108 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《土壤力學與基礎工程》

核心觀念

本題考查懸臂式擋土牆的四項穩定分析：

1. Rankine 主動土壓力。
2. 沿基礎底面的抗滑安全係數。
3. 牆體繞牆趾傾覆的安全係數。
4. 偏心荷載下，以 Meyerhof 公式估算基礎承載力。

依圖採用下列資料：

• 牆高：$H=6\ \text{m}$
• 基礎寬度：$B=4\ \text{m}$
• 牆趾至牆背：$1.4+2.6=4\ \text{m}$
• 基礎厚度及埋置深度：$D_f=0.6\ \text{m}$
• 牆體重量：$W=155\ \text{kN/m}$
• 牆體重心距牆趾：$2\ \text{m}$
• 回填砂土：$\gamma=18\ \text{kN/m}^3,\ \phi=30^\circ,\ c'=0$
• 基礎黏土：$\gamma=20\ \text{kN/m}^3,\ \phi'=20^\circ,\ c'=40\ \text{kPa}$

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(i) Rankine 主動土壓力

1. 主動土壓力係數

回填面為水平，牆背為垂直，因此：

$$K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi}{2}\right) =\tan^2 30^\circ=\frac{1}{3}$$

2. 土壓力分布

深度 $z$ 處的主動土壓力為：

$$\sigma_h(z)=K_a\gamma z$$

牆頂：

$$\sigma_h(0)=0$$

牆底：

$$\sigma_h(H)=K_a\gamma H =\frac13(18)(6)=36\ \text{kPa}$$

因此土壓力呈三角形分布，牆頂為 $0$，牆底為 $36\ \text{kPa}$。

3. 主動土壓合力

$$P_a=\frac12 K_a\gamma H^2$$ $$P_a=\frac12\left(\frac13\right)(18)(6^2) =108\ \text{kN/m}$$

其作用點位於三角形形心，即距牆底：

$$y=\frac{H}{3}=2\ \text{m}$$

方向為水平方向，由回填土推向牆趾。

圖示說明：

• 牆背土壓力圖為三角形。
• 牆頂壓力為 $0$。
• 牆底壓力為 $36\ \text{kPa}$。
• 合力 $P_a=108\ \text{kN/m}$。
• 合力作用於距基礎頂面 $2\ \text{m}$ 處。

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(ii) 抗滑與抗傾覆安全係數

A. 抗滑安全係數

題目指定：

$$\delta=\frac23\phi' =\frac23(20^\circ)=13.33^\circ$$ $$c_a=\frac23c' =\frac23(40)=26.67\ \text{kPa}$$

基礎底面摩擦力：

$$F_f=W\tan\delta =155\tan13.33^\circ \approx36.7\ \text{kN/m}$$

黏著力：

$$F_c=c_aB =(26.67)(4) \approx106.7\ \text{kN/m}$$

總抗滑力：

$$R=F_f+F_c =36.7+106.7 =143.4\ \text{kN/m}$$

忽略牆趾前方被動土壓力，滑動力為 $P_a$，故：

$$FS_{\text{sliding}} =\frac{R}{P_a} =\frac{143.4}{108} \approx1.33$$

B. 抗傾覆安全係數

以牆趾底部為旋轉中心。

主動土壓合力作用點距牆趾底部：

$$2+0.6=2.6\ \text{m}$$

傾覆力矩：

$$M_O=P_a(2.6) =(108)(2.6) =280.8\ \text{kN}\cdot\text{m/m}$$

牆體重量產生的抗傾覆力矩：

$$M_R=W(2) =(155)(2) =310\ \text{kN}\cdot\text{m/m}$$

因此：

$$FS_{\text{overturning}} =\frac{M_R}{M_O} =\frac{310}{280.8} \approx1.10$$

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(iii) Meyerhof 基礎極限承載力

1. 基礎底面合力位置與偏心距

牆趾底部取矩：

$$Wx_R=M_R-M_O$$ $$x_R=\frac{310-280.8}{155} =0.188\ \text{m}$$

合力作用點距牆趾僅約 $0.188\ \text{m}$。

基礎中心距牆趾為 $2\ \text{m}$，因此偏心距：

$$e=2-x_R =2-0.188 =1.812\ \text{m}$$

有效基礎寬度：

$$B'=B-2e =4-2(1.812) \approx0.377\ \text{m}$$

本題考查基礎工程中的基本概念，包含淺基礎與深基礎的破壞模式、補償基礎設計、軟弱土上的安全係數、基樁承載力差異以及群樁效應。

(i) 淺基礎與深基礎的承載力破壞模式 (Bearing Failure Modes for Vertical Loading)

• 淺基礎 (Shallow Foundations):
  淺基礎是指其埋深 (D) 與基礎寬度 (B) 之比值 D/B $\le$ 1 (或 2-4，依不同定義)。常見的淺基礎有獨立基腳、條形基礎、筏板基礎等。
  當淺基礎承受垂直向上的載重時，其破壞模式主要有三種：

  1. 整體剪斷破壞 (General Shear Failure): 這是最常見的破壞模式，發生在相對密實的砂土或較硬的黏土中。其特徵是：
     • 在基礎下方形成一個局部剪切破壞區。
     • 破壞區內土體沿著從基礎邊緣延伸到地表的斜面發生剪切。
     • 基礎表面會明顯沉降，並可能伴隨傾斜。
     • 土壤壓力-沉降曲線會出現一個明顯的峰值（極限承載力）。
  2. 局部剪斷破壞 (Local Shear Failure): 發生在相對疏鬆的砂土或軟弱的黏土中。特徵是：
     • 剪切破壞僅發生在基礎下方的一小區域，且破壞面未能延伸至地表。
     • 基礎的沉降較大，且峰值承載力不明顯，或峰值後承載力下降緩慢。
     • 此模式的極限承載力低於整體剪斷破壞。
  3. 剪切破壞 (Punching Shear Failure): 發生在非常疏鬆的砂土或軟弱的黏土中，且基礎尺寸較小（D/B 較大）。特徵是：
     • 基礎彷彿「穿透」土體，土體幾乎沒有發生明顯的剪切變形。
     • 壓力-沉降曲線持續上升，沒有明顯的峰值。
     • 此模式的承載力最高，但通常不被視為真正的承載力破壞。

• 深基礎 (Deep Foundations):
  深基礎是指其埋深 (D) 與基礎寬度 (B) 之比值 D/B > 1 (或 2-4)。常見的深基礎有基樁 (piles)、沉箱 (caissons) 等。基樁的直徑通常很小，埋深很大。
  當深基礎（尤其是基樁）承受垂直向上的載重時，其破壞模式主要分為兩種：

  1. 端承破壞 (End Bearing Failure): 這是指樁的極限承載力主要由樁端與其下方的堅硬土層之間產生的阻力決定。破壞模式類似於淺基礎的整體剪斷破壞，但發生在樁端。
  2. 摩擦破壞 (Skin Friction Failure): 這是指樁的極限承載力主要由樁側壁與周圍土體之間產生的摩擦阻力決定。破壞模式是樁側土體發生剪切滑動。
     在實際情況中，基樁的總承載力通常是端承力和摩擦力的總和。破壞模式是這兩者組合的結果，取決於樁的長度、直徑、土層性質及樁的施工方法。對於細長的樁，摩擦破壞通常是主要模式。

總結差異： 淺基礎的破壞涉及較寬廣的土體範圍，且破壞面可能延伸至地表；深基礎（特別是細長的樁）的破壞則主要集中在樁端或沿著樁側土體發生。淺基礎的承載力與基礎寬度關係較大，而深基礎（如樁）的承載力與其長度、周長及周圍土體性質關係更為密切。

(ii) 補償基礎設計概念與應用條件 (Compensated Foundation Design Concept and Conditions of Application)

• 概念 (Concept):
  補償基礎設計 (Compensated Foundation Design)，又稱為浮式基礎 (Floating Foundation) 或沉箱基礎 (Buoyancy Raft)，是一種特殊的基礎設計方法。其核心思想是透過挖除基礎下方部分土方，以減輕基礎及其上部結構的總重量，使得基礎下方的淨壓力（上部結構施加於土壤的壓力減去挖除土方所減輕的重量）近似等於或小於挖除土方原來的平均應力。
  換句話說，這種設計旨在使建築物的總重量（包含基礎、結構物本身）與挖除土方後的淨壓力大致相等，從而最大限度地減少建築物對地基引起的額外沉降。這對於在軟弱、壓縮性高的土層上建造大型、重量級的建築物（如高層建築、大型商場）非常重要，因為這些土層無法承受大的額外壓力而不發生過度的沉降。
  補償基礎通常設計成一個大型的、厚實的筏板基礎，其下方進行大規模的土方開挖，然後建造基礎結構。

• 應用條件 (Conditions of Application):
  補償基礎設計適用於以下情況：

  1. 軟弱、高壓縮性土層 (Soft, Highly Compressible Soil Layers): 地基土壤的承載力較低，且具有顯著的壓縮性，傳統淺基礎可能導致過大的沉降。
  2. 大型、重量級建築物 (Large, Heavy Structures): 如高層建築、大型購物中心、體育場館等，其總重量巨大，對地基產生較大的壓力。
  3. 地下室 (Basements): 建築物通常設有多層地下室，這會導致較大的開挖深度，為實施補償基礎提供了條件。挖除地下室的土方本身就減輕了地基的壓力。
  4. 需要限制沉降 (Need to Limit Settlement): 對於對沉降非常敏感的結構，或需要確保不同結構部分之間的沉降差異較小時。
  5. 經濟性考量 (Economic Considerations): 在某些情況下，雖然挖方量大，但透過減輕地基承載力要求，可以避免昂貴的深基礎（如基樁），從而可能更具經濟效益。

  關鍵是： 挖除的土方重量必須足夠大，以抵銷建築物本身增加的重量，從而減小對地基的淨壓力。

(iii) 軟弱飽和黏土上基礎的短期與長期安全係數 (Short-term and Long-term Factors of Safety on Saturated Soft Clay)

在軟弱飽和黏土上，基礎的承載力會隨著時間的推移而變化，主要與孔隙水壓力消散及有效應力發展有關。

• 短期 (Short-term) / 不排水條件 (Undrained Conditions):

  • 定義: 在短期內，特別是對於黏土，由於水的滲流速度很慢，當載重施加後，孔隙水壓力會迅速增加，而有效應力幾乎沒有變化。此時的分析通常採用不排水剪切強度參數 ($\phi_u=0$, $c_u$)。
  • 承載力: 承載力較低，因為土體抗剪強度主要由黏滯性 $c_u$ 決定，而有效應力（影響摩擦組分）尚未發展。
  • 安全係數 (FS_short-term): $FS_{short-term} = \frac{\text{短期極限承載力 (不排水)}}{\text{短期作用壓力}} = \frac{q_{ult,u}}{q_{applied,u}}$。
  • 值: 通常較低。

• 長期 (Long-term) / 排水條件 (Drained Conditions):

  • 定義: 隨著時間的推移，孔隙水壓力會逐漸消散，水會從土體中排出，有效應力隨之增加。此時的分析採用排水剪切強度參數 ($\phi'$, $c'$)，這些參數通常比不排水參數更能反映土體隨時間發展的真實強度。
  • 承載力: 由於有效應力增加，土體的摩擦組分增加，總抗剪強度提高，因此承載力會顯著增加。
  • 安全係數 (FS_long-term): $FS_{long-term} = \frac{\text{長期極限承載力 (排水)}}{\text{長期作用壓力}} = \frac{q_{ult,d}}{q_{applied,d}}$。
  • 值: 通常高於短期安全係數。

• 關鍵點:

  • 短期承載力由不排水抗剪強度 $c_u$ 決定，長期承載力由有效應力抗剪強度參數 $\phi'$ 和 $c'$ 決定。
  • 對於軟弱黏土，通常短期承載力較低，長期承載力較高。

核心觀念

本題綜合考查：

1. Darcy 定律及其適用條件。
2. 二維滲流流網的基本假設。
3. Terzaghi–Peck 濾層設計準則的防止淘刷與排水邏輯。
4. 多層土壤的等效水平、垂直水力傳導係數。

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（i）Darcy 定律

定義與公式

Darcy 定律表示土壤中的滲流量與水力坡降成正比：

$$q=kiA$$

其中：

• $q$：總滲流量，單位為體積／時間；
• $k$：水力傳導係數；
• $i$：水力坡降，定義為

$$i=\frac{\Delta h}{L}$$

• $\Delta h$：兩點間的水頭損失；
• $L$：滲流路徑長度；
• $A$：垂直於滲流方向的土壤截面積。

除以截面積後，可得單位面積流量：

$$v=\frac{q}{A}=ki$$

此處的 $v$ 是 Darcy 流速，也稱為表觀流速或放流速度；真正的孔隙水平均流速約為 $v/n$，其中 $n$ 為孔隙率。

適用條件

Darcy 定律適用於：

• 土壤孔隙中的水流為穩定、層流；
• 滲流速度不高，孔隙尺度的 Reynolds 數很小；
• 水流通過連續且相互連通的孔隙；
• 土壤與流體性質在分析範圍內可視為均勻；
• 水流與水力坡降之間呈線性關係。

對一般砂土、粉土及黏土中的地下水滲流，通常可視為符合 Darcy 定律。若流速很高、孔隙粗大而產生紊流，或流體具有顯著非牛頓性質，則不宜直接使用。

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（ii）使用流網分析二維滲流的三項假設

1. 滲流為穩定流且可視為二維流

流場中各點的水頭不隨時間改變，且水流主要在一個平面內變化，垂直於該平面的方向不考慮流量變化。

2. 土壤為均質且等向性材料

土壤各處的水力傳導係數相同，且不同方向的水力傳導係數相同：

$$k_x=k_y=k$$

在此條件下，流線與等勢線彼此正交，並可構成近似曲線正方形的流網。若土壤為異向性材料，通常必須先進行座標轉換或使用等效方法處理。

3. 滲流符合 Darcy 定律，且水及土壤骨架可視為不可壓縮

因此流量與水力坡降呈線性關係，並可利用流線與等勢線計算滲流量及各點水頭。

流網的邊界條件也必須明確，例如：

• 不透水邊界為流線；
• 定水頭邊界為等勢線；
• 流線與等勢線交會時互相垂直。

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（iii）Terzaghi–Peck 濾層設計準則

準則（a）

$$\frac{D_{15\text{-filter}}}{D_{85\text{-soil}}}\leq 4$$

此準則的主要目的為「保土」，也就是防止被保護土壤發生內部侵蝕或管湧。

$D_{85\text{-soil}}$ 代表被保護土壤中，約有 85% 顆粒比它細；它可代表土壤中較粗顆粒的尺度。若濾層的孔隙過大，細小的基礎土顆粒便可能被水流帶入濾層，形成淘刷、管湧或土體流失。

因此限制：

$$D_{15\text{-filter}}\leq 4D_{85\text{-soil}}$$

可使濾層孔隙不致過大，讓被保護土壤顆粒受到阻擋，避免土粒大量穿越濾層。

**物理意義：**濾層必須足夠細密，才能攔住被保護土壤。

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準則（b）

$$\frac{D_{15\text{-filter}}}{D_{15\text{-soil}}}\geq 4$$

此準則的主要目的為「排水」，也就是確保濾層具有足夠的透水性，避免濾層本身被細粒堵塞。

$D_{15\text{-soil}}$ 代表被保護土壤中較細顆粒的代表尺寸。若濾層與基礎土粒徑太接近，基礎土中的細粒可能進入濾層孔隙，使濾層發生堵塞，降低排水能力並增加孔隙水壓。

因此要求：

$$D_{15\text{-filter}}\geq 4D_{15\text{-soil}}$$

使濾層的顆粒明顯大於被保護土壤的細粒，形成較大的連通孔隙，以利滲流水排出。

**物理意義：**濾層必須足夠粗，才能保持排水能力並避免堵塞。

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兩項準則的整體概念

濾層設計必須同時兼顧兩種互相制約的功能：

本題考查土壤力學實驗與現場試驗的相關知識，包含三軸試驗、直接剪力試驗的應力分析與破壞準則應用，以及圓錐貫入試驗的原理。

(i) 三軸試驗 (Triaxial Test) 應力分析與破壞模擬

核心觀念：
三軸試驗是用來測定土壤的抗剪強度參數（有效摩擦角 $\phi'$ 和有效黏滯力 $c'$）的標準試驗。試驗中，試體受到圍壓 (confining pressure) 和軸向壓力 (deviator stress) 的作用。透過不同試驗條件下的破壞應力狀態，可以繪製摩爾圓並確定摩爾-庫侖破壞包絡線。

已知條件：

• 試驗類型：固結不排水試驗 (Consolidated Drained, CD test)，因為「drain valve is kept open and the specimen is sheared until failure」。
• 固結壓力 (Consolidation pressure)：$\sigma_c = 450$ kN/m$^2$。這是固結階段施加的圍壓。
• 試驗階段：排水剪切 (drained shearing)。
• 破壞時的偏差應力 (deviator stress at failure)：$\Delta \sigma = \sigma_1 - \sigma_3 = 1050$ kN/m$^2$。
• 土壤類型：砂土 (sand)，表示黏滯力 $c' = 0$。

求解步驟：

1. 確定主應力 ($\sigma_1, \sigma_3$)：

   • 在排水三軸試驗中，固結壓力即為試體完成固結時的圍壓，也就是最小主應力 $\sigma_3$。
     $\sigma_3 = \sigma_c = 450$ kN/m$^2$。
   • 在破壞時，最大主應力 $\sigma_1$ 為圍壓加上偏差應力：
     $\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta \sigma = 450 \text{ kN/m}^2 + 1050 \text{ kN/m}^2 = 1500 \text{ kN/m}^2$。

2. 繪製摩爾圓 (Mohr Circle):

   • 摩爾圓的圓心位於 $(\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0)$。
     圓心座標 $= (\frac{1500 + 450}{2}, 0) = (\frac{1950}{2}, 0) = (975, 0)$ kN/m$^2$。
   • 摩爾圓的半徑 $R = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{1050}{2} = 525$ kN/m$^2$。
   • 摩爾圓的範圍：
     • 最小主應力：$975 - 525 = 450$ kN/m$^2$。
     • 最大主應力：$975 + 525 = 1500$ kN/m$^2$。
   • 繪製摩爾圓：以圓心 (975, 0) 為圓心，半徑為 525 的圓。圓與橫軸的交點為 $\sigma_3 = 450$ 和 $\sigma_1 = 1500$。

3. 確定有效摩擦角 ($\phi'$):

   • 由於是砂土，黏滯力 $c' = 0$。破壞包絡線是一條通過原點的直線（摩爾-庫侖準則 $\tau_f = \sigma' \tan\phi'$）。
   • 摩爾圓與破壞包絡線相切於破壞點。因此，從圓心到切點的連線與水平軸（正應力軸）的夾角即為摩擦角 $\phi'$。
   • 在摩爾圓上，從圓心 $(975, 0)$ 到圓上任一點的連線，其斜率與 $\tan\phi'$ 的關係。
   • 考慮圓心 $(975, 0)$ 和半徑 $R=525$。
   • 切點的切線方程是 $\tau = \sigma' \tan\phi'$。
   • 切點的座標 $(\sigma', \tau)$ 滿足圓的方程 $(\sigma' - 975)^2 + \tau^2 = 525^2$。
   • 從圓心 $(975, 0)$ 向右上方畫一條線，與摩爾圓相切。這條線與 $\sigma'$ 軸的夾角為 $\phi'$。
   • 我們可以使用幾何關係來計算 $\phi'$。考慮從圓心 $(975, 0)$ 向切點 $(\sigma'_f, \tau_f)$ 作半徑，該半徑與 $\sigma'$ 軸的夾角為 $90^\circ - \phi'$ （因為破壞包絡線與 $\sigma'$ 軸的夾角為 $\phi'$，而半徑與切線垂直）。
   • 切點的座標為：
     $\sigma'_f = 975 - 525 \cos\phi'$
     $\tau_f = 525 \sin\phi'$
   • 同時，切點必須滿足破壞準則：$\tau_f = \sigma'_f \tan\phi'$。
   • 將 $\tau_f$ 和 $\sigma'_f$ 代入：
     $525 \sin\phi' = (975 - 525 \cos\phi') \tan\phi'$
     $525 \sin\phi' = 975 \tan\phi' - 525 \cos\phi' \frac{\sin\phi'}{\cos\phi'}$
     $525 \sin\phi' = 975 \tan\phi' - 525 \sin\phi'$
     $1050 \sin\phi' = 975 \tan\phi' = 975 \frac{\sin\phi'}{\cos\phi'}$
     假設 $\sin\phi' \ne 0$ (即 $\phi' \ne 0$)：
     $1050 = \frac{975}{\cos\phi'}$
     $\cos\phi' = \frac{975}{1050} = \frac{195}{210} = \frac{39}{42} = \frac{13}{14} \approx 0.9286$
   • $\phi' = \arccos(13/14) \approx \arccos(0.9286) \approx 21.79^\circ$。

   【答案】 有效摩擦角 $\phi' \approx 21.79^\circ$。

4. 確定破壞面的方向 (Orientation of the Failure Plane):

   • 在摩爾圓中，破壞面的傾角 $\theta$ 相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的方向為 $\alpha$。
   • 破壞面相對於水平方向的傾角為 $\theta$。
   • 在摩爾圓圖上，破壞面相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的方向為 $\alpha$。
   • $\alpha = \frac{180^\circ - (\phi' + 90^\circ)}{2} = \frac{90^\circ - \phi'}{2}$ （這是從 $\sigma_1$ 軸往 $\sigma_3$ 軸旋轉的角度）
   • 或者，破壞面相對於最小主應力 $\sigma_3$ 的方向為 $\beta$。
   • 在摩爾圓圖上，破壞面相對於 $\sigma_3$ 的方向為 $\alpha'$。
   • $\alpha' = \frac{180^\circ - 90^\circ - \phi'}{2} = \frac{90^\circ - \phi'}{2}$ （這是從 $\sigma_3$ 軸往 $\sigma_1$ 軸旋轉的角度）
   • 更直接的關係是： 破壞面相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha$。
   • $\sin\phi' = \tau_f / R = 525 \sin\phi' / 525$.
   • 切點的 $\sigma'$ 座標為 $\sigma'_f = 975 - 525 \cos\phi'$。
   • 切點的 $\tau$ 座標為 $\tau_f = 525 \sin\phi'$。
   • 從圓心 $(975, 0)$ 到切點 $(\sigma'_f, \tau_f)$ 的角度 $\alpha$ 與 $\phi'$ 的關係。
   • 考慮從圓心 $(975, 0)$ 向切點作半徑，該半徑與水平軸 ($\sigma'$) 的夾角為 $90^\circ - \phi'$。
   • 破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta$ 與摩爾圓上角度的關係是 $\theta = \alpha + 90^\circ$ 或 $\theta = \alpha$.
   • 在摩爾圓中，破壞面的傾角 $\theta$ 相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的方向為 $\alpha = \frac{90^\circ - \phi'}{2}$。
   • 所以，破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta = \alpha = \frac{90^\circ - 21.79^\circ}{2} = \frac{68.21^\circ}{2} = 34.105^\circ$。
   • 注意： 這是破壞面相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的夾角。如果 $\sigma_1$ 是水平的，那麼破壞面就是 $34.1^\circ$。在三軸試驗中，$\sigma_1$ 是垂直方向的，$\sigma_3$ 是水平方向的。所以，這個角度 $\alpha$ 是破壞面相對於垂直方向（$\sigma_1$ 方向）的夾角。
   • 如果題目問的是相對於水平方向，則需要看 $\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 的方向。通常 $\sigma_1$ 是垂直的，$\sigma_3$ 是水平的。
   • 破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta$。
   • 在摩爾圓圖中，破壞面的方向與 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha = \frac{90^\circ - \phi'}{2}$。
   • 如果 $\sigma_1$ 是垂直的，$\sigma_3$ 是水平的，那麼破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \frac{90^\circ - \phi'}{2} = \frac{90^\circ + \phi'}{2}$。
   • $\theta = \frac{90^\circ + 21.79^\circ}{2} = \frac{111.79^\circ}{2} = 55.895^\circ$。
   • 驗證： 另一個角度是 $\frac{90^\circ - \phi'}{2}$，這是相對於 $\sigma_1$ 的夾角。
   • 標準定義： 破壞面相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的方向為 $\alpha$。破壞面相對於水平方向的傾角為 $\theta$。
   • 在三軸試驗中，$\sigma_1$ 通常是垂直的，$\sigma_3$ 是水平的。
   • 破壞面相對於 $\sigma_1$ 的夾角為 $\alpha = \frac{90^\circ - \phi'}{2}$。
   • 因此，破壞面相對於水平方向（$\sigma_3$ 方向）的傾角為 $\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \frac{90^\circ - \phi'}{2} = \frac{90^\circ + \phi'}{2}$。
   • $\theta = \frac{90^\circ + 21.79^\circ}{2} = 55.895^\circ$。

   【答案】 破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta \approx 55.9^\circ$。

5. 繪製摩爾圓與破壞包絡線:

   • 繪製 $\sigma'$ 軸和 $\tau$ 軸。
   • 標示 $\sigma_3 = 450$ kN/m$^2$ 和 $\sigma_1 = 1500$ kN/m$^2$。
   • 繪製以 $(\frac{450+1500}{2}, 0) = (975, 0)$ 為圓心，半徑為 $\frac{1500-450}{2} = 525$ 的摩爾圓。
   • 繪製一條通過原點 $(0,0)$ 且與摩爾圓相切的直線，此直線即為摩爾-庫侖破壞包絡線。
   • 標示最大主應力 $\sigma_1 = 1500$ kN/m$^2$ 和最小主應力 $\sigma_3 = 450$ kN/m$^2$。
   • 標示有效摩擦角 $\phi'$，為破壞包絡線與 $\sigma'$ 軸的夾角。
   • 標示破壞面的方向角 $\theta$ 相對於水平軸。

【答案】

• 最小有效主應力 $\sigma_3 = 450$ kN/m$^2$。
• 最大有效主應力 $\sigma_1 = 1500$ kN/m$^2$。
• 有效摩擦角 $\phi' \approx 21.79^\circ$。
• 破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta \approx 55.9^\circ$。
• 摩爾圓與破壞包絡線圖請參考標準教科書範例，需標示上述所有元素。

(ii) 直接剪力試驗 (Direct Shear Test) 應力分析與破壞模擬

核心觀念：
直接剪力試驗直接施加法向應力 (normal stress) 和剪應力 (shear stress) 在土壤的預定剪切面上。試驗直接提供剪切應力與法向應力下的剪切強度關係。

已知條件：

• 法向應力 (Normal stress)：$\sigma = 450$ kN/m$^2$。
• 剪應力 (Shear stress at failure)：$\tau_f = 320$ kN/m$^2$。
• 土壤類型：砂土 (sand)，表示黏滯力 $c' = 0$。

求解步驟：

本題考查土壤力學實驗與現場試驗的相關知識，包含三軸試驗、直接剪力試驗的應力分析與破壞準則應用，以及圓錐貫入試驗的原理。

(i) 三軸試驗 (Triaxial Test) 應力分析與破壞模擬

核心觀念：
三軸試驗是用來測定土壤的抗剪強度參數（有效摩擦角 $\phi'$ 和有效黏滯力 $c'$）的標準試驗。試驗中，試體受到圍壓 (confining pressure) 和軸向壓力 (deviator stress) 的作用。透過不同試驗條件下的破壞應力狀態，可以繪製摩爾圓並確定摩爾-庫侖破壞包絡線。

已知條件：

• 試驗類型：固結不排水試驗 (Consolidated Drained, CD test)，因為「drain valve is kept open and the specimen is sheared until failure」。
• 固結壓力 (Consolidation pressure)：$\sigma_c = 450$ kN/m$^2$。這是固結階段施加的圍壓。
• 試驗階段：排水剪切 (drained shearing)。
• 破壞時的偏差應力 (deviator stress at failure)：$\Delta \sigma = \sigma_1 - \sigma_3 = 1050$ kN/m$^2$。
• 土壤類型：砂土 (sand)，表示黏滯力 $c' = 0$。

求解步驟：

1. 確定主應力 ($\sigma_1, \sigma_3$)：

   • 在排水三軸試驗中，固結壓力即為試體完成固結時的圍壓，也就是最小主應力 $\sigma_3$。
     $\sigma_3 = \sigma_c = 450$ kN/m$^2$。
   • 在破壞時，最大主應力 $\sigma_1$ 為圍壓加上偏差應力：
     $\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta \sigma = 450 \text{ kN/m}^2 + 1050 \text{ kN/m}^2 = 1500 \text{ kN/m}^2$。

2. 繪製摩爾圓 (Mohr Circle):

   • 摩爾圓的圓心位於 $(\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0)$。
     圓心座標 $= (\frac{1500 + 450}{2}, 0) = (\frac{1950}{2}, 0) = (975, 0)$ kN/m$^2$。
   • 摩爾圓的半徑 $R = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{1050}{2} = 525$ kN/m$^2$。
   • 摩爾圓的範圍：
     • 最小主應力：$975 - 525 = 450$ kN/m$^2$。
     • 最大主應力：$975 + 525 = 1500$ kN/m$^2$。
   • 繪製摩爾圓：以圓心 (975, 0) 為圓心，半徑為 525 的圓。圓與橫軸的交點為 $\sigma_3 = 450$ 和 $\sigma_1 = 1500$。

3. 確定有效摩擦角 ($\phi'$):

   • 由於是砂土，黏滯力 $c' = 0$。破壞包絡線是一條通過原點的直線（摩爾-庫侖準則 $\tau_f = \sigma' \tan\phi'$）。
   • 摩爾圓與破壞包絡線相切於破壞點。因此，從圓心到切點的連線與水平軸（正應力軸）的夾角即為摩擦角 $\phi'$。
   • 考慮圓心 $(975, 0)$ 和半徑 $R=525$。
   • 切點的座標 $(\sigma'_f, \tau_f)$ 滿足圓的方程 $(\sigma'_f - 975)^2 + \tau_f^2 = 525^2$。
   • 同時，切點必須滿足破壞準則：$\tau_f = \sigma'_f \tan\phi'$。
   • 從圓心 $(975, 0)$ 向切點 $(\sigma'_f, \tau_f)$ 作半徑，該半徑與 $\sigma'$ 軸的夾角為 $90^\circ - \phi'$。
   • 切點的座標為：
     $\sigma'_f = 975 - 525 \cos\phi'$
     $\tau_f = 525 \sin\phi'$
   • 將 $\tau_f$ 和 $\sigma'_f$ 代入破壞準則 $\tau_f = \sigma'_f \tan\phi'$：
     $525 \sin\phi' = (975 - 525 \cos\phi') \tan\phi'$
     $525 \sin\phi' = 975 \frac{\sin\phi'}{\cos\phi'} - 525 \cos\phi' \frac{\sin\phi'}{\cos\phi'}$
     $525 \sin\phi' = 975 \tan\phi' - 525 \sin\phi'$
     $1050 \sin\phi' = 975 \tan\phi'$
     $1050 \sin\phi' = 975 \frac{\sin\phi'}{\cos\phi'}$
     若 $\sin\phi' \ne 0$:
     $1050 = \frac{975}{\cos\phi'}$
     $\cos\phi' = \frac{975}{1050} = \frac{13}{14} \approx 0.92857$
   • $\phi' = \arccos(13/14) \approx 21.79^\circ$。

   【答案】 有效摩擦角 $\phi' \approx 21.79^\circ$。

4. 確定破壞面的方向 (Orientation of the Failure Plane):

   • 在摩爾圓圖中，破壞面相對於最大主應力 $\sigma_1$ 的方向為 $\alpha = \frac{90^\circ - \phi'}{2}$。
   • $\alpha = \frac{90^\circ - 21.79^\circ}{2} = \frac{68.21^\circ}{2} = 34.105^\circ$。
   • 在三軸試驗中，最大主應力 $\sigma_1$ 通常是垂直方向的，最小主應力 $\sigma_3$ 是水平方向的。
   • 因此，破壞面相對於水平方向（$\sigma_3$ 方向）的傾角 $\theta$ 為：
     $\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \frac{90^\circ - \phi'}{2} = \frac{90^\circ + \phi'}{2}$。
   • $\theta = \frac{90^\circ + 21.79^\circ}{2} = \frac{111.79^\circ}{2} = 55.895^\circ$。

   【答案】 破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta \approx 55.9^\circ$。

5. 繪製摩爾圓與破壞包絡線:

   • 繪製 $\sigma'$ 軸和 $\tau$ 軸。
   • 標示 $\sigma_3 = 450$ kN/m$^2$ 和 $\sigma_1 = 1500$ kN/m$^2$。
   • 繪製以圓心 $(975, 0)$，半徑 $R=525$ 的摩爾圓。
   • 繪製一條通過原點 $(0,0)$ 且與摩爾圓相切的直線，即摩爾-庫侖破壞包絡線。
   • 標示有效摩擦角 $\phi'$，為破壞包絡線與 $\sigma'$ 軸的夾角。
   • 標示破壞面的方向角 $\theta \approx 55.9^\circ$ 相對於水平軸。

【答案】

• 最小有效主應力 $\sigma_3 = 450$ kN/m$^2$。
• 最大有效主應力 $\sigma_1 = 1500$ kN/m$^2$。
• 有效摩擦角 $\phi' \approx 21.79^\circ$。
• 破壞面相對於水平方向的傾角 $\theta \approx 55.9^\circ$。
• 摩爾圓與破壞包絡線圖需包含上述所有元素。

(ii) 直接剪力試驗 (Direct Shear Test) 應力分析與破壞模擬