112 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《經濟學（C）》

消費者物價指數 (Consumer Price Index, CPI) 是衡量一籃固定商品及服務價格變動的指標，用來衡量一般消費者所購買的商品與服務的平均價格水準。它反映了家庭購買的消費品和服務價格的變化。CPI 通常用於衡量通貨膨脹或通貨緊縮。

連續複利是指複利計算的頻率趨近於無限大，也就是說，利息在每瞬間都產生複利。在這種情況下，本金的增長是連續不斷的。

若本金為 $P$，年利率為 $r$（以小數表示），經過 $t$ 年，則連續複利的終值 $F$ 為：
$F = P \cdot e^{rt}$
其中 $e$ 是自然對數的底數，約等於 2.71828。

外部性是指一個經濟主體（個人或企業）的經濟活動對未參與該活動的其他經濟主體產生影響，而這種影響並未在市場價格中得到反映。這種影響可能是正面的（稱為正外部性或外部經濟），也可能是負面的（稱為負外部性或外部不經濟）。

邊際效用遞減法則（Law of Diminishing Marginal Utility）是指在一定時期內，當一個人連續消費某種財貨或勞務時，隨著消費數量的增加，他從每增加一單位消費中所獲得的額外滿足感（即邊際效用）會逐漸減少。

內部報酬率 (Internal Rate of Return, IRR) 是指使一個投資專案的淨現值 (Net Present Value, NPV) 等於零的折現率。換句話說，IRR 是預期能從投資中獲得的報酬率。

計算 IRR 的公式是：
$NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+IRR)^t} = 0$

成本效益分析 (Cost-Benefit Analysis, CBA) 是一種決策工具，用於評估一個專案、政策或方案的總體效益是否大於其總體成本。它試圖將所有成本和效益量化為貨幣價值，以便進行比較。

CBA 的步驟通常包括：

1. 識別和預測所有相關的成本和效益。
2. 將所有成本和效益轉換為貨幣價值。
3. 將未來成本和效益折算為現值（使用適當的折現率）。

名目利率 (Nominal Interest Rate) 是指銀行或金融機構公告的利率，通常是以年為單位，但不考慮複利計算的頻率。
有效利率 (Effective Interest Rate, EIR) 或稱實際利率 (Effective Annual Rate, EAR)，是指考慮了複利計算的實際年報酬率。當利息複利計算的頻率高於一年一次時（例如每月、每季複利），有效利率會高於名目利率。

差異與計算：

若名目年利率為 $r$，每年複利 $m$ 次，則有效利率 $r_e$ 的計算公式為：
$r_e = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$

舉例說明其影響：

假設有兩種存款方案：

• 方案 A：名目年利率為 10%，每年複利一次。
• 方案 B：名目年利率為 10%，每半年複利一次。

現值法 (Present Worth Method, PW) 和年等值法 (Annual Equivalent Method, AE) 都是工程經濟學中用來評估不同壽命或不同現金流模式的投資方案的決策方法。它們的基本原理都是將未來現金流轉換為現值或年金，以便進行比較。

計算方式：

1. 現值法 (PW)：
   將所有未來現金流入的現值加總，減去所有未來現金流出的現值。
   $PW = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+i)^t}$
   其中 $CF_t$ 是第 $t$ 期現金流量，$i$ 是折現率 (MARR)，$n$ 是專案壽命。
   若 PW $\ge$ 0 (或 PW $\ge$ 0 for mutually exclusive projects)，則專案可行。

2. 年等值法 (AE)：
   將所有現金流量（包括初始投資）轉換為一個在專案壽命期間內每年都相等的金額。這通常是將現值 (PW) 轉換為年金。
   $AE = PW \times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} = PW \times (A/P, i, n)$
   其中 $(A/P, i, n)$ 是年金轉換為現值的折返因子。
   若 AE $\ge$ 0 (或 AE $\ge$ 0 for mutually exclusive projects)，則專案可行。

經濟意義：

1. 現值法 (PW)：
   PW 代表了專案在整個壽命週期內，扣除所有成本後，以現值計算的淨收益。它回答的問題是：「這個專案在今天（時間點 0）總共為我們創造了多少價值？」一個正的 PW 表示專案的預期報酬率高於折現率 (MARR)。

2. 年等值法 (AE)：
   AE 代表了專案在整個壽命週期內，平均每年所能創造的淨收益（或淨損失）。它將專案的總體經濟效益均攤到每一年的等額費用上。

核心觀念： 簡單還本法 (Conventional-Payback Method) 是一種衡量投資回收速度的指標，它計算收回原始投資所需的時間，而不考慮時間價值和回收期之後的現金流量。

計算與判斷：

簡單還本法的目標是尋找回收原始投資（初始投入 $80,000）最快的方案。

• Project A：

  • 時間點 0：投入 $80,000。
  • 時間點 1：現金流為 $0。累計現金流為 -$80,000。
  • 時間點 2：現金流為 $160,000。 在時間點 2，累計現金流變為 -$80,000 + $160,000 =$80,000。
    因此，在時間點 2 結束時，原始投資已完全回收。
  • 還本時間 = 2 年。

• Project B：

  • 時間點 0：投入 $80,000。
  • 時間點 1：現金流為 $120,000。 在時間點 1，累計現金流變為 -$80,000 + $120,000 =$40,000。
    原始投資已在時間點 1 結束前回收。
    回收所需時間 = $80,000 /$120,000 = 2/3 年 $\approx$ 0.67 年。
  • 還本時間 $\approx

核心觀念： 現值法 (Present Worth Method, PW) 是一種基於時間價值，將所有未來現金流量折算到現在（時間點 0）的總淨收益。選擇 PW 值最高的方案。

計算與判斷：
MARR = 8% = 0.08

Project A：
初始投資 = -$80,000 年金因子$(P/A, 8%, 5) = \frac{(1+0.08)^5 - 1}{0.08(1+0.08)^5} = \frac{1.469328 - 1}{0.08 \times 1.469328} = \frac{0.469328}{0.117546} \approx 3.9927$現值因子$(P/F, 8%, 5) = \frac{1}{(1+0.08)^5} = \frac{1}{1.469328} \approx 0.68058$

$PW_A = -80,000 + 0 \times (P/A, 8\%, 1) + 160,000 \times (P/F, 8\%, 2) + 0 \times (P/A, 8\%, 3) - 24,000 \times (P/F, 8\%, 5)$
$PW_A = -80,000 + 160,000 \times (P/F, 8\%, 2) - 24,000 \times (P/F, 8\%, 5)$

計算 $(P/F, 8\%, 2) = \frac{1}{(1.08)^2} = \frac{1}{1.1664} \approx 0.85734$
計算 $(P/F, 8\%, 5) = \frac{1}{(1.08)^5} \approx 0.68058$ (已計算過)

$PW_A = -80,000 + 160,000 \times 0.85734 - 24,000 \times 0.68058$
$PW_A = -80,000 + 137,174.4 - 16,333.92$
$PW_A \approx 40,840.48$

Project B：
初始投資 = -$80,000 Cash flow in year 1 =$120,000
Cash flow in year 5 = $24,000

$PW_B = -80,000 + 120,000 \times (P/F, 8\%, 1) + 24,000 \times (P/F, 8\%, 5)$

核心觀念： 益本比法 (Benefit-Cost Analysis, BCA)，也稱為效益成本比 (Benefit-Cost Ratio, BCR)，是將所有未來現金流入的現值（效益）除以所有未來現金流出的現值（成本）。選擇 BCR $\ge$ 1 且最高的方案。在此處，由於 MARR=8% 是要求的最低報酬率，我們將所有現金流量都視為成本或效益，並在其現值基礎上計算 BCR。

計算與判斷：
MARR = 8% = 0.08

在 BCA 中，通常將現金流入視為效益 (Benefits)，現金流出視為成本 (Costs)。
BCR = (總現值效益) / (總現值成本)
若 BCR $\ge$ 1，表示效益大於成本，方案可行。

Project A：
初始投資 (成本) = $80,000 (時間點 0) 現金流在時間點 2 (效益) =$160,000
現金流在時間點 5 (成本) = $24,000

現值計算：
$(P/F, 8\%, 2) \approx 0.85734$
$(P/F, 8\%, 5) \approx 0.68058$

總現值效益 = $160,000 \times (P/F, 8\%, 2) = 160,000 \times 0.85734 \approx 137,174.4$
總現值成本 = $80,000 + 24,000 \times (P/F, 8\%, 5) = 80,000 + 24,000 \times 0.68058 = 80,000 + 16,333.92 = 96,333.92$

$BCR_A = \frac{137,174.4}{96,333.92} \approx 1.4239$

Project B：
初始投資 (成本) = $80,000 (時間點 0) 現金流在時間點 1 (效益) =$120,000
現金流在時間點 5 (效益) = $24,000

現值計算：
$(P/F, 8\%, 1) \approx 0.92593$
$(P/F, 8\%, 5) \approx 0.68058$

總現值效益 = $120,000 \times (P/F, 8\%, 1) + 24,000 \times (P/F, 8\%, 5)$

核心觀念： 比較不同工程經濟評估方法（簡單還本法、現值法、益本比法）的決策結果，並解釋差異原因，以及選擇最佳方案的依據。

結果比較與差異分析：

• 簡單還本法 (Conventional-Payback Method):

  • Project A: 2 年
  • Project B: 約 0.67 年
  • Project C: 約 2.57 年
  • 選擇：Project B (回收速度最快)

• 現值法 (Present Worth Method):

  • Project A: $PW_A \approx 40,840.48$
  • Project B: $PW_B \approx 47,445.52$
  • Project C: $PW_C \approx 58,359.4$
  • 選擇：Project C (PW 值最高)

• 益本比法 (Benefit-Cost Analysis):

  • Project A: $BCR_A \approx 1.4239$
  • Project B: $BCR_B \approx 1.5931$
  • Project C: $BCR_C \approx 1.7295$
  • 選擇：Project C (BCR 值最高)

結果是否不同？ 是的，結果有所不同。簡單還本法選擇了 Project B，而現值法和益本比法都選擇了 Project C。

為什麼結果不同？

1. 簡單還本法：
   • 關注點：回收原始投資所需的時間。
   • 忽略了：時間價值、回收期之後的現金流量、所有現金流量的總體價值。
   • Project B 的優勢：在第一個時期就產生了遠超初始投資的現金流，使其回收時間極短。但其後續的現金流（時間點 5 的 $24,000）相對較小。
   • Project C 的劣勢：雖然在時間點 3 產生了較大的現金流，但其回收時間較長，且在時間點 5 還有一個較小的現金流出（-$24,000，原文表格應為$24,000，但假設是 $24,000 的流出，與 PW/BCA 計算一致）。（註：根據原始表格，Project A 在時間點 5 是 -