115 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（在職生）《材料力學（B）》

核心觀念

本題考查歐拉–伯努力樑理論、軸力與彎矩的截面合力定義，以及分布載重下的樑微分平衡方程。

採用下列符號約定：

• $x$ 軸向右，$z$ 軸依圖示向下。
• $u(x)$：軸向位移。
• $w(x)$：$z$ 方向撓度。
• $\theta(x)=w'(x)$：截面旋轉角。
• $N(x)$：軸力，拉力為正。
• $V(x)$：剪力。
• $M(x)$：彎矩，定義為
  $M(x)=\int_A z\sigma(x,z)\,dA$

令分布載重在區間 $a<x<R$ 作用，其中

$R=L-b$

並將 $q_x(x)$、$q_z(x)$ 視為在其他區域為零。

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解題方法

對任意位置 $x$ 截取右側樑段，由自由端邊界條件

$N(L)=V(L)=M(L)=0$

可得截面內力。

1. 軸力、剪力與彎矩

軸向平衡：

$N'(x)+q_x(x)=0$

因此

$N(x)=\int_x^L q_x(s)\,ds$

剪力平衡：

$V'(x)+q_z(x)=0$

因此

$V(x)=\int_x^L q_z(s)\,ds$

彎矩平衡：

$M'(x)-V(x)=0$

因此

$M(x)=-\int_x^L (s-x)q_z(s)\,ds$

上式中的負號表示：當 $q_z>0$ 向下作用時，懸臂樑的彎矩為負。

若將載重作用區間明確寫出，則

$$N(x)= \begin{cases} \displaystyle \int_a^R q_x(s)\,ds, & 0\le x<a,\\[6pt] \displaystyle \int_x^R q_x(s)\,ds, & a\le x\le R,\\[6pt] 0, & R<x\le L, \end{cases}$$ $$V(x)= \begin{cases} \displaystyle \int_a^R q_z(s)\,ds, & 0\le x<a,\\[6pt] \displaystyle \int_x^R q_z(s)\,ds, & a\le x\le R,\\[6pt] 0, & R<x\le L, \end{cases}$$ $$M(x)= \begin{cases} \displaystyle -\int_a^R(s-x)q_z(s)\,ds, & 0\le x<a,\\[6pt] \displaystyle -\int_x^R(s-x)q_z(s)\,ds, & a\le x\le R,\\[6pt] 0, & R<x\le L. \end{cases}$$

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2. 位移場與旋轉角

軸向應變為

$\epsilon_x=u'(x)=\frac{N(x)}{EA}$

固定端 $u(0)=0$，所以

$$u(x)=\frac{1}{EA}\int_0^x N(t)\,dt$$

亦可寫成

$$u(x)=\frac{1}{EA}\int_0^x\int_t^L q_x(s)\,ds\,dt$$

彎曲應變為

$\epsilon_x=u'(x)-z w''(x)$

由材料定律 $\sigma=E\epsilon$，以及彎矩關係，可得

$M(x)=-EIw''(x)$

因此

$w''(x)=-\frac{M(x)}{EI}$

固定端條件為

$w(0)=0,\qquad \theta(0)=w'(0)=0$

所以旋轉角場為

$$\theta(x)=w'(x) =-\frac{1}{EI}\int_0^x M(t)\,dt$$

撓度場為

$$w(x)=-\frac{1}{EI}\int_0^x (x-t)M(t)\,dt$$

代入彎矩表示式，也可寫成

$$\theta(x) = \frac{1}{EI} \int_0^x\int_t^L(s-t)q_z(s)\,ds\,dt$$ $$w(x) = \frac{1}{EI} \int_0^x(x-t) \left[ \int_t^L(s-t)q_z(s)\,ds \right]dt$$

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3. 正應力場

截面正應力由軸力與彎矩疊加：

$$\boxed{ \sigma(x,z)=\frac{N(x)}{A}-\frac{M(x)}{I}z }$$

其中：

• $\dfrac{N}{A}$ 為均勻軸向正應力。
• $-\dfrac{Mz}{I}$ 為線性分布的彎曲正應力。
• $q_x$ 只影響 $N$，$q_z$ 只影響 $V$、$M$ 與彎曲應力。

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(a) 一般分布載重的答案

$$\boxed{ N(x)=\int_x^L q_x(s)\,ds }$$ $$\boxed{ V(x)=\int_x^L q_z(s)\,ds }$$ $$\boxed{ M(x)=-\int_x^L(s-x)q_z(s)\,ds }$$ $$\boxed{ u(x)=\frac{1}{EA}\int_0^x N(t)\,dt }$$

核心觀念

本題是「左端固定、右端鉸支」的平面梁，需同時考慮：

• 軸向變形：由 $P_x$ 造成，使用
  $\epsilon_x=\frac{du}{dx}=\frac{N}{EA}$
• 彎曲變形：由 $P_z$ 造成，採 Euler–Bernoulli 梁理論
  $\theta(x)=\frac{dw}{dx},\qquad \frac{d\theta}{dx}=\frac{M}{EI}$
• 右端鉸支的相容條件：
  $u(L)=0,\qquad w(L)=0$

取 $x$ 軸向右、$z$ 軸向下，且 $P_x,P_z$ 均以圖示正方向為正。定義正彎矩滿足

$$M=EI\frac{d^2w}{dx^2}$$

並採用

$$V=-\frac{dM}{dx}$$

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解題方法

將軸向與彎曲問題分開處理，再利用疊加原理組合結果。

一、軸向力與軸向位移

設左固定端與右鉸支的軸向反力分別為 $R_{0x}$、$R_{Lx}$。

由整體軸向平衡：

$$R_{0x}+R_{Lx}+P_x=0$$

右端鉸支限制軸向位移，因此

$$u(0)=0,\qquad u(L)=0$$

由 $N=EA\,du/dx$，且 $N$ 在集中力 $x=a$ 處產生跳躍，可得

$$N(x)= \begin{cases} \dfrac{L-a}{L}P_x, & 0\le x<a,\\[6pt] -\dfrac{a}{L}P_x, & a<x\le L. \end{cases}$$

軸向位移為

$$u(x)= \begin{cases} \dfrac{P_x(L-a)}{EAL}x, & 0\le x\le a,\\[8pt] \dfrac{P_xa(L-x)}{EAL}, & a\le x\le L. \end{cases}$$

可驗證 $u(0)=u(L)=0$，且 $u(x)$ 在集中力位置 $x=a$ 連續。

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二、彎矩與撓度

設右端鉸支的垂直反力為 $R_{Lz}$。

對 $x<a$ 的截面取右側外力矩，彎矩為

$$M(x)=P_z(a-x)+R_{Lz}(L-x) \qquad (0\le x<a)$$

對 $a<x\le L$，集中力 $P_z$ 位於截面左側，因此

$$M(x)=R_{Lz}(L-x) \qquad (a<x\le L)$$

右端撓度必須為零。由單位荷重積分，或直接積分 $EIw''=M$：

$$w(L)=\frac{1}{EI} \left[ \frac{P_za^2(3L-a)}{6} +\frac{R_{Lz}L^3}{6} \right]=0$$

因此

$$R_{Lz} = -\frac{P_za^2(3L-a)}{L^3}$$

令

$$R_z=-\frac{P_za^2(3L-a)}{L^3}$$

則彎矩場為

$$M(x)= \begin{cases} P_z(a-x)+R_z(L-x), & 0\le x<a,\\[6pt] R_z(L-x), & a<x\le L. \end{cases}$$

其中

$$R_z=-\frac{P_za^2(3L-a)}{L^3}$$

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三、旋轉角場

由

$$\frac{d\theta}{dx}=\frac{M(x)}{EI}, \qquad \theta(0)=0$$

可得

$$\theta(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{EI} \left[ P_z\left(ax-\dfrac{x^2}{2}\right) + R_z\left(Lx-\dfrac{x^2}{2}\right) \right], & 0\le x\le a,\\[12pt] \dfrac{1}{EI} \left[ \dfrac{P_za^2}{2} + R_z\left(Lx-\dfrac{x^2}{2}\right) \right], & a\le x\le L. \end{cases}$$

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四、撓度場

由

$$\frac{dw}{dx}=\theta(x), \qquad w(0)=0$$

得到

$$w(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{EI} \left[ P_z\left(\dfrac{ax^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}\right) + R_z\left(\dfrac{Lx^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}\right) \right], & 0\le x\le a,\\[14pt] \dfrac{1}{EI} \left[ P_z\left(\dfrac{a^2x}{2}-\dfrac{a^3}{6}\right) + R_z\left(\dfrac{Lx^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}\right) \right], & a\le x\le L. \end{cases}$$

代入 $R_z$ 後，確實有

本題考查複合材料樑在軸向拉伸下的應力-應變行為，其中包含線彈性材料與彈塑性材料。複合材料透過剛性板連接，意味著兩材料在受力時具有相同的軸向變形。

核心觀念：

1. 複合材料變形協同：由於剛性連接板，材料 A 和材料 B 具有相同的總軸向伸長量 $\Delta$。
2. 應力-應變關係：
   • 材料 A (線彈性)：$\sigma_A = E_A \epsilon_A$。
   • 材料 B (彈塑性)：
     • 彈性階段 ($\sigma_B \le \sigma_y$)：$\sigma_B = E_B \epsilon_B$。
     • 塑性階段 ($\sigma_B > \sigma_y$)：$\sigma_B = \sigma_y$ (應力達到屈服強度後不再增加，應變繼續增加)。
3. 力平衡：總拉伸力 $P$ 是兩材料承受的軸向力之和：$P = P_A + P_B$。
4. 應變與伸長量的關係：$\epsilon = \Delta / L$。

解題步驟：

首先，我們需要理解複合材料的受力行為。由於是懸臂樑（雖然題目未明確說明是懸臂樑，但圖示和「elongated $\Delta$ by a tensile force P」表明是受軸向拉伸），且材料 A 和 B 由剛性板連接，這表示它們在受拉時會一起伸長，因此它們的軸向應變是相同的。
$\epsilon_A = \epsilon_B = \epsilon = \frac{\Delta}{L}$。

總拉伸力 $P$ 是兩部分材料承受的力之和：
$P = P_A + P_B = \sigma_A A_A + \sigma_B A_B$。

a) 計算當 $\Delta = 0.5 \frac{\sigma_y L}{E_B}$ 時的拉伸力 P。

1. 計算應變 $\epsilon$：
   $\epsilon = \frac{\Delta}{L} = \frac{1}{L} \left( 0.5 \frac{\sigma_y L}{E_B} \right) = 0.5 \frac{\sigma_y}{E_B}$。

2. 判斷材料 B 的應力狀態：
   我們需要比較此應變 $\epsilon$ 與材料 B 的屈服應變 $\epsilon_{y,B}$。
   材料 B 的屈服應變為 $\epsilon_{y,B} = \frac{\sigma_y}{E_B}$。
   由於 $\epsilon = 0.5 \frac{\sigma_y}{E_B} = 0.5 \epsilon_{y,B}$，所以 $\epsilon < \epsilon_{y,B}$。
   這表示材料 B 仍處於彈性階段。

3. 計算材料 A 和 B 的應力：

   • 材料 A (線彈性)： $\sigma_A = E_A \epsilon = E_A \left( 0.5 \frac{\sigma_y}{E_B} \right) = 0.5 \frac{E_A}{E_B} \sigma_y$。
   • 材料 B (彈性階段)：$\sigma_B = E_B \epsilon = E_B \left( 0.5 \frac{\sigma_y}{E_B} \right) = 0.5 \sigma_y$。

4. 計算總拉伸力 P：
   $P = \sigma_A A_A + \sigma_B A_B = \left( 0.5 \frac{E_A}{E_B} \sigma_y \right) A_A + (0.5 \sigma_y) A_B$
   $P = 0.5 \sigma_y \left( \frac{E_A A_A}{E_B} + A_B \right)$。

b) 計算當 $\Delta = \frac{\sigma_y L}{E_B}$ 時的對應正向應力 $\sigma_A$ 和 $\sigma_B$。

1. 計算應變 $\epsilon$：

核心觀念

本題探討二維平面應力狀態（Plane Stress State）在特定坐標系下的應力轉換、主應力、最大剪應力，以及等向性線彈性材料的本構關係（廣義虎克定律 Generalized Hooke's Law）。

1. 坐標與應力定義：
   本題坐標系為 $x-z$ 平面（而非習用的 $x-y$ 平面），平面內應力分量為正向應力 $\sigma_x$、$\sigma_z$ 及剪應力 $\tau_{xz}$。因處於平面應力狀態，垂直於該平面的應力 $\sigma_y = 0$、$\tau_{xy} = 0$、$\tau_{yz} = 0$。
2. 應力轉換（Stress Transformation）與主應力（Principal Stresses）：
   利用應力平衡或莫爾圓（Mohr's Circle）關係，求出主應力值 $\sigma_1, \sigma_2$、主平面方位角 $\phi_p$、平面內最大剪應力 $\tau_{\max}$，以及任意傾角 $\theta$ 截面上的等效应力 $\sigma_{eq}$ 與 $\tau_{eq}$。
3. 等向性線彈性材料之三維廣義虎克定律：
   利用剪力模數 $G$ 與體積模數 $K$ 表示之彈性常數，轉換出楊氏模數 $E$ 與卜松比 $\nu$，進而求得全應變張量分量（含平面外正向應變 $\epsilon_y$）。

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解題方法與詳細推導

(a) 主應力、主角度 $\phi_p$、最大剪應力與定向微元圖

1. 主應力（Principal Stresses）公式推導：
   平均正向應力 $\sigma_{\text{avg}}$ 與莫爾圓半徑 $R$ 分別為：

   $$\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{2}$$ $$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \tau_{xz}^2}$$

   因此，平面內的主應力為：

   $$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \tau_{xz}^2}$$

   其中最大主應力 $\sigma_1 = \sigma_{\text{avg}} + R$，最小主應力 $\sigma_2 = \sigma_{\text{avg}} - R$。

2. 主應力角度（Principal Angles $\phi_p$）：
   使剪應力為零的截面方位角 $\phi_p$（由 $x$ 軸逆時針量起至外法線方向）滿足：

   $$\tan 2\phi_p = \frac{2\tau_{xz}}{\sigma_x - \sigma_z}$$

   此方程在 $0^\circ \le \phi_p < 180^\circ$ 區間內有兩個相互垂直的解：

   $$\phi_{p1} = \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{2\tau_{xz}}{\sigma_x - \sigma_z}\right)$$ $$\phi_{p2} = \phi_{p1} + 90^\circ$$

3. 最大剪應力（Maximum Shear Stress）：
   平面內最大剪應力即為莫爾圓半徑：

   $$\tau_{\max} = R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \tau_{xz}^2}$$

   其作用平面之方位角與主應力平面互差 $45^\circ$，即 $\phi_s = \phi_p \pm 45^\circ$。在該面上同時存在平均正向應力 $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{2}$。

4. 定向應力微元圖（Sketching Properly Oriented Elements）說明：

   • 主應力微元（Principal Stress Element）：
     將原微元繞 $y$ 軸逆時針旋轉 $\phi_{p1}$ 角。在法線角為 $\phi_{p1}$ 的面上作用有主應力 $\sigma_1$，垂直的 $\phi_{p2}$ 面上作用有主應力 $\sigma_2$。此時四個面上剪應力皆為零。
   • 最大剪應力微元（Maximum Shear Stress Element）：
     將主應力微元再旋轉 $45^\circ$（即與原軸呈 $\phi_s = \phi_{p1} + 45^\circ$）。此時四個面上均作用有等值之剪應力 $\tau_{\max}$（依互等定理箭頭互指角緣），且四個面上均承受正向應力 $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{2}$。

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(b) 任意傾角 $\theta$ 截面之等效应力 $\sigma_{eq}$ 與 $\tau_{eq}$

取逆時針旋轉 $\theta$ 角之斜截面（新法線方向為 $n$ 軸，切線方向為 $t$ 軸）：

1. 正向應力轉換公式：

   $$\sigma_{eq} = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\cos 2\theta + \tau_{xz}\sin 2\theta$$

2. 剪應力轉換公式（題意剪應力以 $\tau_{xz}$ 表示，題目符號中 $\tau$ 即 $\tau_{xz}$）：

   $$\tau_{eq} = -\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\sin 2\theta + \tau_{xz}\cos 2\theta$$

3. 定向應力微元圖說明：
   建立旋轉後之微元，其法線外向軸分別為 $n$ 軸（與 $x$ 軸夾角 $\theta$ 逆時針）與 $t$ 軸（與 $z$ 軸夾角 $\theta$ 逆時針）。在 $n$ 面上標示外向正向應力 $\sigma_{eq}$ 與沿正 $t$ 方向之剪應力 $\tau_{eq}$；