111 年國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》考古題與詳解

Question 1

1. Determine the magnitude and direction, measured counterclockwise from the positive x axis, of the resultant force acting on the ring at pint O, if $FA = 750$ N and $	heta = 45^\circ$. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （圖示：一個圓環 O，受到兩個力 $FA$ 和 $FB$ 的作用。$FA$ 與水平方向夾角 30 度，指向圓環；$FB$ 與水平方向夾角 0 度，指向圓環，大小為 800N。水平方向標示為 x 軸，垂直向上為 y 軸。）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面共點力的向量合成。將各力分解為 $x$、$y$ 分量，再利用 $$ R=\sqrt{Rx^2+Ry^2},\qquad \phi=	an^{-1}\left(\frac{Ry}{Rx}ight) $$ 求合力大小與方向。 依原圖，$	heta$ 為 $FA$ 與正 $y$ 軸的夾角；$FB$ 位於正 $x$ 軸下方 $30^\circ$，且 $FB=800\ 	ext{N}$。 解題方法 $FA=750\ 	ext{N}$，且 $$ 	heta=45^\circ $$ 因此 $FA$ 與正 $x$ 軸的夾角為 $$ 90^\circ-	heta=45^\circ $$ 兩力分量為 $$ F{Ax}=750\cos45^\circ=530.33\ 	ext{N} $$ $$ F{Ay}=750\sin45^\circ=530.33\ 	ext{N} $$ $$ F{Bx}=800\cos30^\circ=692.82\ 	ext{N} $$ 由於 $FB$ 向下，故其 $y$ 分量為負： $$ F{By}=-800\sin30^\circ=-400\ 	ext{N} $$

Question 2

2. The train car has a weight of 24000 lb and a center of gravity at G. It is suspended from its front and rear on the track by 6 tires located at A, B, and C both in front and rear of the car, equal loaded. The track is assumed to be a smooth surface. Determine the normal reactions on these tires. [20] 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （圖示：一個火車車廂，總重 24000 lb，重心在 G。車廂前後共有 6 個輪胎，分別標示為 A, B, C。A 在前輪左側，B 在後輪左側，C 在後輪右側。輪胎 A 距離車廂前後邊緣 4 ft，輪胎 B 和 C 距離車廂前後邊緣 5 ft。輪胎 B 和 C 之間距離 6 ft。車廂寬度為 6 ft。假設車廂是等載的，且軌道是光滑的。）

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是剛體靜力平衡。軌道表面光滑，因此各輪胎只受到垂直於接觸面的正向反力。依原圖： - $A$ 輪胎的反力 $NA$ 鉛直向上。 - $B$ 輪胎的反力 $NB$ 水平向右。 - $C$ 輪胎的反力 $NC$ 水平向左。 「前後等載」表示前、後兩組輪胎受力相同，並不表示六個輪胎的反力都相等。因此，只需分析其中一端，其分擔的重量為 $$ We=\frac{24000}{2}=12000\ 	ext{lb} $$ 解題方法 取向右、向上及逆時針為正，對一端的三個輪胎建立平衡方程式。 1. 鉛直方向平衡 只有 $A$ 輪胎提供鉛直支撐力，因此 $$ \sum Fy=0 \quad\Rightarrow\quad NA-We=0 $$ 得到 $$ NA=12000\ 	ext{lb} $$ 2. 力矩平衡 取 $A$ 的鉛直反力作用線與 $B$ 的水平反力作用線交點為 $O$，則 $NA$、$NB$ 對 $O$ 的力矩均為零。 依原圖，重量作用線位於 $O$ 右方 $5\ 	ext{ft}$，而 $C$ 的水平反力作用線比 $B$ 高 $4\ 	ext{ft}$。重量產生順時針力矩，向左的 $NC$ 產生逆時針力矩，因此

Question 3

3. The vehicle has a weight of 2600 lb and the center of gravity at G. Determine the horizontal force P that must be applied to overcome the rolling resistance of the wheels. The coefficient of rolling resistance is 0.5 in. The tires have a diameter of 2.75 ft. [20] 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （圖示：一輛汽車，總重 2600 lb，重心在 G。汽車前面有一個水平力 P 作用於輪胎上。輪胎直徑為 2.75 ft，滾動阻力係數為 0.5 in。圖示顯示車輪向前滾動，力 P 作用在輪胎的頂部。汽車前後輪之間的距離為 5 ft。重心 G 離地面高度約 2.5 ft。輪胎半徑為 1.375 ft。）

Accepted Answer

核心觀念 滾動阻力係數 $a$ 的單位是長度，表示車輪受到正向力 $N$ 時所產生的阻力矩： $$ MR=aN $$ 車輪半徑為 $r$，因此可將阻力矩等效為輪周上的水平阻力： $$ FR=\frac{MR}{r}=\frac{aN}{r} $$ 全車各輪的總滾動阻力為： $$ P=\sum FR =\frac{a}{r}\sum N $$ 由鉛直方向平衡，所有車輪正向力總和等於車重： $$ \sum N=W=2600\ 	ext{lb} $$ 圖中的 $2\ 	ext{ft}$、$5\ 	ext{ft}$ 與 $2.5\ 	ext{ft}$ 只會影響前、後輪正向力的分配；前後輪正向力相加仍為 $2600\ 	ext{lb}$，因此不影響總滾動阻力。 解題方法 輪胎直徑為： $$ d=2.75\ 	ext{ft}=33\ 	ext{in} $$ 所以輪胎半徑為：

Question 4

4. Determine the speed of the car if it has the acceleration shown and is traveling on a road which has a radius of 50 m. Also, what is the car's rate of increase in speed? [20] 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （圖示：一輛汽車在彎道上行駛，彎道半徑為 50 m。汽車的加速度向量被分解為兩個分量：一個是切向加速度 $at$，另一個是徑向加速度 $an$。切向加速度 $at = 3 \, m/s^2$，方向沿著汽車行駛方向。徑向加速度 $an$ 指向圓心，大小未知。總加速度 $a$ 的方向與切向加速度 $at$ 夾角為 $10^\circ$。）

Accepted Answer

本題考查圓周運動中的加速度分解與合成。汽車在彎道上行駛時，受到切向加速度（改變速率）和徑向加速度（改變方向）的共同作用，形成總加速度。

解題步驟：

理解加速度分量：
- 切向加速度 $a_t$ 描述物體速率變化的快慢。
- 徑向加速度（或稱法向加速度） $a_n$ 描述物體運動方向變化的快慢，其方向指向圓周的圓心。
- 總加速度 $a$ 是切向加速度和徑向加速度的向量和： $\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n$ 。
- 由於 $\vec{a}_t$ 和 $\vec{a}_n$ 互相垂直，總加速度的大小為 $|a| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$ 。
從圖示提取資訊：
- 切向加速度 $a_t = 3 \, m/s^2$ 。
- 總加速度 $a$ 與切向加速度 $a_t$ 的夾角為 $10^\circ$ 。
- 這個夾角實際上是總加速度向量與運動方向的夾角。由於切向加速度沿運動方向，所以這個夾角也是總加速度與運動方向的夾角。
- 彎道半徑 $R = 50$ m。
計算徑向加速度 $a_n$ ：
- 在直角座標系中，若 $a_t$ 為 x 軸方向，則 $a_n$ 為 y 軸方向。
- 圖示顯示總加速度 $a$ 與 $a_t$ 的夾角為 $10^\circ$ 。

Question 5

5. Determine the banking angle $	heta$ for the race track so that the wheels of the racing cars when it will not have to depend upon friction to prevent ant car from sliding up or down the track. Assume the cars have negligible size, amass m, and travel around the curve of radius $ho$ with a speed v. [20] 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （圖示：一輛汽車在傾斜的彎道上行駛。彎道半徑為 $ho$，汽車速度為 $v$。傾斜角為 $	heta$。汽車質量為 $m$。圖示顯示作用在汽車上的力：重力 $mg$ (向下)，法向反力 $N$ (垂直於傾斜路面向上)，以及無摩擦力。）

Accepted Answer

本題考查在無摩擦的傾斜圓周運動中，如何計算使車輛安全通過彎道的傾角。當車輛在傾斜的彎道上以特定速度行駛時，重力和法向反力提供的合力可以作為向心力，使車輛無需摩擦力即可維持圓周運動。

解題步驟：

受力分析：
- 汽車質量為 $m$ ，速度為 $v$ ，彎道半徑為 $\rho$ 。
- 作用在汽車上的力有：
  - 重力 $W = mg$ ，方向鉛直向下。
  - 法向反力 $N$ ，方向垂直於傾斜的路面，指向斜面之上。
- 由於題目假設「不須要摩擦力」，因此摩擦力為零。
建立座標系統：
- 建立一個徑向-法向座標系統。
- 徑向方向指向圓心（水平方向）。
- 法向（切向）方向沿著汽車的運動方向（水平方向）。
- 垂直於圓周運動平面（鉛直向上）的方向。
- 更方便的方式是：
  - x 軸：水平指向圓心。
  - y 軸：鉛直向上。
分解力：
- 將重力 $mg$ $m g$ 分解到 x 和 y 方向。
  - 法向反力 $N$ 垂直於傾斜路面。傾斜角為 $\theta$ 。
  - 重力 $mg$ 與鉛直方向夾角為 $0^\circ$ 。
  - 法向反力 $N$ 與鉛直方向夾角為 $\theta$ 。
  - 將力分解到指向圓心（水平）和鉛直方向。

111 年國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》

第 1 題20 分

第 2 題20 分

第 3 題20 分

第 4 題20 分

第 5 題20 分

其他考古題

111 年臺灣大學的其他科目

臺灣大學《應用力學》其他年度

其他學校的土木與營建考古題

111 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》