因此楔子施於木箱之摩擦力 $F$ 沿斜面向左下方（即摩擦力方向具有向左之水平分量）。
3. 合成反力之角度推導：
   • 楔子施於木箱的全反力 $\vec{R}$ 為斜面法向力 $\vec{N}$ 與摩擦力 $\vec{F}$ 之合力。
   • 全反力與斜面法線的夾角即為摩擦角 $\phi = 21.8^\circ$。
   • 由於法向力已偏向鉛直線左側 $10^\circ$，而向左下方的摩擦力使全反力進一步朝左側偏轉 $\phi$：
   $$\theta = \alpha + \phi = 10^\circ + 21.8^\circ = 31.8^\circ$$ 全反力與鉛直線之夾角為 $31.8^\circ$（向左偏斜）。

(b) 計算推力 $P$（單位：$\text{N}$）

取重力加速度 $g = 9.81\text{ m/s}^2$（若取 $g = 9.8\text{ m/s}^2$ 亦列於文末）：
木箱重量：

1. 分析木箱之平衡：
   • 設木箱寬度為 $b$，質心 $G$ 位於均勻木箱中心，距 $A$ 點水平距離為 $b/2$。
   • 楔子位於木箱右下角，距 $A$ 點水平距離為 $b$。
   • 木箱底部與 $A$ 點皆在同一水平線上，對 $A$ 點取力矩平衡：
   $$\sum M_A = 0 \implies R_y \cdot b - W \cdot \frac{b}{2} = 0$$ $$R_y = \frac{W}{2} = \frac{882.9}{2} = 441.45\text{ N}$$ （註：水平分力通過 $A$ 點無力矩臂，寬度 $b$ 恰好消去）
   • 由全反力方向可知，其垂直分量與大小之關係為：

核心觀念

以攝影師所在的 $A$ 點為極點，將賽車位置寫成極座標 $(r,\theta)$。速度可分解為徑向與橫向分量：

因此，$v_r=\dot r$，而 $v_\theta=r\dot\theta$。圖中賽車沿半徑 $20\text{ m}$ 的圓弧運動，速率為 $30\text{ m/s}$。

解題方法

令 $C$ 為圓弧的圓心。依圖，$AC=CB=20\text{ m}$，且 $\angle CAB=\theta=30^\circ$，所以 $\triangle ACB$ 是等腰三角形。其圓心角為

用正弦定理求攝影師到賽車的距離 $r=AB$：

核心觀念

本題考查**剛體平面動力學（Planar Kinetics of a Rigid Body）**中圓盤受水平外力作用下的運動狀態判定（純滾動 vs. 帶滑滾動）。涉及的核心定理與公式包括：

1. 質心運動定律（牛頓第二運動定律）：
   $\sum F_x = m a_G$
   $\sum F_y = m a_y = 0 \implies N = mg$
2. 對質心之轉動運動方程式：
   $\sum M_G = I_G \alpha$
   其中等向均質圓盤對質心 $G$ 之轉動慣量為：
   $I_G = \frac{1}{2} m r^2$
3. 滾動與滑動判定準則：
   • 無滑動（純滾動，Pure Rolling）：接觸點無相對滑動，運動學約束條件為 $a_G = r\alpha$。求出維持純滾動所需的靜摩擦力 $f_{\text{req}}$，並檢驗是否滿足 $f_{\text{req}} \le f_{s,\max} = \mu_s N$。
   • 滑動（帶滑滾動，Rolling with Slipping）：若 $f_{\text{req}} > f_{s,\max}$，則靜摩擦力不足以維持純滾動，圓盤必發生滑動。此時接觸面摩擦力為動摩擦力：
     $f = f_k = \mu_k N$
     且運動學約束 $a_G = r\alpha$ 不再成立，$a_G$ 與 $\alpha$ 分別由牛頓第二定律獨立解出。

解題方法與推導

設水平推力 $P = 60\text{ N}$ 向右作用於質心 $G$，圓盤質量 $m = 10\text{ kg}$，半徑 $r = 0.2\text{ m}$，重力加速度取 $g = 9.81\text{ m/s}^2$（若取 $g = 9.8\text{ m/s}^2$ 亦列出數值對照）。

垂直方向平衡：
$N = mg = 10 \times 9.81 = 98.1\text{ N}$
最大靜摩擦力：
$f_{s,\max} = \mu_s N = 0.20 \times 98.1 = 19.62\text{ N} \quad (g=9.8\text{ m/s}^2\text{ 時為 } 19.6\text{ N})$

均質圓盤對質心之轉動慣量：
$I_G = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 0.2\text{ kg}\cdot\text{m}^2$

(a) 判斷圓盤為滾動（無滑動）或滑動（Slipping）

先假設圓盤進行純滾動（無滑動，Rolling without slipping）：

• 運動學約束：$a_G = r\alpha$（順時針轉動，質心向右加速）。
• 設接觸面摩擦力 $f$ 向左。

由動力學方程式：
$\sum F_x = P - f = m a_G$
$\sum M_G = f \cdot r = I_G \alpha = \left(\frac{1}{2} m r^2\right) \left(\frac{a_G}{r}\right) = \frac{1}{2} m r a_G$

由力矩方程式可得所需靜摩擦力與質心加速度的關係：
$f = \frac{1}{2} m a_G$

代入水平力方程式：
$P - \frac{1}{2} m a_G = m a_G \implies P = \frac{3}{2} m a_G$
$a_G = \frac{2P}{3m} = \frac{2 \times 60}{3 \times 10} = 4\text{ m/s}^2$

維持純滾動所需的靜摩擦力：
$f_{\text{req}} = \frac{1}{2} m a_G = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20\text{ N}$

檢驗摩擦力條件：
$f_{\text{req}} = 20\text{ N} > f_{s,\max} = 19.62\text{ N}$