108 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（在職生）《材料力學（B）》

核心觀念

本題屬於剛體－彈簧離散系統之彈性挫屈與穩定性分析（Buckling and Stability of Rigid Bar-Spring Systems）。涉及的力學核心觀念包括：

1. 最小總位能原理（Principle of Minimum Potential Energy）與中性平衡（Neutral Equilibrium）：系統位能 $\Pi = U - W$，其中 $U$ 為彈性彈簧儲存的應變能，$W$ 為軸向壓力 $P$ 沿變形縮短方向所作之外力功。當系統處於微小位移的臨界平衡狀態時，變分或一階偏微分為零（$\delta \Pi = 0$ 或 $\frac{\partial \Pi}{\partial v_i} = 0$）。
2. 幾何非線性縮短量（P-Delta 幾何效應）：剛棒發生微小轉角時，端點之間會產生二階軸向縮短量 $\Delta L \approx \frac{1}{2} L \theta^2$，外力 $P$ 經此縮短量做正功，提供使系統失穩的驅動力。
3. 特徵值問題（Eigenvalue Problem）與挫屈模態：由中性平衡方程式可建立系統之剛度矩陣方程式，當特徵行列式為零時可解出分歧載重（Bifurcation Loads），其中的最小值即為最小臨界載重 $P_{cr}$，其對應的特徵向量即為挫屈變形形狀（Buckling Mode Shape）。

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解題方法

1. 廣義座標設定與運動學幾何關係

令兩根剛棒長度皆為 $L$，在微小變形下：

• 設點 A、B、C 之垂直位移（取向下為正）分別為 $v_A$、$v_B$、$v_C$。
• 剛棒 AB 之旋轉角為：
  $\theta_1 = \frac{v_B - v_A}{L}$
  其軸向水平縮短量為：
  $\Delta L_1 = L (1 - \cos\theta_1) \approx \frac{1}{2} L \theta_1^2 = \frac{(v_B - v_A)^2}{2L}$
• 剛棒 BC 之旋轉角為：
  $\theta_2 = \frac{v_C - v_B}{L}$
  其軸向水平縮短量為：
  $\Delta L_2 = L (1 - \cos\theta_2) \approx \frac{1}{2} L \theta_2^2 = \frac{(v_C - v_B)^2}{2L}$

2. 建立系統總位能

三個線性彈簧的勁度分別為 $k_A = k$、$k_B = 2k$、$k_C = k$。
系統應變能為各彈簧變形能量之和：
$U = \frac{1}{2} k v_A^2 + \frac{1}{2} (2k) v_B^2 + \frac{1}{2} k v_C^2 = \frac{1}{2} k \left( v_A^2 + 2v_B^2 + v_C^2 \right)$

軸向外力 $P$ 所作之功為外力乘以總軸向相對縮短量 $\Delta = \Delta L_1 + \Delta L_2$：
$W = P (\Delta L_1 + \Delta L_2) = \frac{P}{2L} \left[ (v_B - v_A)^2 + (v_C - v_B)^2 \right]$

系統總位能 $\Pi = U - W$：
$\Pi = \frac{1}{2} k \left( v_A^2 + 2v_B^2 + v_C^2 \right) - \frac{P}{2L} \left[ (v_B - v_A)^2 + (v_C - v_B)^2 \right]$

3. 平衡方程式與特徵方程式

對各廣義位移求偏導函數並令其為零：
$\frac{\partial \Pi}{\partial v_A} = k v_A - \frac{P}{L}(v_A - v_B) = \left( k - \frac{P}{L} \right) v_A + \frac{P}{L} v_B = 0$

$\frac{\partial \Pi}{\partial v_B} = 2k v_B - \frac{P}{L}\left[ (v_B - v_A) + (v_B - v_C) \right] = \frac{P}{L} v_A + \left( 2k - \frac{2P}{L} \right) v_B + \frac{P}{L} v_C = 0$

$\frac{\partial \Pi}{\partial v_C} = k v_C - \frac{P}{L}(v_C - v_B) = \frac{P}{L} v_B + \left( k - \frac{P}{L} \right) v_C = 0$

整理為矩陣形式：
$\begin{bmatrix} k - \frac{P}{L} & \frac{P}{L} & 0 \\ \frac{P}{L} & 2k - \frac{2P}{L} & \frac{P}{L} \\ 0 & \frac{P}{L} & k - \frac{P}{L} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_A \\ v_B \\ v_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

核心觀念

本題屬於剛體桿件彈簧系統之挫屈穩定性分析（Buckling and Stability of Rigid-Bar Spring Systems）。涉及的核心觀念與定理包含：

1. 最小位能原理（Principle of Minimum Potential Energy）與中性平衡（Neutral Equilibrium）：系統處於微小擾動下的分歧平衡狀態（Bifurcation Point）時，總位能的一階變分為零（$\delta \Pi = 0$），且二階變分矩陣（切線剛度矩陣）之行列式值為零。
2. 幾何非線性效應（二階效應）：當桿件產生微小旋轉角 $\theta$ 時，軸向壓縮載重 $P$ 因桿件幾何縮短量 $\Delta x \approx \frac{L}{2}\theta^2$ 而對系統做正功，扮演破壞系統穩定性的幾何勁度（Geometric Stiffness）角色。
3. 特徵值問題（Eigenvalue Problem）與挫屈模態：透過勁度矩陣與幾何勁度矩陣求解系統的臨界載重（特徵值）及對應的失穩變形幾何形狀（特徵向量）。

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解題方法

1. 定義廣義座標與幾何關係

設系統在水平位置受到微小擾動後，節點 A、B、C 之垂直位移（以向下為正）分別為 $v_A$、$v_B$、$v_C$。
由於兩桿件均為長度 $L$ 之剛體（Rigid Bar），桿件本身不產生彎曲變形，僅發生微小剛體旋轉：

• 桿件 AB 之旋轉角為：

$$\theta_1 \approx \frac{v_B - v_A}{L}$$

• 桿件 BC 之旋轉角為：

$$\theta_2 \approx \frac{v_C - v_B}{L}$$

2. 系統總位能推導

系統的總位能 $\Pi$ 由彈簧之彈性能 $U$ 與軸向外力 $P$ 所做的外力位能 $V$（即外力功之負值 $-W$）組成：

$$\Pi = U - W$$

(1) 彈簧應變能 $U$

系統在點 A、B、C 分別連有勁度為 $k$、$2k$、$k$ 的垂直線性彈簧：

$$U = \frac{1}{2} k v_A^2 + \frac{1}{2} (2k) v_B^2 + \frac{1}{2} k v_C^2 = \frac{1}{2} k \left( v_A^2 + 2v_B^2 + v_C^2 \right)$$

(2) 外力做功 $W$

兩根長度為 $L$ 的剛性桿旋轉後，系統在水平方向的二階軸向縮短量 $\Delta x$ 為：

$$\Delta x = L(1 - \cos\theta_1) + L(1 - \cos\theta_2) \approx \frac{L}{2}\theta_1^2 + \frac{L}{2}\theta_2^2$$

將 $\theta_1$、$\theta_2$ 代入：

$$\Delta x = \frac{1}{2L} \left[ (v_B - v_A)^2 + (v_C - v_B)^2 \right]$$

外向壓縮力 $P$ 沿縮短方向做正功：

$$W = P \Delta x = \frac{P}{2L} \left[ (v_B - v_A)^2 + (v_C - v_B)^2 \right]$$

(3) 總位能 $\Pi$ 之二次型矩陣形式

將總位能整理為位移向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_A & v_B & v_C \end{bmatrix}^T$ 的矩陣形式：

$$\Pi = \frac{1}{2} \mathbf{v}^T \mathbf{K} \mathbf{v} - \frac{1}{2} \frac{P}{L} \mathbf{v}^T \mathbf{K}_G \mathbf{v} = \frac{1}{2} \mathbf{v}^T \left( \mathbf{K} - \frac{P}{L} \mathbf{K}_G \right) \mathbf{v}$$

其中彈性勁度矩陣 $\mathbf{K}$ 與幾何勁度矩陣 $\mathbf{K}_G$ 分別為：

$$\mathbf{K} = k \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\mathbf{K}_G = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

3. 求解臨界載重（特徵值方程式）

依中性平衡條件 $\delta \Pi = 0$，系統存在非零微小位移解的充要條件為特徵行列式為零：

$$\det\left( \mathbf{K} - \lambda \mathbf{K}_G \right) = 0 \quad \left(\text{令 } \lambda = \frac{P}{L}\right)$$

展開行列式：

核心觀念

頂端的 $20\text{ kN}$ 橫向力在距頂端 $200\text{ mm}$ 的截面造成彎矩；$1\text{ kN}\cdot\text{m}$ 扭矩則造成圓軸表面的扭轉剪應力。Point H 位於實心圓柱外表面，因此橫向剪力造成的截面剪應力在該點為零，應力狀態由彎曲正應力與扭轉剪應力組成。

平面應力的主應力與最大剪應力為

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$ $$\tau_{\max,\text{in-plane}} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

解題方法

取距頂端 $200\text{ mm}$ 處截面，橫向力造成的彎矩大小為

$$M=V\ell=(20\text{ kN})(0.200\text{ m})=4.00\text{ kN}\cdot\text{m}$$

圓柱直徑 $d=60\text{ mm}=0.060\text{ m}$，外表面彎曲正應力大小為

$$|\sigma_x| = \frac{Mc}{I} = \frac{32M}{\pi d^3} = \frac{32(4.00\times10^3)} {\pi(0.060)^3} = 188.6\text{ MPa}$$

扭矩 $T=1.00\text{ kN}\cdot\text{m}$，外表面扭轉剪應力為

核心觀念

本題結合了應變計花（Strain Gage Rosette）應變轉換、薄壁壓力容器（Thin-walled Pressure Vessel）應力分析、**廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）以及三維主應力與絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）**等核心力學觀念：

1. $60^\circ$ 應變計花（Delta Rosette）應變轉換：
   在平面應變狀態下，任意方向 $\theta$ 之正應變公式為：

   $$\epsilon_\theta = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta$$

   若應變計 $a$ 沿 $x$ 軸（$\theta_a = 0^\circ$），$b$ 位於 $\theta_b = 60^\circ$，$c$ 位於 $\theta_c = 120^\circ$。

2. 薄壁圓柱壓力容器應力狀態：
   內壓力 $p$ 作用下，圓柱筒壁外表面處於平面應力狀態（$\sigma_r = 0$），其縱向（軸向）應力 $\sigma_a$ 與環向（環向／切線）應力 $\sigma_h$ 均為互相垂直的主應力（無剪應力，即剪應變 $\gamma = 0$）：

   • 環向應力（Hoop stress）： $$\sigma_h = \frac{p d}{2t}$$
   • 軸向應力（Longitudinal stress）： $$\sigma_a = \frac{p d}{4t} = \frac{1}{2}\sigma_h$$

3. 廣義虎克定律（雙軸應力狀態）：
   外表面 $\sigma_3 = 0$，材料彈性模數為 $E$、卜松比為 $\nu$：

   $$\epsilon_h = \frac{1}{E}(\sigma_h - \nu \sigma_a)$$ $$\epsilon_a = \frac{1}{E}(\sigma_a - \nu \sigma_h)$$

4. 絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）：
   在三維應力狀態下，主應力由大至小排序為 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$，絕對最大剪應力定義為：

   $$\tau_{\text{abs,max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$

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解題方法

步驟一：由應變計花數據求解平面主應變與卜松比

選定應變計 $a$ 所在方向為 $x$ 軸（縱向），則 $\theta_a = 0^\circ$、$\theta_b = 60^\circ$、$\theta_c = 120^\circ$。

代入應變轉換公式：

1. $\theta_a = 0^\circ$： $$\epsilon_a = \epsilon_x = 80 \times 10^{-6}$$
2. $\theta_b = 60^\circ$： $$\epsilon_b = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\cos(120^\circ) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(120^\circ) = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} - \frac{1}{4}(\epsilon_x - \epsilon_y) + \frac{\sqrt{3}}{4}\gamma_{xy}$$
3. $\theta_c = 120^\circ$： $$\epsilon_c = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2}\cos(240^\circ) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(240^\circ) = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} - \frac{1}{4}(\epsilon_x - \epsilon_y) - \frac{\sqrt{3}}{4}\gamma_{xy}$$

因 $\epsilon_b = \epsilon_c = 275 \times 10^{-6}$，兩式相減可得：

$$\epsilon_b - \epsilon_c = \frac{\sqrt{3}}{2}\gamma_{xy} = 0 \implies \gamma_{xy} = 0$$

此結果證實 $x$ 軸與 $y$ 軸即為主應變方向，且應變計 $a$ 正好對齊壓力容器的縱軸（$\epsilon_x = \epsilon_{\text{long}}$），垂直方向 $y$ 軸即為環向（$\epsilon_y = \epsilon_h$）。

將兩式相加：

$$\epsilon_b + \epsilon_c = \frac{\epsilon_x + 3\epsilon_y}{2} = 2 \times 275 \times 10^{-6} = 550 \times 10^{-6}$$

代入 $\epsilon_x = 80 \times 10^{-6}$：

核心觀念

本題屬於靜不定桿件系統的彈塑性分析（Elasto-Plastic Analysis of Indeterminate Axial Systems），核心觀念包含：

1. 幾何相合條件（Compatibility Condition）：剛體塊（rigid block）受力 $P$ 作用僅產生向下剛體位移 $\delta$ 且「不發生旋轉」，因此各桿件頂端固定、底端隨剛體塊位移，三根桿件的軸向伸長量完全相同，皆為 $\Delta L = \delta$。
2. 應變與長度關係：
   • 桿件 B 與 D 之長度為 $L$，軸向應變 $\varepsilon_B = \varepsilon_D = \frac{\delta}{L}$。
   • 桿件 C 之長度為 $2L$，軸向應變 $\varepsilon_C = \frac{\delta}{2L} = \frac{1}{2}\varepsilon_B$。
3. 理想彈塑性材料本構律（Elastic-Perfectly Plastic Constitutive Law）：
   • 降伏應變 $\varepsilon_Y = \frac{\sigma_Y}{E}$。
   • 當 $\varepsilon \le \varepsilon_Y$ 時為線彈性階段，應力 $\sigma = E\varepsilon$。
   • 當 $\varepsilon_Y \le \varepsilon < \varepsilon_f$ 時進入塑性流動階段，應力保持定值 $\sigma = \sigma_Y$，桿件軸力維持塑性極限承載力 $N_Y = \sigma_Y A$。
   • 材料破壞應變為 $\varepsilon_f = \frac{3\sigma_Y}{E} = 3\varepsilon_Y$。
4. 靜力平衡方程式（Equilibrium Equation）：
   由鉛直方向力平衡得：
   $P = F_B + F_C + F_D$

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解題方法

(1) 初次降伏分析與力－位移關係式推導

1. 判斷首先降伏之桿件：
   由於三桿之伸長量皆為 $\delta$，其軸向正應變分別為：
   $\varepsilon_B = \frac{\delta}{L}$
   $\varepsilon_D = \frac{\delta}{L}$
   $\varepsilon_C = \frac{\delta}{2L}$
   可知在任意位移 $\delta > 0$ 下，恆有：
   $\varepsilon_B = \varepsilon_D = 2\varepsilon_C > \varepsilon_C$
   因此，桿件 B 與桿件 D 會同時最先達到降伏應變 $\varepsilon_Y$。

2. 初次降伏時的位移 $\delta$：
   當桿件 B、D 剛好到達降伏極限時，$\varepsilon_B = \varepsilon_D = \varepsilon_Y = \frac{\sigma_Y}{E}$，此時向下位移為：
   $\delta = \varepsilon_Y \cdot L = \frac{\sigma_Y L}{E}$

3. 初次降伏時的外力 $P$：
   此時桿件 C 的應變為：
   $\varepsilon_C = \frac{\delta}{2L} = \frac{\sigma_Y}{2E} = \frac{1}{2}\varepsilon_Y < \varepsilon_Y$
   桿件 C 仍在線彈性範圍內，各桿軸力為：
   $F_B = \sigma_Y A$
   $F_D = \sigma_Y A$
   $F_C = E \cdot \varepsilon_C \cdot A = E \left(\frac{\sigma_Y}{2E}\right) A = \frac{1}{2}\sigma_Y A$
   由鉛直力平衡方程式求得 $P$：
   $P = F_B + F_C + F_D = \sigma_Y A + \frac{1}{2}\sigma_Y A + \sigma_Y A = \frac{5}{2}\sigma_Y A$

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(2) 載重－位移曲線（$P$-$\delta$ 關係）推導與繪圖

系統自 $P = 0$ 載入至系統發生首度斷裂（first fracture）的過程可分為以下三個階段：

第一階段：全系統彈性階段（$0 \le \delta \le \frac{\sigma_Y L}{E}$）

• 三桿皆為彈性，各桿軸力：
  $F_B = F_D = \frac{EA}{L}\delta$
  $F_C = \frac{EA}{2L}\delta$
• 外力與位移關係：
  $P(\delta) = 2\left(\frac{EA}{L}\delta\right) + \frac{EA}{2L}\delta = \frac{5EA}{2L}\delta$
• 曲線為通過原點之直線，斜率（系統彈性勁度）為 $k_1 = \frac{5EA}{2L}$。
• 階段終點為初次降伏點 $(x_1, y_1)$：
  $\delta_1 = \frac{\sigma_Y L}{E},\quad P_1 = \frac{5}{2}\sigma_Y A$

第二階段：部分塑性階段（$\frac{\sigma_Y L}{E} \le \delta \le \frac{2\sigma_Y L}{E}$）

• 桿件 B 與 D 進入塑性平原，內力保持定值：
  $F_B = F_D = \sigma_Y A$
• 桿件 C 仍處於彈性受力階段：
  $F_C = \frac{EA}{2L}\delta$
• 外力與位移關係：
  $P(\delta) = 2\sigma_Y A + \frac{EA}{2L}\delta$
• 曲線為斜率 $k_2 = \frac{EA}{2L}$ 的直線（斜率降為第一階段的 $\frac{1}{5}$）。
• 當桿件 C 達到降伏時，$\varepsilon_C = \frac{\delta}{2L} = \frac{\sigma_Y}{E}$，對應位移為：
  $\delta_2 = \frac{2\sigma_Y L}{E}$
• 階段終點為全斷面降伏點 $(x_2, y_2)$：
  $\delta_2 = \frac{2\sigma_Y L}{E},\quad P_2 = 2\sigma_Y A + \frac{EA}{2L}\left(\frac{2\sigma_Y L}{E}\right) = 3\sigma_Y A$

第三階段：全塑性平原階段至首度斷裂（$\frac{2\sigma_Y L}{E} \le \delta \le \frac{3\sigma_Y L}{E}$）

核心觀念

這題考壓縮力造成的幾何剛度，以及彈簧支承系統的線性化屈曲特徵值問題。臨界狀態可由總位能的二次項判定：彈簧提供穩定項，壓縮力則因桿件的側向位移差提供負的幾何剛度項。

令 $y_A,y_B,y_C$ 分別為三個支承點的微小垂直位移。剛桿長度皆為 $L$，每根桿的水平投影縮短量在小轉角下為

$$\Delta_i \simeq \frac{(\Delta y_i)^2}{2L}.$$

解題方法

彈簧的應變能為

$$U_s=\frac{1}{2}k y_A^2+\frac{1}{2}(2k)y_B^2+\frac{1}{2}k y_C^2.$$

兩根桿的垂直位移差分別為 $y_B-y_A$ 與 $y_C-y_B$。壓縮力 $P$ 對應的幾何位能項為

$$U_g=-\frac{P}{2L}\left[(y_B-y_A)^2+(y_C-y_B)^2\right].$$

屈曲臨界條件是總位能 $U_s+U_g$ 的二次項存在非零中性變形。令

$$\mathbf q= \begin{bmatrix} y_A\\y_B\\y_C \end{bmatrix}, \qquad \mathbf K_0= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf D= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{bmatrix}.$$

對位能取變分，得到屈曲特徵方程

核心觀念

本題考的是「彎曲與扭轉的組合應力」。在通過 H 點的截面上，橫向力產生彎矩，扭矩產生剪應力，再利用平面應力轉換公式求主應力與最大面內剪應力。

依圖示，H 位於彎曲受拉側的外緣，因此彎曲正應力取正值。此位置的橫向剪力剪應力為零，剪應力由扭轉提供。

解題方法

1. 求 H 所在截面的內力

H 距頂端 $200\text{ mm}$，故截面彎矩為

$$M=(20\times10^3)(200) =4.0\times10^6\text{ N}\cdot\text{mm} =4\text{ kN}\cdot\text{m}$$

扭矩則為

$$T=1\text{ kN}\cdot\text{m} =1.0\times10^6\text{ N}\cdot\text{mm}$$

柱徑 $d=60\text{ mm}$，外緣至中立軸的距離為 $c=d/2=30\text{ mm}$。實心圓截面的面積慣性矩與極慣性矩分別為

$$I=\frac{\pi d^4}{64}, \qquad J=\frac{\pi d^4}{32}$$

2. 計算 H 點的正應力與剪應力

以 $z$ 表示柱軸方向，$\theta$ 表示 H 點的圓周切線方向。彎曲造成的軸向拉應力為

$$\sigma_z=\frac{Mc}{I} =\frac{32M}{\pi d^3} =\frac{32(4.0\times10^6)}{\pi(60)^3} =188.63\text{ MPa}$$

扭轉剪應力的大小為

$$|\tau_{z\theta}|=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi d^3} =\frac{16(1.0\times10^6)}{\pi(60)^3} =23.58\text{ MPa}$$

圓周方向沒有正應力，故 H 點的平面應力狀態為

$$\sigma_z=188.63\text{ MPa}, \qquad \sigma_\theta=0, \qquad |\tau_{z\theta}|=23.58\text{ MPa}$$

3. 求面內主應力

平面應力的主應力公式為

核心觀念

本題結合了**薄壁壓力容器（Thin-walled Pressure Vessel）**的應力狀態、**應變花（Strain Rosette）的幾何轉換關係，以及虎克定律（Generalized Hooke's Law）與三維莫爾圓（3D Mohr's Circle）**觀念：

1. 等角應變花（$60^\circ$ Delta Strain Rosette）之應變轉換：
   三枚應變規間隔 $60^\circ$（分別為 $\theta_a = 0^\circ$、$\theta_b = 60^\circ$、$\theta_c = 120^\circ$），其常應變轉換公式為：

   $$\epsilon(\theta) = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2} \sin 2\theta$$

   由等角應變花之對稱性可導出：

   • 體積應變相關和（平面平均正應變）：$\epsilon_{\text{avg}} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} = \frac{\epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c}{3}$
   • 主應變（Principal Strains）為平面應變莫爾圓之半徑延伸： $$\epsilon_{1,2} = \frac{\epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{2\epsilon_a - \epsilon_b - \epsilon_c}{3}\right)^2 + \frac{(\epsilon_b - \epsilon_c)^2}{3}}$$

2. 薄壁圓柱壓力容器之應力狀態：
   內徑為 $d$（或平均直徑 $d$）、壁厚為 $t$、內壓力為 $p$：

   • 環向應力（Hoop stress）：$\sigma_h = \sigma_1 = \frac{pd}{2t}$
   • 軸向應力（Longitudinal stress）：$\sigma_a = \sigma_2 = \frac{pd}{4t} = \frac{\sigma_h}{2}$
   • 外表面之徑向應力：$\sigma_3 = \sigma_r = 0$（自由表面，無表面牽引力）

3. 雙軸應力狀態下之虎克定律：
   在容器外表面（平面應力狀態 $\sigma_3 = 0$）：

   $$\epsilon_1 = \frac{1}{E}(\sigma_1 - \nu \sigma_2) = \frac{\sigma_1}{E}\left(1 - \frac{\nu}{2}\right)$$ $$\epsilon_2 = \frac{1}{E}(\sigma_2 - \nu \sigma_1) = \frac{\sigma_1}{E}\left(\frac{1}{2} - \nu\right)$$

   相加可得兩面正應力之和與正應變之和的直接關係：

   $$\epsilon_1 + \epsilon_2 = \frac{1-\nu}{E}(\sigma_1 + \sigma_2) = \frac{1-\nu}{E}\left(\frac{3}{2}\sigma_1\right)$$

4. 絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）：
   考慮三維主應力 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 = 0$，外表面之絕對最大剪應力由最大主應力與最小主應力決定：

   $$\tau_{\text{max, abs}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{\sigma_1 - 0}{2} = \frac{\sigma_1}{2}$$

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解題方法

1. 求解主應變（Principal Strains）與外表面應變狀態

給定 $60^\circ$ 應變花讀數：

• $\epsilon_a = 80 \times 10^{-6}$
• $\epsilon_b = 275 \times 10^{-6}$
• $\epsilon_c = 275 \times 10^{-6}$

因 $\epsilon_b = \epsilon_c$，應變狀態具有對稱性，主應變軸即對齊 $\epsilon_a$ 方向（$\theta = 0^\circ$ 與 $90^\circ$）：

• 平面平均應變： $$\epsilon_{\text{avg}} = \frac{\epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c}{3} = \frac{80 + 275 + 275}{3} \times 10^{-6} = 210 \times 10^{-6}$$
• 莫爾圓半徑 $R$： $$R = \sqrt{\left(\frac{2\epsilon_a - \epsilon_b - \epsilon_c}{3}\right)^2 + \frac{(\epsilon_b - \epsilon_c)^2}{3}} = \sqrt{\left(\frac{160 - 275 - 275}{3}\right)^2 + 0} = |-130| \times 10^{-6} = 130 \times 10^{-6}$$
• 容器外表面兩面主應變為：

核心觀念

1. 剛體位移與變形相容條件（Compatibility Condition）：
   剛體塊在受力後僅產生均勻向下垂直位移 $\delta$，無任何傾斜或轉角（$\theta = 0$）。因此，三根懸掛桿件的伸長量完全相同：

   $$\delta_B = \delta_C = \delta_D = \delta$$

2. 軸向應變定義：
   三桿的原長分別為 $L_B = L$、$L_C = 2L$、$L_D = L$。在均勻位移 $\delta$ 下，各桿的軸向應變為：

   $$\epsilon_B = \frac{\delta}{L}, \quad \epsilon_C = \frac{\delta}{2L}, \quad \epsilon_D = \frac{\delta}{L}$$

3. 理想彈塑性材料（Elastic-Perfectly Plastic Material）本構關係：

   • 彈性階段（$\epsilon \le \epsilon_Y = \frac{\sigma_Y}{E}$）：應力 $\sigma = E\epsilon$，軸力 $F = \sigma A$。
   • 塑性流動階段（$\epsilon_Y < \epsilon \le \epsilon_u$）：應力維持降伏應力 $\sigma = \sigma_Y$，軸力維持降伏力 $F_Y = \sigma_Y A$。
   • 破壞條件：當應變達到極限破壞應變 $\epsilon_u = \frac{3\sigma_Y}{E}$ 時材料發生斷裂。

4. 垂直靜力平衡方程式（Static Equilibrium）：
   剛體塊自重忽略不計，由垂直向力平衡條件可得外力 $P$ 與三桿內力之關係：

   $$P = F_B + F_C + F_D$$

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解題方法

(1) 判定最先降伏之桿件及系統初次降伏之載重與位移

1. 降伏先後順序判定：
   材料之降伏應變為：

   $$\epsilon_Y = \frac{\sigma_Y}{E}$$

   由各桿應變關係式：

   $$\epsilon_B = \epsilon_D = \frac{\delta}{L} = 2\epsilon_C$$

   由於桿 B 與桿 D 的應變隨時保持為桿 C 的 2 倍，當位移 $\delta$ 由 0 逐漸增加時，桿 B 與桿 D 會同時且最先達到降伏應變 $\epsilon_Y$。

2. 初次降伏之位移 $\delta$：
   當桿 B 與桿 D 恰達到降伏點時，令 $\epsilon_B = \epsilon_D = \epsilon_Y = \frac{\sigma_Y}{E}$：

   $$\frac{\delta}{L} = \frac{\sigma_Y}{E} \implies \delta = \frac{\sigma_Y L}{E}$$

3. 初次降伏之載重 $P$：
   在此位移下，桿 C 的應變為：

   $$\epsilon_C = \frac{\delta}{2L} = \frac{\sigma_Y}{2E} = \frac{1}{2}\epsilon_Y < \epsilon_Y$$

   因此桿 C 仍處於線彈性狀態，其軸向應力與內力為：

   $$\sigma_C = E\epsilon_C = \frac{1}{2}\sigma_Y \implies F_C = \sigma_C A = \frac{1}{2}\sigma_Y A$$

   此時桿 B 與桿 D 的內力皆恰達到降伏力：

   $$F_B = F_D = \sigma_Y A$$

   將各桿內力代入垂直平衡方程式：

   $$P = F_B + F_C + F_D = \sigma_Y A + \frac{1}{2}\sigma_Y A + \sigma_Y A = \frac{5}{2}\sigma_Y A$$

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(2) 繪製載重－變形曲線（$P-\delta$ 關係圖）

整個加載過程可依桿件相繼進入降伏與破壞分為三個階段：

• 第一階段：全彈性階段（$0 \le \delta \le \frac{\sigma_Y L}{E}$）
  三桿皆處於彈性範圍內：

  $$F_B = \frac{EA}{L}\delta, \quad F_C = \frac{EA}{2L}\delta, \quad F_D = \frac{EA}{L}\delta$$

  系統總載重為：

  $$P(\delta) = \left(\frac{EA}{L} + \frac{EA}{2L} + \frac{EA}{L}\right)\delta = \frac{5EA}{2L}\delta$$
  • 當 $\delta = 0$ 時，$P = 0$。
  • 當 $\delta = \frac{\sigma_Y L}{E}$ 時，$P = \frac{5}{2}\sigma_Y A$。
  • 此階段勁度（斜率）為 $k_1 = \frac{5EA}{2L}$。

• 第二階段：桿 B、D 塑性流動，桿 C 彈性加載（$\frac{\sigma_Y L}{E} \le \delta \le \frac{2\sigma_Y L}{E}$）
  桿 B 與桿 D 保持塑性流動，內力恆為降伏軸力 $F_B = F_D = \sigma_Y A$；桿 C 繼續承擔增量彈性變形：

  $$F_C = \frac{EA}{2L}\delta$$

  系統總載重為：

  $$P(\delta) = 2\sigma_Y A + \frac{EA}{2L}\delta$$

  桿 C 降伏條件為 $\epsilon_C = \frac{\delta}{2L} = \frac{\sigma_Y}{E} \implies \delta = \frac{2\sigma_Y L}{E}$。

  • 當 $\delta = \frac{2\sigma_Y L}{E}$ 時，桿 C 亦降伏，$F_C = \sigma_Y A$，系統達到全塑性載重： $$P = 2\sigma_Y A + \sigma_Y A = 3\sigma_Y A$$
  • 此階段勁度（斜率）降為 $k_2 = \frac{EA}{2L}$（僅剩桿 C 貢獻彈性勁度）。

• 第三階段：全塑性流動至初始斷裂破壞（$\frac{2\sigma_Y L}{E} \le \delta \le \frac{3\sigma_Y L}{E}$）
  三根桿件皆已降伏，各桿內力均維持為 $\sigma_Y A$：