108 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《流體力學（C）》

核心觀念

本題考查：

• 速度勢函數與速度分量的關係
  $u=\frac{\partial \phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \phi}{\partial y}$
• 二維不可壓縮流的流線與流函數
  $u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$
• 二維流量與流函數差的關係
  $q=\Delta\psi$
• 無黏、不可壓縮流的 Bernoulli 方程式。

已知
$\phi=x^2-y^2$

因此速度場為
$u=2x,\qquad v=-2y$

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(a) 流網

流線

由流函數定義：

$\frac{\partial\psi}{\partial y}=2x$

積分得
$\psi=2xy+f(x)$

再利用
$v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}=-2y$

可得 $f'(x)=0$，所以
$\boxed{\psi=2xy+C}$

流線為 $\psi=\text{常數}$，故
$\boxed{xy=\text{常數}}$

在第一象限中，流線是向右下方延伸的雙曲線；流速方向由
$u=2x>0,\qquad v=-2y<0$
決定，即向右、向下流動。

等勢線

等勢線由 $\phi=\text{常數}$ 給出：

$\boxed{x^2-y^2=\text{常數}}$

因此本題流網由下列兩族互相正交的曲線組成：

$\boxed{\text{流線： }xy=\text{常數}}$

$\boxed{\text{等勢線： }x^2-y^2=\text{常數}}$

兩族曲線確實正交，因為

$$\nabla\phi\cdot\nabla\psi =(2x,-2y)\cdot(2y,2x)=0$$

圖中的 $x$ 軸與 $y$ 軸皆對應於 $\psi=0$；彎曲壁面則為某一條 $xy=\text{常數}$ 的流線。

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(b) 流函數

由上面的推導，取圖中底部壁面為 $\psi=0$，可令積分常數為零：

$\boxed{\psi=2xy}$

驗算：

$\frac{\partial\psi}{\partial y}=2x=u$

$-\frac{\partial\psi}{\partial x}=-2y=v$

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(c) 流量與彎曲壁面座標的關係

二維流動中，兩條流線間的單位寬度流量等於流函數差：

$q=\psi_2-\psi_1$

核心觀念

本題使用：

1. 質量守恆（連續方程）：入口與出口的體積流率相等。
2. 控制體動量方程：由入口、出口的壓力作用力及管壁作用力，求流體與管道間的合力。
3. 出口速度為拋物線分布，動量通量必須計算
   $\int u^2\,dy,$
   不能直接以平均速度平方代替。

取垂直紙面方向為單位寬度，出口截面範圍為
$-\frac b2\le y\le \frac b2.$

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（a）求 $u_0$ 與 $U$ 的關係

入口速度均勻，因此入口流量為

$$Q_A=u_0b.$$

出口流量為

$$\begin{aligned} Q_B &=\int_{-b/2}^{b/2}u\,dy\\ &=\int_{-b/2}^{b/2} U\left[1-\left(\frac{2y}{b}\right)^2\right]dy\\ &=U\left[b-\frac{4}{b^2}\cdot\frac{b^3}{12}\right]\\ &=\frac{2}{3}Ub. \end{aligned}$$

由連續方程 $Q_A=Q_B$：

$$u_0b=\frac23Ub.$$

因此

$$\boxed{u_0=\frac23U}$$

亦即

$$\boxed{U=\frac32u_0}.$$

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（b）求管道所受作用力

設 $F_w$ 為管壁對流體的水平方向合力，正方向取為流動方向 $+x$。

1. 計算入口與出口的動量通量

入口速度均勻，所以入口動量通量為

$$\int_A \rho u^2\,dA =\rho u_0^2b =\rho\left(\frac23U\right)^2b =\frac49\rho U^2b.$$

出口動量通量為

$$\begin{aligned} \int_B\rho u^2\,dA &=\rho\int_{-b/2}^{b/2} U^2\left[1-\left(\frac{2y}{b}\right)^2\right]^2dy\\ &=\rho U^2\int_{-b/2}^{b/2} \left(1-\frac{8y^2}{b^2}+\frac{16y^4}{b^4}\right)dy\\ &=\frac{8}{15}\rho U^2b. \end{aligned}$$

所以流體的淨動量增加率為

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理。若物理現象涉及 $n$ 個有量綱變數，且基本因次數為 $r$，則可建立 $n-r$ 個彼此獨立的無因次參數。

本題變數共有：

$$\Delta p,\ D,\ l,\ \rho,\ \mu,\ g,\ \epsilon,\ V$$

共 $n=8$ 個變數。基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，因此 $r=3$，可建立：

$$n-r=8-3=5$$

個無因次參數。

題目指定 $\mu$、$D$、$V$ 為重複變數。其因次為：

$$[\mu]=ML^{-1}T^{-1},\qquad [D]=L,\qquad [V]=LT^{-1}$$

三者可組合出 $M$、$L$、$T$，符合重複變數的選取條件。

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解題方法

對每一個非重複變數，分別與 $\mu$、$D$、$V$ 組成無因次群。

設一般形式為：

$$\Pi=X\mu^aD^bV^c$$

其中 $X$ 為非重複變數，再利用因次平衡求 $a,b,c$。

1. 壓力降 $\Delta p$

壓力的因次為：

$$[\Delta p]=ML^{-1}T^{-2}$$

因此：

$$\Pi_1=\Delta p\,\mu^aD^bV^c$$

代入各因次：

$$[\Pi_1] =ML^{-1}T^{-2} \left(ML^{-1}T^{-1}\right)^a L^b \left(LT^{-1}\right)^c$$

比較 $M,L,T$ 的次方：

$$M:\quad 1+a=0$$ $$T:\quad -2-a-c=0$$ $$L:\quad -1-a+b+c=0$$

解得：

$$a=-1,\qquad b=1,\qquad c=-1$$

所以：

$$\Pi_1=\frac{\Delta pD}{\mu V}$$

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2. 管長 $l$

因為 $[l]=L$，設：

$$\Pi_2=l\mu^aD^bV^c$$

因次平衡後可得：

$$a=0,\qquad b=-1,\qquad c=0$$

因此：

$$\Pi_2=\frac{l}{D}$$

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3. 流體密度 $\rho$

密度的因次為：

$$[\rho]=ML^{-3}$$

設：

$$\Pi_3=\rho\mu^aD^bV^c$$

因次平衡可得：

$$a=-1,\qquad b=1,\qquad c=1$$

因此：

$$\Pi_3=\frac{\rho VD}{\mu}$$

此即 Reynolds number：

$$\Pi_3=Re$$

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4. 重力常數 $g$

重力加速度的因次為：

$$[g]=LT^{-2}$$

設：

$$\Pi_4=g\mu^aD^bV^c$$

因次平衡可得：

$$a=0,\qquad b=1,\qquad c=-2$$

因此：

$$\Pi_4=\frac{gD}{V^2}$$

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5. 絕對粗糙度 $\epsilon$

因為 $[\epsilon]=L$，與管長的推導相同：

$$\Pi_5=\frac{\epsilon}{D}$$

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無因次關係式

因此，依 Buckingham $\Pi$ 定理，壓力降可表示為：

$$F\left( \frac{\Delta pD}{\mu V}, \frac{l}{D}, \frac{\rho VD}{\mu}, \frac{gD}{V^2}, \frac{\epsilon}{D} \right)=0$$

也可寫成函數形式：

$$\frac{\Delta pD}{\mu V} = \Phi\left( \frac{l}{D}, Re, \frac{gD}{V^2}, \frac{\epsilon}{D} \right)$$

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各無因次參數的物理意義

本題考查流體力學的基本概念，包含 Navier-Stokes 方程式與 Euler 方程式的區別、流場中的未知數，以及充分發展流的定義。

核心觀念：

1. Navier-Stokes 方程式：描述黏性不可壓縮流體的動量守恆定律，考慮了流體的慣性力、壓力、黏滯力及外力。
2. Euler 方程式：描述無黏性流體的動量守恆定律，是 Navier-Stokes 方程式在黏度為零時的特例。
3. 流場的未知數：通常是指速度向量分量和壓力。
4. 充分發展流 (Fully Developed Flow)：指流場的流速剖面沿著流動方向不再改變的區域。

解題過程：

(a) Navier-Stokes 方程式與 Euler 方程式的區別

Navier-Stokes 方程式是描述黏性流體運動的動量守恆方程式。它包含以下項：

• 慣性項 (Convective acceleration)：描述流體隨著自身運動而產生的加速度。
• 壓力梯度項：描述壓力分佈不均引起的力。
• 黏滯力項 (Viscous term)：描述流體內部因黏度而產生的剪應力及正應力引起的力。這是 Navier-Stokes 方程式與 Euler 方程式最主要的區別。
• 外力項：如重力、電磁力等。

Euler 方程式則適用於無黏性流體。它也是動量守恆方程式，但其黏滯力項為零。因此，Euler 方程式可以看作是 Navier-Stokes 方程式在黏度 $\mu \to 0$ 時的極限情況。
Euler 方程式在描述高雷諾數流動（例如，在遠離物體邊界層的區域）時，可以提供近似的解，且計算上較為簡單。然而，Euler 方程式無法描述與黏度相關的物理現象，如邊界層、渦流的耗散、流體的阻力等。

總結來說，主要區別在於：

• 黏性 (Viscosity)：Navier-Stokes 方程式考慮黏性，Euler 方程式不考慮黏性（即假設 $\mu=0$）。
• 適用範圍：Navier-Stokes 方程式適用於一般黏性流體；Euler 方程式適用於理想流體（無黏性流體）。

(b) 流場中的四個未知數

對於不可壓縮、二維、定常流，我們有兩個動量守恆方程式（例如 $x$ 和 $y$ 方向的 Navier-Stokes 方程式）和一個質量守恆方程式（連續方程式）。
一個完整的流體力學問題通常需要解出速度場和壓力場。
假設我們考慮的是三維流動，並且流體是不可壓縮的。

本題考查流場的穩定性、維度、加速度計算，以及流線與跡線的判斷與繪製。

核心觀念：

1. 穩定性 (Steadiness)：流場的物理量（如速度、壓力）在空間某點是否隨時間改變。若不隨時間改變，則為定常流 (steady flow)。
2. 維度 (Dimensionality)：流場的物理量是否依賴於空間座標的數量。1D (一維) 僅依賴於一個空間座標，2D (二維) 依賴於兩個空間座標，3D (三維) 依賴於三個空間座標。
3. 加速度：流體質點的加速度包含局部加速度 (local acceleration) 和對流加速度 (convective acceleration)。
   • 局部加速度：$\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}$，描述流體質點在固定點的速度隨時間的變化率。
   • 對流加速度：$(\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$，描述流體質點隨自身運動而通過不同速度區域時的速度變化率。
   • 總加速度 $\mathbf{a} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$。
4. 流線 (Streamline)：在某一瞬間，與速度向量處處垂直的曲線。流線的切線方向與速度方向相同。對於定常流，流線不隨時間改變。
5. 跡線 (Streakline)：在某一固定時刻，所有曾經通過同一空間點的流體質點的軌跡。對於非定常流，流線和跡線通常不同。對於定常流，流線和跡線是相同的。

解題過程：

給定速度場 $\mathbf{V} = (u, v)$，其中 $u = \frac{10y}{(x^2+y^2)^{1/2}}$，$v = \frac{-10x}{(x^2+y^2)^{1/2}}$。

(a) 穩定性與維度

• 穩定性 (Steadiness)：
  觀察速度分量 $u$ 和 $v$ 是否隨時間 $t$ 改變。
  在給定的速度場表達式中，沒有出現時間變數 $t$。
  因此，速度分量 $u$ 和 $v$ 在空間的任何一點都不隨時間改變。
  這表示該流場是定常流 (steady flow)。

• 維度 (Dimensionality)：
  速度分量 $u$ 和 $v$ 依賴於空間座標 $x$ 和 $y$。
  沒有出現第三個空間座標 $z$。
  因此，該流場是二維 (2D) 流。

【答案】
穩定性：定常流 (Steady flow)。
維度：二維 (2D)。

(b) 局部加速度與對流加速度

總加速度 $\mathbf{a} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$。
由於是定常流，局部加速度項為零：$\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} = \mathbf{0}$。
所以，總加速度等於對流加速度：$\mathbf{a} = (\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$。

我們需要計算對流加速度的 $x$ 和 $y$ 分量。
對流加速度的 $x$ 分量：$a_x = u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$。
對流加速度的 $y$ 分量：$a_y = u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}$。

首先，計算速度場的梯度。令 $r = (x^2+y^2)^{1/2}$。則 $u = 10y/r$，$v = -10x/r$。
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{10y}{(x^2+y^2)^{1/2}} \right) = 10y \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2)^{-3/2} (2x) \right) = \frac{-10xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{10y}{(x^2+y^2)^{1/2}} \right) = \frac{10(x^2+y^2)^{1/2} - 10y \cdot \frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}(2y)}{(x^2+y^2)}$
$= \frac{10(x^2+y^2) - 10y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{10x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-10x}{(x^2+y^2)^{1/2}} \right) = \frac{-10(x^2+y^2)^{1/2} - (-10x) \cdot \frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}(2x)}{(x^2+y^2)}$
$= \frac{-10(x^2+y^2) + 10x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{-10y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-10x}{(x^2+y^2)^{1/2}} \right) = -10x \left( -\frac{1}{2} (x^2+y^2)^{-3/2} (2y) \right) = \frac{10xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。

現在計算加速度分量：
$a_x = u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$
$a_x = \left(\frac{10y}{r}\right) \left(\frac{-10xy}{r^3}\right) + \left(\frac{-10x}{r}\right) \left(\frac{10x^2}{r^3}\right)$
$a_x = \frac{-100xy^2}{r^4} - \frac{100x^3}{r^4} = \frac{-100x(y^2+x^2)}{r^4} = \frac{-100x(r^2)}{r^4} = \frac{-100x}{r^2}$
$a_x = \frac{-100x}{x^2+y^2}$。