114 年 國立臺灣大學土木系碩士班交通組《工程統計》

核心觀念

總共有

$$2+3+5+2=12$$

名社員，從中隨機選出 $4$ 人。每一個 $4$ 人委員會被選出的機率相同，因此樣本總數為組合數

$$\binom{12}{4}=495.$$

本題主要考查：

• 組合計數：$\binom{n}{r}$。
• 乘法原理：各城市分別選人時，將各種選法相乘。
• 互斥事件分類：依台北代表人數分情況計算。

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解題方法

設四個城市的人數如下：

城市	人數
台北	2
台中	3
台南	5
高雄	2

(a) 四個城市皆有代表

委員會共有 $4$ 人，且四個城市都必須被代表，因此每個城市恰好選出 $1$ 人。

有利選法為

$$\binom{2}{1} \binom{3}{1} \binom{5}{1} \binom{2}{1} =2\cdot3\cdot5\cdot2 =60.$$

所以所求機率為

$$P(\text{四個城市皆有代表}) = \frac{60}{\binom{12}{4}} = \frac{60}{495} = \boxed{\frac{4}{33}}.$$

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(b) 除台北外，其餘城市皆有代表

要求台中、台南、高雄三個城市都至少有一位代表；台北是否有代表則不受限制。

依台北入選人數分類。

情況一：台北選出 0 人

此時須從台中、台南、高雄共 $10$ 人中選出 $4$ 人，且三個城市都要有代表。

先從 $10$ 人中任選 $4$ 人，再扣除缺少某一城市代表的情形：

$$\binom{10}{4} -\binom{7}{4} -\binom{5}{4} -\binom{8}{4} +\binom{5}{4}.$$

其中：

本題考驗常態分布的機率計算與反向應用，目的是找出在給定損壞率下的保固期限。

核心觀念：常態分布、Z 分數、反標準常態分布查詢。

解題步驟：

設自行車的壽命 $X$ 服從常態分布，其平均值 $\mu = 10$ 年，標準差 $\sigma = 2$ 年。
即 $X \sim N(\mu=10, \sigma^2=2^2)$。

製造商希望更換的自行車比例（即在保固期內損壞的比例）為 3%。
設保固期為 $g$ 年。
則我們希望 $P(X < g) = 0.03$。

為了計算這個機率，我們需要將 $X$ 標準化為 Z 分數：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 10}{2}$
當 $X = g$ 時，對應的 Z 分數為 $z = \frac{g - 10}{2}$。
因此，原機率式可轉換為：
$P\left(Z < \frac{g - 10}{2}\right) = 0.03$

本題考驗點估計、信賴區間的建構以及誤差範圍的解釋，是統計推論的標準題型。

核心觀念：樣本統計量、中央極限定理（雖然題目已假設常態分布，但樣本數夠大時，樣本平均數的分布接近常態）、信賴區間、誤差範圍 (Margin of Error)。

解題步驟：

題目給定：
樣本數 $n = 100$
樣本平均數 $\bar{x} = 23,500$ 公里
樣本標準差 $s = 3,900$ 公里
（由於樣本數 $n=100$ 很大，我們可以用樣本標準差 $s$ 來估計母體標準差 $\sigma$。）
信賴水準為 99%，即 $1 - \alpha = 0.99$，所以 $\alpha = 0.01$。

(a) 建構 99% 信賴區間

由於樣本數 $n=100$ 很大，我們可以應用 Z 分配來建構信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中，$Z_{\alpha/2}$ 是標準常態分布中，尾部機率為 $\alpha/2$ 的 Z 值。
對於 99% 的信賴水準，$\alpha = 0.01$，所以 $\alpha/2 = 0.005$。
我們需要查找 $Z_{0.005}$，這個值是使得標準常態分布累積機率為 $1 - 0.005 = 0.995$ 的 Z 值。
查閱標準常態分布表，我們找到 $Z_{0.005} \approx 2.576$。

現在將數值代入信賴區間公式：
$23,500 \pm 2.576 \times \frac{3,900}{\sqrt{100}}$
$23,500 \pm 2.576 \times \frac{3,900}{10}$
$23,500 \pm 2.576 \times 390$

本題考驗獨立樣本 t 檢定，用於比較兩組獨立樣本的平均數是否有顯著差異。題目特別要求檢定兩組平均數的差是否大於特定值。

核心觀念：獨立樣本 t 檢定、變異數同質性假設（題目已給定）、雙樣本比例檢定（雖然題目問的是差值，但本質上是比較兩個平均數）。

解題步驟：

首先，定義兩組樣本的統計量：
Type A 汽車：
樣本數 $n_A = 12$
樣本平均數 $\bar{x}_A = 16$ km/L
樣本標準差 $s_A = 1.0$ km/L

Type B 汽車：
樣本數 $n_B = 10$
樣本平均數 $\bar{x}_B = 11$ km/L
樣本標準差 $s_B = 0.8$ km/L

顯著水準 $\alpha = 0.10$。
題目假設兩組數據近似常態分布且變異數相等（equal variances）。

1. 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)

我們需要檢定 Type A 汽車的平均油耗是否「超過」Type B 汽車的平均油耗「4 公里/公升」。
設 $\mu_A$ 為 Type A 汽車的母體平均油耗，$\mu_B$ 為 Type B 汽車的母體平均油耗。
題目要求檢定的差異是 $\mu_A - \mu_B$。
我們檢定的目標是 $\mu_A$ 是否「超過」$\mu_B$ 的 4 公里/公升，這意味著 $\mu_A - \mu_B > 4$。

所以，
虛無假設 $H_0: \mu_A - \mu_B \le 4$ （或寫成 $\mu_A - \mu_B = 4$，因為檢定是基於等號進行的）
對立假設 $H_1: \mu_A - \mu_B > 4$

這是一個右尾檢定。

2. 計算合併標準差 (Pooled Standard Deviation)

由於題目假設變異數相等，我們需要計算合併變異數 $s_p^2$。
$s_p^2 = \frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B - 1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}$
$s_p^2 = \frac{(12 - 1)(1.0)^2 + (10 - 1)(0.8)^2}{12 + 10 - 2}$
$s_p^2 = \frac{11 \times 1.00 + 9 \times 0.64}{20}$
$s_p^2 = \frac{11 + 5.76}{20}$
$s_p^2 = \frac{16.76}{20} = 0.838$

合併標準差 $s_p = \sqrt{0.838} \approx 0.9154$。

3. 計算檢定統計量 (Test Statistic)

本題考驗簡單線性迴歸的應用，包含迴歸線的擬合、決定係數的計算，以及對迴歸模型進行假設檢定。

核心觀念：最小平方法、迴歸係數、決定係數 ($R^2$)、迴歸模型的顯著性檢定 (F 檢定或 t 檢定)。

給定點：
A(1, 2), B(2, 3), C(3, 5)
樣本數 $n = 3$

1. 擬合迴歸線 $y = mx + b$

我們使用最小平方法來找到最佳擬合線。
首先計算一些基本統計量：
$x$ 值：1, 2, 3
$y$ 值：2, 3, 5

$\sum x = 1 + 2 + 3 = 6$
$\sum y = 2 + 3 + 5 = 10$
$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{6}{3} = 2$
$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{10}{3} \approx 3.333$

$\sum x^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$
$\sum y^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 9 + 25 = 38$
$\sum xy = (1 \times 2) + (2 \times 3) + (3 \times 5) = 2 + 6 + 15 = 23$

迴歸線斜率 $m$ 的計算公式：
$m = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$
$m = \frac{3(23) - (6)(10)}{3(14) - (6)^2}$
$m = \frac{69 - 60}{42 - 36}$
$m = \frac{9}{6} = 1.5$

迴歸線截距 $b$ 的計算公式：
$b = \bar{y} - m\bar{x}$
$b = \frac{10}{3} - 1.5 \times 2$
$b = \frac{10}{3} - 3$
$b = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333$

所以，擬合的迴歸線為：
$y = 1.5x + \frac{1}{3}$

(a) 擬合的迴歸線為 $y = 1.5x + \frac{1}{3}$

2. 計算決定係數 $R^2$

決定係數 $R^2$ 表示自變數 $x$ 解釋了應變數 $y$ 變異的百分比。
計算 $R^2$ 的方法有多種，這裡我們使用以下公式：
$R^2 = \frac{SS_{xy}^2}{SS_{xx} \times SS_{yy}}$
其中：
$SS_{xy} = \sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n} = 23 - \frac{6 \times 10}{3} = 23 - 20 = 3$
$SS_{xx} = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n} = 14 - \frac{6^2}{3} = 14 - 12 = 2$
$SS_{yy} = \sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n} = 38 - \frac{10^2}{3} = 38 - \frac{100}{3} = \frac{114 - 100}{3} = \frac{14}{3}$

代入 $R^2$ 公式：
$R^2 = \frac{(3)^2}{2 \times \frac{14}{3}} = \frac{9}{\frac{28}{3}} = 9 \times \frac{3}{28} = \frac{27}{28}$

將其轉換為小數或百分比：
$R^2 = \frac{27}{28} \approx 0.9643$

另一種計算 $R^2$ 的方法：
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中 SSE (Sum of Squared Errors) 是殘差平方和，SST (Total Sum of Squares) 是總平方和。

首先計算預測值 $\hat{y}_i$：
點 A(1, 2): $\hat{y}_1 = 1.5(1) + \frac{1}{3} = 1.5 + 0.333 = 1.833$
點 B(2, 3): $\hat{y}_2 = 1.5(2) + \frac{1}{3} = 3 + 0.333 = 3.333$
點 C(3, 5): $\hat{y}_3 = 1.5(3) + \frac{1}{3} = 4.5 + 0.333 = 4.833$

計算殘差 $e_i = y_i - \hat{y}_i$：
$e_1 = 2 - 1.833 = 0.167$
$e_2 = 3 - 3.333 = -0.333$
$e_3 = 5 - 4.833 = 0.167$

SSE = $\sum e_i^2 = (0.167)^2 + (-0.333)^2 + (0.167)^2 \approx 0.02789 + 0.11089 + 0.02789 \approx 0.1667$
（使用分數計算更精確：$e_1 = 2 - (3/2 + 1/3) = 2 - (9/6 + 2/6) = 2 - 11/6 = 1/6$
$e_2 = 3 - (3 + 1/3) = 3 - 10/3 = -1/3$
$e_3 = 5 - (9/2 + 1/3) = 5 - (27/6 + 2/6) = 5 - 29/6 = 1/6$
SSE = $(1/6)^2 + (-1/3)^2 + (1/6)^2 = 1/36 + 1/9 + 1/36 = 1/36 + 4/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6$)