114 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《材料力學（A）》

本題考查複合材料桿件在扭轉下的角度變形。由於材料A與材料B鍵結在一起，它們將以相同的角度扭轉。

核心觀念：

1. 扭轉變形: 圓形斷面桿件承受扭矩 $T$ 時，其斷面上的剪應力分布與角度變形。
2. 複合材料: 不同材料組成的結構，其受力行為需考慮各材料的性質。
3. 串聯變形: 在扭轉問題中，若桿件沿軸向分段，則總角度變形為各段角度變形之和；若桿件斷面由不同材料組成且鍵結在一起，則各材料的扭轉角度相同。

解題步驟：
假設桿件的長度為 $L$。
材料A的剪力彈性模數為 $G_A$，材料B的剪力彈性模數為 $G_B$。
材料A的極慣性矩為 $J_A = \frac{1}{2} \pi R_A^4$。
材料B的極慣性矩為 $J_B = \frac{1}{2} \pi (R_B^4 - R_{int,B}^4)$，其中 $R_{int,B}$ 為材料B的內半徑。從圖示 Section X-X 可知，材料A（Core A）的半徑為 $R_A$，材料B（Hollow bar B）的內半徑即為 $R_A$，外半徑為 $R_B$。因此，$J_B = \frac{1}{2} \pi (R_B^4 - R_A^4)$。

當施加一個總扭矩 $T_0$ 時，這個扭矩會由材料A和材料B共同承受。由於它們是鍵結在一起的，所以它們的扭轉角度 $\phi$ 必定相同。
設材料A承受的扭矩為 $T_A$，材料B承受的扭矩為 $T_B$。則 $T_A + T_B = T_0$。
對於圓形斷面桿件，扭轉角 $\phi$ 與扭矩 $T$、長度 $L$、極慣性矩 $J$ 及剪力彈性模數 $G$ 的關係為：
$\phi = \frac{TL}{GJ}$

因此，對於材料A：
$\phi = \frac{T_A L}{G_A J_A}$

對於材料B：
$\phi = \frac{T_B L}{G_B J_B}$

由於 $\phi$ 相同，我們可以得到：
$\frac{T_A L}{G_A J_A} = \frac{T_B L}{G_B J_B}$
$\frac{T_A}{G_A J_A} = \frac{T_B}{G_B J_B}$
$T_A = T_B \frac{G_A J_A}{G_B J_B}$

本題考查同時承受軸向負載與扭矩的空心圓軸，要求計算斷面上某一點的應力狀態，進而求出主應力與最大剪應力。

核心觀念：

1. 應力組合: 桿件同時承受軸向應力與剪應力時，斷面上會產生複合應力狀態。
2. 主應力: 斷面上應力狀態的特徵應力，對應於零剪應力的平面。
3. 最大剪應力: 斷面上任意方向平面上剪應力的最大值。
4. 莫爾圓: 可用來轉換應力狀態，方便求解主應力與最大剪應力。

解題步驟：
首先，我們需要計算該點承受的軸向應力 $\sigma_x$ 和剪應力 $\tau_{xy}$。
桿件承受軸向負載 $P = 34,000 \, \text{N}$。
斷面為空心圓，外半徑 $R_o = 80/2 = 40 \, \text{mm} = 0.04 \, \text{m}$，內半徑 $R_i = 34/2 = 17 \, \text{mm} = 0.017 \, \text{m}$。
斷面面積 $A = \pi (R_o^2 - R_i^2) = \pi (0.04^2 - 0.017^2) = \pi (0.0016 - 0.000289) = \pi (0.001311) \approx 0.004118 \, \text{m}^2$。
軸向應力 $\sigma_x = \frac{P}{A} = \frac{34,000 \, \text{N}}{0.004118 \, \text{m}^2} \approx 8,256,435 \, \text{Pa} \approx 8.256 \, \text{MPa}$。

桿件承受扭矩 $T = 600 \, \text{N-m}$。
斷面的極慣性矩 $J = \frac{1}{2} \pi (R_o^4 - R_i^4) = \frac{1}{2} \pi (0.04^4 - 0.017^4) = \frac{1}{2} \pi (2.56 \times 10^{-6} - 8.3521 \times 10^{-7}) = \frac{1}{2} \pi (1.72479 \times 10^{-6}) \approx 2.708 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$。
在外部表面上，點 $p$ 處的剪應力 $\tau_{xy}$ 最大。其計算公式為 $\tau_{xy} = \frac{Tr}{J}$，其中 $r$ 為該點到圓心的距離，對於外表面，$r = R_o = 0.04 \, \text{m}$。
$\tau_{xy} = \frac{(60 \, \text{N-m})(0.04 \, \text{m})}{2.708 \times 10^{-6} \, \text{m}^4} \approx \frac{2.4}{2.708 \times 10^{-6}} \approx 886,263 \, \text{Pa} \approx 0.886 \, \text{MPa}$。

現在我們有了在點 $p$ 處的應力狀態：
$\sigma_x = 8.256 \, \text{MPa}$
$\sigma_y = 0$ (因為是軸向載荷，且沒有橫向壓力)

本題考查單軸應力狀態下，材料的彈性常數（楊氏模數、蒲松比）的測定，並進一步推導出剪力彈性模數和體積彈性模數。

核心觀念：

1. 虎克定律 (Hooke's Law): 在彈性限度內，應力與應變成正比。對於單軸應力狀態，$\sigma = E\varepsilon$。
2. 蒲松比 (Poisson's Ratio): 材料在單軸拉伸或壓縮時，橫向應變與軸向應變的比值，定義為 $v = -\frac{\varepsilon_{lateral}}{\varepsilon_{axial}}$。
3. 彈性常數之間的關係: 在各向同性材料中，楊氏模數 $E$、蒲松比 $v$ 和剪力彈性模數 $G$ 之間存在關係 $G = \frac{E}{2(1+v)}$。體積彈性模數 $K$ 也與 $E$ 和 $v$ 有關 $K = \frac{E}{3(1-2v)}$。

解題步驟：
已知單軸應力狀態：$\sigma_x = 420 \, \text{MPa}$，$\sigma_y = \sigma_z = 0$。
測量得到的應變：$\varepsilon_x = 0.006$，$\varepsilon_y = \varepsilon_z = -0.002$。

1. 楊氏模數 (Modulus of Elasticity, E):
   根據虎克定律，對於單軸應力狀態，$\sigma_x = E \varepsilon_x$。
   $E = \frac{\sigma_x}{\varepsilon_x} = \frac{420 \, \text{MPa}}{0.006} = 70,000 \, \text{MPa} = 70 \, \text{GPa}$。

2. 蒲松比 (Poisson's Ratio, v):
   蒲松比定義為負的橫向應變與軸向應變之比。

核心觀念

本題考查：

• 集中力與均佈載重下的支承反力
• 剪力圖與彎矩圖
• 梁的彈性曲線方程式
• 邊界條件與連續條件求撓度

取 $x$ 軸由 $A$ 向右，$A$ 點為 $x=0$，$B$ 點為 $x=2\ \text{m}$，$C$ 點為 $x=4\ \text{m}$。均佈載重為 $40\ \text{kN/m}$，作用於 $AB$；$C$ 點有向上集中力 $60\ \text{kN}$。

以下取剪力向上為正、下凹彎矩為正，撓度向上為正。

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一、支承反力

將 $AB$ 上的均佈載重等效為：

$$40(2)=80\ \text{kN}$$

作用位置在 $A$ 右側 $1\ \text{m}$ 處。

設 $A$、$B$ 的垂直反力分別為 $A_y$、$B_y$。

垂直力平衡：

$$A_y+B_y-80+60=0$$ $$A_y+B_y=20$$

對 $A$ 點取力矩：

$$2B_y-80(1)+60(4)=0$$ $$2B_y+160=0$$ $$B_y=-80\ \text{kN}$$

因此：

$$A_y=100\ \text{kN}$$

負號表示 $B$ 點的實際反力方向向下。

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二、剪力圖

區段 $AB$：$0<x<2$

由左側截面得：

$$V(x)=100-40x$$

因此：

$$V(0^+)=100\ \text{kN}$$ $$V(2^-)=20\ \text{kN}$$

$B$ 點

$B$ 點有向下 $80\ \text{kN}$ 的反力，因此剪力跳降：

$$V(2^+)=20-80=-60\ \text{kN}$$

區段 $BC$：$2<x<4$

此區間沒有分布載重，所以剪力為常數：

$$V(x)=-60\ \text{kN}$$

在 $C$ 點受到向上 $60\ \text{kN}$ 集中力後：

$$V(4^+)=0$$

剪力圖關鍵值

$$\boxed{ V(0^+)=100,\quad V(2^-)=20,\quad V(2^+)=-60,\quad V(4^-)= -60,\quad V(4^+)=0 }$$

因此，$AB$ 段剪力呈線性下降，$B$ 點向下跳 $80\ \text{kN}$，$BC$ 段維持 $-60\ \text{kN}$，最後在 $C$ 點跳回零。

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三、彎矩圖

區段 $AB$：$0<x<2$

$$M(x)=\int V(x)\,dx$$

由 $M(0)=0$：

$$M(x)=100x-20x^2$$

在 $B$ 點：

$$M(2)=100(2)-20(2)^2$$ $$M(2)=120\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

區段 $BC$：$2<x<4$

由 $B$ 點向右取截面：

$$M(x)=120-60(x-2)$$

整理得：

$$M(x)=240-60x$$

在 $C$ 點：

$$M(4)=240-60(4)=0$$

彎矩圖關鍵值

$$\boxed{M_A=0,\qquad M_B=120\ \text{kN}\cdot\text{m},\qquad M_C=0}$$

由於 $AB$ 段剪力在 $0<x<2$ 始終為正，彎矩持續增加，因此最大彎矩發生於 $B$ 點：

$$\boxed{M_{\max}=120\ \text{kN}\cdot\text{m}\quad\text{位於 }B}$$

彎矩函數為：

$$\boxed{ M(x)= \begin{cases} 100x-20x^2, & 0\le x\le 2\\[4pt] 240-60x, & 2\le x\le 4 \end{cases} }$$

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四、求 $C$ 點撓度

假設梁的 $EI$ 為常數，採用彈性曲線方程式：

$$EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x)$$

區段 $AB$