112 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《應用力學（A）》

核心觀念

本題需同時檢查三種可能的運動限制：

1. A 點鎖定腳輪與地面間的靜摩擦力

$F_A\leq \mu_f N_A$

2. 木箱 C 與推車 D 間的靜摩擦力

$F_{CD}\leq \mu_d N_{CD}$

3. 木箱是否繞右下角翻倒

由於 B 點腳輪可自由滾動，B 點不提供水平反力，因此整個系統的水平外力主要由 A 點摩擦力抵抗。

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

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解題方法

1. 木箱與推車間的摩擦限制

木箱重力為

$W_C=60(9.81)=588.6\ \mathrm{N}$

木箱未發生垂直運動，因此接觸面的正向力為

$N_{CD}=588.6\ \mathrm{N}$

木箱所需的水平摩擦力等於外力 $P$，故

$P\leq \mu_d N_{CD}$

$P\leq 0.5(588.6)=294.3\ \mathrm{N}$

因此，木箱與推車不相對滑動所允許的最大外力為

$P_{\text{滑動}}=294.3\ \mathrm{N}$

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2. 木箱翻倒限制

木箱底寬為 $0.6\ \mathrm{m}$，其重心位於底面中央，距右下角為

$0.3\ \mathrm{m}$

外力 $P$ 的作用線距木箱底面高度為 $0.8\ \mathrm{m}$。

木箱若繞右下角翻倒，取右下角為力矩中心：

$P(0.8)=W_C(0.3)$

因此

$$P_{\text{翻倒}} =\frac{588.6(0.3)}{0.8} =220.7\ \mathrm{N}$$

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3. A 點腳輪與地面的摩擦限制

推車與木箱總重量為

$W=60(9.81)+10(9.81)=686.7\ \mathrm{N}$

由圖取 B 點為力矩中心：

核心觀念

本題考查靜摩擦力的極限條件。當人剛好能使木箱開始運動時：

• 木箱與地面間的摩擦力達最大值。
• 人的鞋與地面間的摩擦力也達到其最大值。
• 拉繩與水平面夾角為 $30^\circ$，繩張力的水平分量使木箱前進，鉛直分量會減小木箱正向力，但會增加人所受的正向力。

最大靜摩擦力為

$$F_s^{\max}=\mu_s N$$

解題方法

設繩張力為 $T$，木箱質量為 $m_c=150\ \mathrm{kg}$，人的質量為 $m_m=80\ \mathrm{kg}$。

先分析木箱。繩張力的鉛直分量向上，因此木箱的正向力為

$$N_c=m_cg-T\sin30^\circ$$

木箱即將滑動時，水平拉力等於最大靜摩擦力：

$$T\cos30^\circ = \mu_g N_c$$

代入 $\mu_g=0.3$：

$$T\cos30^\circ = 0.3\left(150g-T\sin30^\circ\right)$$

整理得

$$T\left(\cos30^\circ+0.3\sin30^\circ\right) = 0.3(150g)$$

因此

$$T = \frac{0.3(150g)} {\cos30^\circ+0.3\sin30^\circ}$$

接著分析人。繩子對人的作用力方向向左下方，因此人的正向力為

$$N_m=80g+T\sin30^\circ$$

人為了拉動木箱，鞋底必須提供向右的靜摩擦力，其大小為繩張力的水平分量：

本題考驗的是運動學中，有加速度變化的直線運動。題目給定了初速度、加速度以及路徑的資訊，要求計算時間、末速度和末加速度。

解題步驟：

1. 分析運動軌跡和已知條件：
   汽車從 A 點運動到 B 點。
   在 A 點，速度 $v_A = 4$ m/s。
   速度的增加率（切向加速度）$a_t = 2$ m/s²。
   從圖示看，A 點和 B 點位於一個圓弧上，圓弧的半徑 $R = 100$ m。
   運動軌跡是沿著圓弧進行的，這是一個曲線運動。

2. 計算到達 B 點所需的時間：
   題目說明速度是「increasing at a constant rate of 2 m/s²」。這表示切向加速度 $a_t$ 是恆定的。
   在曲線運動中，速度的變化率（即速度大小的變化率）是切向加速度 $a_t$。
   我們需要知道 A 點到 B 點的弧長。
   從圖上看，A 點在 x 軸上，B 點在 y 軸上。如果圓心在原點 (0,0)，則 A 點座標為 (100, 0)，B 點座標為 (0, 100)。
   這表示 A 點到 B 點的圓弧是圓的四分之一。
   圓的周長為 $C = 2\pi R = 2\pi (100) = 200\pi$ m。
   A 到 B 的弧長 $s_{AB}$ 為圓周的四分之一，即 $s_{AB} = \frac{1}{4} C = \frac{1}{4} (200\pi) = 50\pi$ m。

   由於切向加速度 $a_t$ 是恆定的，我們可以將此段運動視為直線運動來處理，使用運動學公式。
   設 $s$ 為沿軌跡的距離。
   $v^2 = v_0^2 + 2as$
   $v = v_0 + at$
   $s = v_0 t + \frac{1}{2} at^2$

   在這裡，$v_0 = v_A = 4$ m/s，$a = a_t = 2$ m/s²，$s = s_{AB} = 50\pi$ m。
   我們要求時間 $t$。
   使用公式 $s = v_0 t + \frac{1}{2} at^2$：
   $50\pi = 4t + \frac{1}{2} (2) t^2$。
   $50\pi = 4t + t^2$。
   $t^2 + 4t - 50\pi = 0$。

   解這個二次方程式：
   $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=4, c=-50\pi$。
   $t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-50\pi)}}{2(1)}$。
   $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 200\pi}}{2}$。
   $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 200 \times 3.14159}}{2}$。
   $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 628.318}}{2}$。
   $t = \frac{-4 \pm \sqrt{644.318}}{2}$。
   $t = \frac{-4 \pm 25.383}{2}$。
   由於時間必須是正值，我們取正根：
   $t = \frac{-4 + 25.383}{2} = \frac{21.383}{2} \approx 10.69$ s。

3. 計算到達 B 點時的速度大小：
   我們已經知道 A 點的速度 $v_A = 4$ m/s，切向加速度 $a_t = 2$ m/s²，以及運動時間 $t \approx 10.69$ s。
   使用公式 $v_B = v_A + a_t t$：
   $v_B = 4 + 2 \times 10.69 = 4 + 21.38 = 25.38$ m/s。

   或者，我們也可以使用 $v_B^2 = v_A^2 + 2 a_t s_{AB}$：
   $v_B^2 = 4^2 + 2 \times 2 \times (50\pi) = 16 + 200\pi \approx 16 + 628.318 = 644.318$。

核心觀念

本題考查傾斜彎道的圓周運動與靜摩擦力。車輛以等速繞水平圓周運動時，需要指向圓心的向心力

$$\sum F_{\text{向心}}=\frac{mv^2}{\rho}$$

最低速行駛時，車輛有沿斜面向下滑動的趨勢，因此靜摩擦力達到最大值，且方向沿斜面向上：

$$f_s=\mu_s N$$

由圖可知斜面向外側升高，圓心位於斜面較低的一側。

受力分析與解題方法

取水平方向指向圓心，鉛直向上為正。車輛受力如下：

• 正向力 $N$：其水平分量指向圓心，大小為 $N\sin20^\circ$。
• 摩擦力 $f_s$：沿斜面向外上方，其水平分量背離圓心，大小為 $f_s\cos20^\circ$。
• 重力 $mg$：鉛直向下。

在鉛直方向沒有加速度，因此

$$N\cos20^\circ+f_s\sin20^\circ=mg$$

在水平方向，向心方向合力為

$$N\sin20^\circ-f_s\cos20^\circ =\frac{mv^2}{\rho}$$

最低速的臨界狀態為

$$f_s=\mu_sN=0.2N$$

代入鉛直方向平衡式：

$$N\cos20^\circ+\mu_sN\sin20^\circ=mg$$ $$N=\frac{mg}{\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ}$$

再代入向心力方程式：

$$\frac{mv^2}{\rho} = N\left(\sin20^\circ-\mu_s\cos20^\circ\right)$$

消去 $N$ 與 $m$，得到