111 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《流體力學（C）》

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理，用以將含有多個有因次變數的流體力學問題，整理成少數無因次群。

相關物理量如下：

• 阻力：$D$
• 投影面積：$A$
• 速度：$V$
• 流體密度：$\rho$（題目以 $p$ 表示）
• 動黏度：$\mu$

其因次為

$$[D]=MLT^{-2}$$ $$[A]=L^2,\qquad [V]=LT^{-1},\qquad [\rho]=ML^{-3}$$ $$[\mu]=ML^{-1}T^{-1}$$

共有 $n=5$ 個變數，基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，因此無因次群數目為

$$n-r=5-3=2$$

所以本題可建立兩個獨立的無因次群。

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解題方法

選取 $\rho$、$V$、$A$ 作為重複變數，因為三者合併後可涵蓋 $M$、$L$、$T$ 三種基本因次。

第一個無因次群：阻力群

令

$$\Pi_1=D\rho^a V^b A^c$$

代入各物理量因次：

$$[\Pi_1] =(MLT^{-2})(ML^{-3})^a(LT^{-1})^b(L^2)^c$$

整理得

$$[\Pi_1] =M^{1+a}L^{1-3a+b+2c}T^{-2-b}$$

要使其無因次，各基本因次指數必須為零：

$$1+a=0$$ $$-2-b=0$$ $$1-3a+b+2c=0$$

解得

$$a=-1,\qquad b=-2,\qquad c=-\frac12$$

因此

$$\Pi_1 =\frac{D}{\rho V^2 A^{1/2}}$$

此形式雖然無因次，但更常用的阻力係數定義為

$$C_D=\frac{D}{\frac12\rho V^2 A}$$

由於 $A$ 本身具有面積因次，直接以 $A$ 作為重複變數時，第二個無因次群可選為 $A$ 的平方根所代表的特徵長度。故標準阻力無因次群為

$$\Pi_D=\frac{D}{\rho V^2 A}$$

其中常數 $1/2$ 不影響無因次性，因此也可寫成阻力係數 $C_D$。

第二個無因次群：雷諾數

令

$$\Pi_2=\mu\rho^a V^b A^c$$

則

$$[\Pi_2] =(ML^{-1}T^{-1})(ML^{-3})^a(LT^{-1})^b(L^2)^c$$

整理得

$$[\Pi_2] =M^{1+a}L^{-1-3a+b+2c}T^{-1-b}$$

令各基本因次指數為零：

本題考驗對流場基本特性的判斷：穩定性 (steady/unsteady)、不可壓縮性 (incompressible)、以及旋渦性 (rotational/irrotational)。

首先，將速度向量 $\vec{V}$ 的分量寫出來：
$u = -\frac{5yt}{3xy} = -\frac{5t}{3x}$
$v = -\frac{5xt}{3xy} = -\frac{5t}{3y}$

請注意，題目給的 $\vec{V}$ 表達式中，分母是 $3xy$，這表示在 $x=0$ 或 $y=0$ 的地方速度是無窮大，這是一個不實際的物理情況。但我們仍可基於給定的數學形式進行分析。
同時，題目給的 $\vec{V} = \left( -\frac{5yt}{3xy}, -\frac{5xt}{3xy} \right)$ 應理解為速度向量，其分量為 $u = -\frac{5yt}{3xy}$ 和 $v = -\frac{5xt}{3xy}$。
然而，如果 $x, y \neq 0$, 則 $u = -\frac{5t}{3x}$ 和 $v = -\frac{5t}{3y}$。
我們將基於 $u = -\frac{5t}{3x}$ 和 $v = -\frac{5t}{3y}$ 來進行後續分析。

(1) 穩定性判斷 (Steady or Unsteady Flow)

流場是穩定的，如果速度分量不隨時間變化。
$u = u(x, y, t)$
$v = v(x, y, t)$
判斷 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial t}$。

$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{5t}{3x} \right) = -\frac{5}{3x}$
$\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{5t}{3y} \right) = -\frac{5}{3y}$

由於 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial t}$ 均不為零（除非 $x$ 或 $y$ 為無窮大），且它們依賴於 $x$ 和 $y$，這表示速度分量隨時間變化。
因此，此流場是非穩定的 (unsteady)。

【答案】此流場為非穩定的。

(2) 不可壓縮性判斷 (Incompressible Fluid)

對於不可壓縮流體，連續性方程式必須滿足：
$\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

計算速度分量對其空間座標的偏導數：
$u = -\frac{5t}{3x}$
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{5t}{3x} \right) = -\frac{5t}{3} \frac{\partial}{\partial x}(x^{-1}) = -\frac{5t}{3} (-x^{-2}) = \frac{5t}{3x^2}$

核心觀念

本題使用穩態線動量方程式：

$$\sum \mathbf F=\dot m(\mathbf V_2-\mathbf V_1)$$

取控制體為「彎管與彎管內的水」，如此可直接求出錨定力。外力包括：

• 入口、出口壓力作用力
• 彎管內水的重量
• 彎管本身的重量
• 錨定力

依圖取 $+x$ 向右、$+z$ 向上。出口流向為左下方，與 $+x$ 軸順時針夾角 $135^\circ$。

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流速與質量流率

入口、出口截面積分別為

$$A_1=\frac{\pi(0.4)^2}{4}=0.12566\ \text{m}^2$$ $$A_2=\frac{\pi(0.2)^2}{4}=0.031416\ \text{m}^2$$

由連續方程式 $Q=AV$：

$$V_1=\frac{0.5}{0.12566}=3.979\ \text{m/s}$$ $$V_2=\frac{0.5}{0.031416}=15.915\ \text{m/s}$$

質量流率為

$$\dot m=\rho Q=(1000)(0.5)=500\ \text{kg/s}$$

速度向量：

$$\mathbf V_1=(3.979,0)\ \text{m/s}$$ $$\mathbf V_2= \left(-\frac{15.915}{\sqrt2},-\frac{15.915}{\sqrt2}\right) =(-11.254,-11.254)\ \text{m/s}$$

因此動量通量變化為

$$\dot m(\mathbf V_2-\mathbf V_1) = 500(-15.233,-11.254)$$ $$=(-7.616,-5.627)\ \text{kN}$$

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壓力力與重量

入口壓力作用力向右：

$$p_1A_1=(200)(0.12566)=25.133\ \text{kN}$$

出口壓力力方向與出口流向相反，即右上方，其分量為

核心觀念

本題考查量綱分析。判斷 $\tau_*$ 的 dimension 時，須逐一寫出各物理量的基本量綱：

• 流體密度：$\rho$，量綱為 $[M L^{-3}]$
• 剪力速度：$v_*$，量綱為 $[L T^{-1}]$
• 粒徑：$D$，量綱為 $[L]$
• 重力加速度：$g$，量綱為 $[L T^{-2}]$
• 密度差與粒子密度之比：$R$，為無因次量，量綱為 $[1]$

題給公式為

$$\tau_*=\frac{\rho v_*^2}{R g D}$$

解題方法

直接對分子與分母進行量綱運算。

分子：

$$[\rho v_*^2] = [M L^{-3}]\,[L T^{-1}]^2$$ $$= [M L^{-3}]\,[L^2T^{-2}] = [M L^{-1}T^{-2}]$$

分母：

$$[RgD] = [1]\,[LT^{-2}]\,[L] = [L^2T^{-2}]$$

因此

核心觀念

本題考查二維勢流的複勢疊加原理：

• 均勻流向正 $x$ 方向：複勢為 $Uz$。
• 位於 $z_0$ 的點源，強度為 $q$：複勢為 $\dfrac{q}{2\pi}\ln(z-z_0)$。
• 負源即為同強度的匯。

其中 $z=x+iy$，且流速可由複勢微分得到：

$$\frac{dW}{dz}=u-iv$$

遠處流速趨近 $U$，因此可用伯努力方程求壓力。

解題方法

正源位於 $z=-a$，負源位於 $z=a$，故總複勢為三個基本流場的疊加。

(1) 複勢與速度勢函數

總複勢：

$$W(z)=Uz+\frac{q}{2\pi}\ln(z+a)-\frac{q}{2\pi}\ln(z-a)$$

亦可合併寫成：

$$W(z)=Uz+\frac{q}{2\pi}\ln\left(\frac{z+a}{z-a}\right)$$

令

$$r_1=\sqrt{(x+a)^2+y^2},\qquad r_2=\sqrt{(x-a)^2+y^2}$$

由於 $\ln(z-z_0)=\ln r+i\theta$，取實部可得速度勢函數：

$$\phi(x,y) = Ux+\frac{q}{2\pi}\ln r_1-\frac{q}{2\pi}\ln r_2$$

因此

$$\boxed{ \phi(x,y) = Ux+\frac{q}{2\pi} \ln\left(\frac{r_1}{r_2}\right) }$$

即

$$\boxed{ \phi(x,y) = Ux+\frac{q}{2\pi} \ln\left[ \frac{\sqrt{(x+a)^2+y^2}} {\sqrt{(x-a)^2+y^2}} \right] }$$

由複勢微分可得：

$$\frac{dW}{dz} = U+\frac{q}{2\pi} \left[ \frac{1}{z+a}-\frac{1}{z-a} \right]$$

利用題目提示：

$$\frac{1}{z+a}-\frac{1}{z-a} = \frac{-2a}{z^2-a^2}$$

故

$$\frac{dW}{dz} = U-\frac{aq}{\pi(z^2-a^2)}$$

(2) 驗證停滯點

停滯點須滿足：

$$u=0,\qquad v=0$$

題目指定 $y=0$，此時 $z=x$，且流速只有 $x$ 方向分量：

$$u = U+\frac{q}{2\pi} \left[ \frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a} \right]$$

代入提示式：

$$u = U-\frac{aq}{\pi(x^2-a^2)}$$

令 $u=0$：

$$U-\frac{aq}{\pi(x^2-a^2)}=0$$

因此