112 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《工程統計》

本題考驗對 Poisson 分布期望值與變異數的定義與計算。

核心觀念：
Poisson 分布的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
其中 $\lambda > 0$ 為分布的參數。

證明期望值 (Mean):
期望值 $E[X]$ 的定義為：
$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$
當 $k=0$ 時，第一項為 0，所以我們可以從 $k=1$ 開始求和：
$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{(k-1)!}$
將 $e^{-\lambda}$ 和 $\lambda$ 提出，並令 $j = k-1$ (則 $k = j+1$)：
$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!}$
我們知道 $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!}$ 是指數函數 $e^{\lambda}$ 的泰勒級數展開。
$E[X] = \lambda e^{-\lambda} (e^{\lambda}) = \lambda$
因此，Poisson 分布的期望值為 $\lambda$。

證明變異數 (Variance):
變異數 $Var(X)$ 的定義為 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$。我們已經知道 $E[X]=\lambda$ 且 $(E[X])^2 = \lambda^2$。現在我們需要計算 $E[X^2]$。

核心觀念

本題使用「卡方適合度檢定」判斷觀察資料是否來自指定的常態分配：

$$X\sim N(\mu=65,\sigma=21)$$

假設為：

• $H_0$：資料服從 $N(65,21^2)$。
• $H_1$：資料不服從 $N(65,21^2)$。

卡方適合度統計量為：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

其中：

• $O_i$：第 $i$ 組的觀察次數；
• $E_i$：第 $i$ 組在 $H_0$ 成立時的期望次數；
• $k$：合併後的組數。

由於題目已指定 $\mu=65$、$\sigma=21$，沒有從樣本估計參數，因此自由度為：

$$df=k-1$$

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解題方法

1. 計算樣本總數

$$n=3+2+3+4+5+11+14+14+4=60$$

將各組界限轉換成標準常態變數：

$$Z=\frac{X-65}{21}$$

各分割點如下：

$X$ 分割點	$z$ 值
$19.5$	$\dfrac{19.5-65}{21}=-2.167$
$29.5$	$-1.690$
$39.5$	$-1.214$
$49.5$	$-0.738$
$59.5$	$-0.262$
$69.5$	$0.214$
$79.5$	$0.690$
$89.5$	$1.167$

依標準常態分配表，可得各區間機率及原始期望次數：

區間	觀察次數 $O_i$	理論機率 $p_i$	期望次數 $np_i$
$-\infty\sim19.5$	3	$0.0151$	$0.91$
$19.5\sim29.5$	2	$0.0303$	$1.82$
$29.5\sim39.5$	3	$0.0668$	$4.01$
$39.5\sim49.5$	4	$0.1179$	$7.08$
$49.5\sim59.5$	5	$0.1665$	$9.99$
$59.5\sim69.5$	11	$0.1882$	$11.29$
$69.5\sim79.5$	14	$0.1702$	$10.21$
$79.5\sim89.5$	14	$0.1233$	$7.40$
$89.5\sim\infty$	4	$0.1217$	$7.30$

2. 合併期望次數過小的組別

卡方檢定通常要求各組期望次數至少約為 $5$。前三組的期望次數分別為 $0.91$、$1.82$、$4.01$，因此合併為一組：

本題考驗對獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test) 的應用，以及如何透過不同方法（顯著水準、P 值、信賴區間）來判斷兩組樣本均值是否有顯著差異。題目假設兩個母體近似常態且變異數相等，因此適合使用獨立樣本 t 檢定。

核心觀念：
當我們想比較兩個獨立樣本的平均值時，若母體變異數未知但相等，則使用獨立樣本 t 檢定。

數據整理：
樣本數 $n_1 = n_2 = 5$ (共 5 組配對數據，但題目描述為獨立樣本，且量測設備不同，故視為獨立樣本)。
Analog (樣本 1): $X_1 = [121, 126, 128, 123, 127]$
Digital (樣本 2): $X_2 = [120, 127, 127, 121, 128]$

計算樣本均值：
$\bar{X}_1 = \frac{121+126+128+123+127}{5} = \frac{625}{5} = 125$
$\bar{X}_2 = \frac{120+127+127+121+128}{5} = \frac{623}{5} = 124.6$

計算樣本變異數：
$S_1^2 = \frac{\sum(X_{1i} - \bar{X}_1)^2}{n_1-1} = \frac{(121-125)^2 + (126-125)^2 + (128-125)^2 + (123-125)^2 + (127-125)^2}{5-1}$
$S_1^2 = \frac{(-4)^2 + 1^2 + 3^2 + (-2)^2 + 2^2}{4} = \frac{16 + 1 + 9 + 4 + 4}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$

$S_2^2 = \frac{\sum(X_{2i} - \bar{X}_2)^2}{n_2-1} = \frac{(120-124.6)^2 + (127-124.6)^2 + (127-124.6)^2 + (121-124.6)^2 + (128-124.6)^2}{5-1}$
$S_2^2 = \frac{(-4.6)^2 + (2.4)^2 + (2.4)^2 + (-3.6)^2 + (3.4)^2}{4}$
$S_2^2 = \frac{21.16 + 5.76 + 5.76 + 12.96 + 11.56}{4} = \frac{57.2}{4} = 14.3$

合併變異數 (Pooled Variance) $S_p^2$：
由於假設母體變異數相等，我們計算合併變異數：
$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{(5-1)(8.5) + (5-1)(14.3)}{5+5-2} = \frac{4(8.5) + 4(14.3)}{8}$
$S_p^2 = \frac{34 + 57.2}{8} = \frac{91.2}{8} = 11.4$

計算 t 統計量：
$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
其中 $S_p = \sqrt{S_p^2} = \sqrt{11.4} \approx 3.376$
$t = \frac{125 - 124.6}{3.376 \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}} = \frac{0.4}{3.376 \sqrt{0.4}} = \frac{0.4}{3.376 \times 0.6325} \approx \frac{0.4}{2.1372} \approx 0.187$

自由度 (df)：
$df = n_1 + n_2 - 2 = 5 + 5 - 2 = 8$

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(a) Answer the question using a 0.05 level of significance.

1. 建立假設：
   $H_0$: 兩種測量方法的平均結果相同 ($\mu_1 = \mu_2$)。
   $H_1$: 兩種測量方法的平均結果不同 ($\mu_1 \neq \mu_2$)。
   (採用雙尾檢定，因為題目問的是「平均結果是否相同」，沒有特別指出哪種儀器比較大或比較小。)

2. 設定顯著水準：
   $\alpha = 0.05$。

3. 計算 t 統計量：
   已計算得 $t \approx 0.187$。

本題要求推導一個包含交互項 (interaction term) 的多項式迴歸模型的正規方程式。

核心觀念：
正規方程式是透過最小化殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR) 所得的參數估計值。對於線性迴歸模型，正規方程式是參數估計值 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 的解。

模型設定：
給定的模型是：
$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 + \epsilon$
這是一個線性迴歸模型，因為它對參數 $\beta_i$ 是線性的。我們可以將其表示為矩陣形式：
$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$

其中：
$\mathbf{y}$ 是 $n \times 1$ 的應變數向量。
$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix}$ 是 $4 \times 1$ 的參數向量。
$\boldsymbol{\epsilon}$ 是 $n \times 1$ 的誤差向量。

$\mathbf{X}$ 是 $n \times 4$ 的設計矩陣 (design matrix)。每一列對應一個參數，每一行對應一個觀測值。
根據模型，設計矩陣 $\mathbf{X}$ 的結構如下：
每一列代表一個獨立變數。

• 第一列 (對應 $\beta_0$) 應全為 1。
• 第二列 (對應 $\beta_1$) 應為 $x_1$ 的值。
• 第三列 (對應 $\beta_2$) 應為 $x_2$ 的值。
• 第四列 (對應 $\beta_3$) 應為 $x_1x_2$ 的值 (交互項)。

所以，設計矩陣 $\mathbf{X}$ 為：

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & x_{12} & x_{11}x_{12} \\ 1 & x_{21} & x_{22} & x_{21}x_{22} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} & x_{n1}x_{n2} \end{bmatrix}$$

其中 $x_{i1}$ 是第 $i$ 個觀測值的 $x_1$ 值， $x_{i2}$ 是第 $i$ 個觀測值的 $x_2$ 值。

推導正規方程式：
正規方程式是通過最小化殘差平方和 SSR 來獲得的：
$SSR = \boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\epsilon} = (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})$

為了最小化 SSR，我們對參數向量 $\boldsymbol{\beta}$ 求偏微分，並令結果為零向量。
$\frac{\partial SSR}{\partial \boldsymbol{\beta}} = \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} [(\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})]$
$\frac{\partial SSR}{\partial \boldsymbol{\beta}} = \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} [\mathbf{y}^T\mathbf{y} - \mathbf{y}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{y} + \boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}]$
利用矩陣微積分的規則 $\frac{\partial (\mathbf{a}^T\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = \mathbf{a}$ 和 $\frac{\partial (\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = 2\mathbf{A}\mathbf{x}$ (當 A 對稱時)，以及 $\mathbf{y}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{y}$：
$\frac{\partial SSR}{\partial \boldsymbol{\beta}} = 0 - \mathbf{X}^T\mathbf{y} - \mathbf{X}^T\mathbf{y} + 2\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$
$\frac{\partial SSR}{\partial \boldsymbol{\beta}} = -2\mathbf{X}^T\mathbf{y} + 2\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

令微分等於零向量：
$-2\mathbf{X}^T\mathbf{y} + 2\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} = \mathbf{0}$
$2\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} = 2\mathbf{X}^T\mathbf{y}$
$\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} = \mathbf{X}^T\mathbf{y}$

這就是線性迴歸模型的正規方程式，其解為參數估計值 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$：
$\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T\mathbf{y}$

展開正規方程式：
我們需要計算 $\mathbf{X}^T\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{X}^T\mathbf{y}$。

$\mathbf{X}^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n1} \\ x_{12} & x_{22} & \dots & x_{n2} \\ x_{11}x_{12} & x_{21}x_{22} & \dots & x_{n1}x_{n2} \end{bmatrix}$

本題考驗對累積分布函數 (CDF) 的理解與應用，包括計算中位數、特定機率以及期望值。

核心觀念：
給定一個連續隨機變數 $X$ 的累積分布函數 $F(x) = P(X \le x)$。

1. 中位數 (Median)： 隨機變數 $X$ 的中位數 $m$ 是滿足 $F(m) = 0.5$ 的值。
2. 機率計算：
   • $P(X \le x) = F(x)$
   • $P(X > x) = 1 - F(x)$
   • $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$
3. 期望值 (Expected Value)： 對於連續隨機變數 $X$：
   • $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$，其中 $f(x)$ 是機率密度函數 (PDF)，且 $f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$。
   • 或者，對於非負隨機變數，$E[X] = \int_{0}^{\infty} (1 - F(x)) dx$。

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數據：

$$F(x) = \begin{cases} 1 - \left(\frac{10}{x}\right)^4 & \text{for } x \ge 10 \\ 0 & \text{for } x < 10 \end{cases}$$

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(a) Determine the median of $X$.

中位數 $m$ 滿足 $F(m) = 0.5$。
由於 $F(x) = 0$ 對於 $x < 10$，且 $F(x)$ 隨 $x$ 增加而增加，中位數一定大於等於 10。
所以我們使用 $F(x) = 1 - \left(\frac{10}{x}\right)^4$：
$1 - \left(\frac{10}{m}\right)^4 = 0.5$
$\left(\frac{10}{m}\right)^4 = 1 - 0.5 = 0.5$
$\frac{10}{m} = (0.5)^{1/4}$
$m = \frac{10}{(0.5)^{1/4}} = 10 \times (0.5)^{-1/4} = 10 \times (2)^{1/4}$

計算 $(2)^{1/4}$：
$(2)^{1/4} = \sqrt{\sqrt{2}} \approx \sqrt{1.414} \approx 1.189$
$m \approx 10 \times 1.189 = 11.89$

結論 (a)：
中位數 $m = 10 \times 2^{1/4} \approx 11.89$ 英吋。

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(b) What percentage of the severe snow storms are over 15 inches?

這要求計算 $P(X > 15)$。
$P(X > 15) = 1 - F(15)$
$F(15) = 1 - \left(\frac{10}{15}\right)^4 = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 - \frac{16}{81}$
$F(15) = \frac{81 - 16}{81} = \frac{65}{81}$