111 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地乙組《土壤力學與基礎工程》

核心觀念

本題考查土壤有效應力原理：

$$\sigma'=\sigma-u$$

其中：

• $\sigma$：土壤總應力
• $u$：孔隙水壓
• $\sigma'$：有效應力

有效應力是由土骨架承受的應力，決定土壤的壓縮、剪力強度與變形行為。

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a. 有效應力定義、物理意義與液化

有效應力定義

對飽和土而言，總應力由土骨架與孔隙水共同承擔：

$$\sigma=\sigma'+u$$

因此：

$$\boxed{\sigma'=\sigma-u}$$

物理意義

有效應力是顆粒間接觸力所形成的平均應力。土壤的抗剪強度主要由有效應力控制：

$$\tau_f=c'+\sigma'\tan\phi'$$

有效應力越大，顆粒間的接觸力越大，土壤抗剪強度通常越高；有效應力降低時，土壤容易產生剪切變形。

地震造成液化的原因

地震快速振動使飽和砂土顆粒有重新排列的趨勢，但短時間內孔隙水來不及排出，因此產生超額孔隙水壓 $\Delta u$。

地震期間：

$$\sigma'=\sigma-(u_0+\Delta u)$$

當 $\Delta u$ 增加，使有效應力大幅降低，甚至接近零：

$$\sigma'\rightarrow 0$$

此時土顆粒間的接觸力幾乎消失，飽和砂土暫時失去抗剪強度，呈現類似液體的行為，即為土壤液化。

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b. A、B 點之總應力、孔隙水壓與有效應力

依原圖，地表至地下水位 A 的土層厚度為 $2\ \text{m}$，其單位重為：

$$\gamma=16\ \text{kN/m}^3$$

地下水位以下土層厚度為 $5\ \text{m}$，飽和單位重為：

$$\gamma_{\text{sat}}=18\ \text{kN/m}^3$$

取：

$$\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$$

A 點

A 位於地下水位，故孔隙水壓為零表壓：

$$\sigma_A=16(2)=32\ \text{kPa}$$ $$u_A=0$$ $$\sigma'_A=\sigma_A-u_A=32\ \text{kPa}$$

因此：

$$\boxed{\sigma_A=32\ \text{kPa}}$$ $$\boxed{u_A=0}$$ $$\boxed{\sigma'_A=32\ \text{kPa}}$$

B 點

B 點上方包含 $2\ \text{m}$ 的非飽和土與 $5\ \text{m}$ 的飽和土：

$$\sigma_B=16(2)+18(5)$$ $$\boxed{\sigma_B=122\ \text{kPa}}$$

B 點位於地下水位下方 $5\ \text{m}$，因此：

$$u_B=\gamma_w(5)=9.81(5)=49.05\ \text{kPa}$$ $$\sigma'_B=\sigma_B-u_B$$ $$\sigma'_B=122-49.05=72.95\ \text{kPa}$$

因此：

$$\boxed{u_B=49.05\ \text{kPa}}$$ $$\boxed{\sigma'_B=72.95\ \text{kPa}\approx73.0\ \text{kPa}}$$

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c. 三種地下水位下的有效應力比較

考慮地下地表下方深度 $z$ 的位置，且圖示條件為 $z>h$。

令地表以上或地下水位以上土壤單位重為 $\gamma$，飽和土單位重為 $\gamma_{\text{sat}}$。

Case 1：水位高於地表 $H$

總應力：

$$\sigma_1=\gamma_wH+\gamma_{\text{sat}}z$$

孔隙水壓：

$$u_1=\gamma_w(H+z)$$

故：

$$\sigma'_1=\sigma_1-u_1$$ $$\boxed{\sigma'_1=(\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w)z}$$

Case 2：水位高於地表 $h$

同理：

$$\sigma_2=\gamma_wh+\gamma_{\text{sat}}z$$ $$u_2=\gamma_w(h+z)$$

因此：

$$\boxed{\sigma'_2=(\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w)z}$$

可見水面雖然分別位於 $H$ 與 $h$，但水面以上的水壓同時增加總應力與孔隙水壓，兩者相互抵消。

Case 3：水位低於地表 $h$

地表至地下水位之間厚度為 $h$，地下水位以下厚度為 $z-h$：

$$\sigma_3=\gamma h+\gamma_{\text{sat}}(z-h)$$ $$u_3=\gamma_w(z-h)$$

因此：

$$\begin{aligned} \sigma'_3 &=\gamma h+\gamma_{\text{sat}}(z-h)-\gamma_w(z-h)\\ &=\gamma h+(\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w)(z-h) \end{aligned}$$

此題主要探討土壤壓密（Consolidation）的相關概念與計算。首先比較壓密與壓實的差異，接著利用 2:1 法則計算載重增加引起的應力增量，並結合軟黏土的壓縮參數計算壓密沉陷量。最後，探討導入排水固結工法（如排水繩）對壓密速率的影響。

a. 土壤壓密 (Consolidation) 與壓實 (Compaction) 的區別 (5%)

土壤壓密與壓實是兩種不同的土壤改良方法，但都旨在提高土壤的密度和承載力。它們的主要區別在於作用的機制、適用土壤類型、以及最終達到的效果。

• 壓實 (Compaction):

  • 機制： 壓實是透過機械力（如夯實、滾壓）將土壤中的空氣排出，使土壤顆粒間的距離縮小，從而提高土壤的密度和強度。在這個過程中，水分含量通常會被控制在最佳含水量附近，以達到最大的乾密度。
  • 作用對象： 主要適用於粒狀土（如砂土、礫石）或混合粒料。對於黏土，壓實效果有限，且容易產生裂縫。
  • 水分作用： 主要目的是排出空氣。水分扮演潤滑劑的角色，幫助土壤顆粒更容易排列緊密。
  • 孔隙水壓力： 壓實過程中，孔隙水壓力會暫時升高，但隨著空氣排出和水分蒸發，孔隙水壓力會恢復到接近大氣壓力。
  • 主要目的： 提高土壤的密度、強度、穩定性，降低滲透性。常用於路基、堤壩、回填土的施工。

• 壓密 (Consolidation):

  • 機制： 壓密是發生在飽和黏土中，由於外部載荷增加，導致孔隙水緩慢地從土壤中排出，土體體積隨之減小，應力重新分配到土壤骨架上的過程。這個過程是時間相關的，並且主要由於孔隙水壓力消散而引起。
  • 作用對象： 主要發生在飽和黏土層中。
  • 水分作用： 孔隙水是主要的排水介質。孔隙水壓力的消散是壓密的核心。
  • 孔隙水壓力： 載荷增加會導致孔隙水壓力暫時升高，高於靜水壓力。隨著時間的推移，孔隙水緩慢滲出，孔隙水壓力逐漸消散，並最終恢復到靜水壓力。這個過程中，土壤骨架承受的有效應力增加。
  • 主要目的： 導致長期沉陷。壓密是土壤沉陷的主要原因，尤其是在建築物下方。

總結：

特徵	壓實 (Compaction)	壓密 (Consolidation)
機制	排出空氣，使土壤顆粒更緊密排列	排出孔隙水，使土壤骨架應力增加，體積減小
作用對象	粒狀土、混合粒料	飽和黏土
主要驅動力	機械外力	孔隙水壓力消散
孔隙水壓力	暫時升高，隨後恢復	載荷增加時升高，隨時間消散，最終恢復到靜水壓力
時間相關性	快速完成（施工過程）	緩慢進行（數月至數年）
主要結果	提高密度、強度、穩定性	產生長期沉陷

b. 軟黏土層的應力增量與沉陷量計算 (10%)

1. 計算載重增加引起的應力增量 ($\Delta \sigma$)

• 載重與基礎尺寸： $Q = 5000 \text{ kN}$，基礎尺寸 $B \times L = 2 \text{ m} \times 2 \text{ m}$。
• 應力增量計算： 採用 2:1 法則，假設應力增量在深度 $z$ 處的擴散範圍為 $(B+z) \times (L+z)$。
  基礎底面壓力 $q = Q / (B \times L) = 5000 \text{ kN} / (2 \text{ m} \times 2 \text{ m}) = 1250 \text{ kN/m}^2$。
  軟黏土層位於砂層下方 1.5 m 處，厚度為 5 m。
  我們需要計算軟黏土層中間位置的應力增量。軟黏土層的中間深度為 $z = 1.5 \text{ m} + (5 \text{ m}/2) = 1.5 \text{ m} + 2.5 \text{ m} = 4 \text{ m}$。
  在深度 $z=4 \text{ m}$ 處，應力擴散的尺寸為：
  寬度 $B' = B + z = 2 \text{ m} + 4 \text{ m} = 6 \text{ m}$
  長度 $L' = L + z = 2 \text{ m} + 4 \text{ m} = 6 \text{ m}$
  在深度 $z=4 \text{ m}$ 處的應力增量 $\Delta \sigma_z$ 為：
  $\Delta \sigma_z = q \times \frac{B \times L}{(B+z)(L+z)} = q \times \frac{B^2}{(B+z)^2}$
  $\Delta \sigma_z = 1250 \text{ kN/m}^2 \times \frac{(2 \text{ m})^2}{(2 \text{ m} + 4 \text{ m})^2} = 1250 \text{ kN/m}^2 \times \frac{4 \text{ m}^2}{36 \text{ m}^2}$
  $\Delta \sigma_z = 1250 \times \frac{1}{9} \approx 138.89 \text{ kN/m}^2$
  所以，軟黏土層中間的應力增量 $\Delta \sigma = 138.89 \text{ kN/m}^2$。

2. 計算軟黏土層的沉陷量 ($S$)

• 軟黏土參數：
  初始孔隙比 $e_0 = 0.75$
  壓縮指數 $C_c = 0.3$
  回彈指數 $C_r = 0.05$
  先期壓密壓力 $\sigma_p = 60 \text{ kPa}$
  軟黏土層厚度 $H_s = 5 \text{ m}$
  軟黏土層中部的初始應力 $\sigma_{v0}$。
  砂層單位重 $\gamma_{sat, \text{sand}} = 16 \text{ kN/m}^3$
  軟黏土層單位重 $\gamma_{sat, \text{clay}} = 18 \text{ kN/m}^3$
  砂層單位重 $\gamma_{sat, \text{dense sand}} = 18 \text{ kN/m}^3$
  假設 $\gamma_w = 9.81 \text{ kN/m}^3$。

  計算軟黏土層中部的初始總應力 $\sigma_{v0}$ (深度 $z = 4 \text{ m}$)：
  $\sigma_{v0} = \gamma_{sat, \text{sand}} \times 1.5 \text{ m} + \gamma_{sat, \text{clay}} \times 4 \text{ m}$
  $\sigma_{v0} = (16 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m}) + (18 \text{ kN/m}^3 \times 4 \text{ m})$
  $\sigma_{v0} = 24 \text{ kN/m}^2 + 72 \text{ kN/m}^2 = 96 \text{ kN/m}^2$

  計算軟黏土層中部的初始孔隙水壓力 $u_0$ (假設水位在地表)：
  $u_0 = \gamma_w \times (1.5 \text{ m} + 4 \text{ m}) = 9.81 \text{ kN/m}^3 \times 5.5 \text{ m} = 53.955 \text{ kN/m}^2$

  計算軟黏土層中部的初始有效應力 $\sigma'_{v0}$：
  $\sigma'_{v0} = \sigma_{v0} - u_0 = 96 \text{ kN/m}^2 - 53.955 \text{ kN/m}^2 = 42.045 \text{ kN/m}^2$

• 判斷是否超壓縮：
  初始有效應力 $\sigma'_{v0} = 42.045 \text{ kPa}$。
  先期壓密壓力 $\sigma_p = 60 \text{ kPa}$。
  由於 $\sigma'_{v0} < \sigma_p$，所以軟黏土層處於正常壓縮階段。

• 計算最終有效應力 $\sigma'_{vf}$：
  $\sigma'_{vf} = \sigma'_{v0} + \Delta \sigma = 42.045 \text{ kPa} + 138.89 \text{ kPa} = 180.935 \text{ kPa}$。
  由於 $\sigma'_{vf} > \sigma_p$，表示軟黏土層會經歷先期壓密和正常壓縮階段。

• 計算沉陷量 $S$：
  沉陷量公式為：
  $S = H_s \times \frac{C_c}{1+e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{vf}}{\sigma'_{v0}}\right)$
  這個公式適用於 $\sigma'_{v0} \le \sigma_p \le \sigma'_{vf}$ 的情況。
  但是，如果 $\sigma'_{vf}$ 超過 $\sigma_p$，則需要分段計算。
  如果 $\sigma'_{vf} > \sigma_p$ 且 $\sigma'_{v0} < \sigma_p$：
  沉陷量 $S = H_s \times \left[ \frac{C_r}{1+e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma_p}{\sigma'_{v0}}\right) + \frac{C_c}{1+e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{vf}}{\sigma_p}\right) \right]$

  在這裡，$\sigma'_{v0} = 42.045 \text{ kPa}$，$\sigma_p = 60 \text{ kPa}$，$\sigma'_{vf} = 180.935 \text{ kPa}$。
  所以，我們使用上面的分段公式。
  $S = 5 \text{ m} \times \left[ \frac{0.05}{1+0.75} \log_{10}\left(\frac{60}{42.045}\right) + \frac{0.3}{1+0.75} \log_{10}\left(\frac{180.935}{60}\right) \right]$
  $S = 5 \text{ m} \times \left[ \frac{0.05}{1.75} \log_{10}(1.427) + \frac{0.3}{1.75} \log_{10}(3.0156) \right]$
  $S = 5 \text{ m} \times \left[ 0.02857 \times 0.1544 + 0.1714 \times 0.4795 \right]$
  $S = 5 \text{ m} \times \left[ 0.00441 + 0.08218 \right]$
  $S = 5 \text{ m} \times 0.08659 \approx 0.433 \text{ m}$

  【答案】
  軟黏土層中間的應力增量 $\Delta \sigma \approx 138.89 \text{ kN/m}^2$。
  軟黏土層的沉陷量 $S \approx 0.433 \text{ m}$。

c. 排水繩對壓密速率的影響與時間比計算 (10%)

核心觀念

本題考查支撐開挖（braced cut）的穩定分析、Peck 表觀土壓力圖，以及依表觀土壓力估算支撐軸力與擋土壁彎矩。

支撐開挖主要須考慮：

1. 擋土壁與支撐系統的結構安全

   • 計算擋土壁的彎矩、剪力及變形。
   • 計算圍令、支撐、接頭與支承點的軸力及穩定性。
   • 目的在避免擋土壁彎曲破壞、支撐屈曲或接頭失效。

2. 坑底隆起（basal heave）

   • 軟黏土開挖後，坑底土體可能因兩側土壓差而向坑內隆起。
   • 須檢核坑底抗剪強度是否足夠。
   • 目的在防止坑底剪切破壞及開挖面突然隆起。

3. 管湧與流砂（piping and boiling）

   • 地下水由坑外流向坑內時，水力坡降可能使有效應力降低。
   • 當水力坡降接近臨界水力坡降時，可能發生管湧或流砂。
   • 目的在防止坑底失穩、土砂流失及地下水大量湧入。

4. 擋土壁嵌入深度與抗滑穩定

   • 利用壁體入土段的被動土壓力抵抗主動土壓力及水壓力。
   • 目的在防止擋土壁向坑內滑移或整體位移過大。

5. 整體穩定（overall stability）

   • 檢核包含擋土壁、支撐、周圍土體的深層滑動破壞。
   • 通常以圓弧滑動或適當滑動面進行分析。
   • 目的在防止大範圍土體滑動，避免鄰房、道路及地下管線受損。

6. 上浮與地下水穩定

   • 當坑底水壓很大時，須檢核坑底土層及結構物的抗上浮能力。
   • 目的在防止坑底被水壓頂破或結構物上浮。

實務上還須將地表超載、鄰房荷載、交通荷載、地下水位及施工階段納入土壓與穩定分析。

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3(a) 各項分析的目的

支撐開挖的分析可整理如下：

分析項目	主要破壞模式	分析目的
擋土壁及支撐結構分析	彎曲、剪力、支撐屈曲	決定壁厚、斷面及支撐尺寸
坑底隆起分析	坑底剪切破壞	確保坑底土體抗剪安全
管湧、流砂分析	有效應力降低、土砂流失	確保地下水滲流穩定
嵌入深度及抗滑分析	壁體向坑內滑移	決定擋土壁所需入土深度
整體穩定分析	深層滑動	防止大範圍土體與鄰近構造物失穩
抗上浮分析	水壓頂破或結構上浮	確保坑底及地下結構安全

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3(b) Peck 表觀土壓力圖

定義

表觀土壓力（apparent earth pressure）是根據實際支撐開挖案例中的支撐反力反算而得的經驗性土壓力分布圖。

它不是擋土壁某一深度的真實瞬時土壓力，而是將土壓力重新分配成一個適合支撐設計的等效壓力圖。

對砂土，Peck 常用的表觀均布土壓力為

$$p_a=0.65K_a\gamma H$$

其中：

• $p_a$：表觀均布土壓力
• $K_a$：主動土壓力係數
• $\gamma$：土壤單位重
• $H$：開挖深度

用途

表觀土壓力圖主要用於：

1. 計算各層支撐的設計軸力。
2. 決定圍令、支撐及接頭的尺寸。
3. 估算擋土壁的設計彎矩與剪力。
4. 將施工期間可能產生的土壓重新分配效應納入設計。

支撐軸力不是直接取某一點的壓力，而是取該支撐所負責的分擔高度範圍內之表觀土壓力合力。

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3(c) 支撐荷載與擋土壁彎矩

第一步：計算主動土壓力係數

採用 Rankine 主動土壓力係數：

$$K_a=\frac{1-\sin\phi'}{1+\sin\phi'}$$

已知

$$\phi'=32^\circ$$

因此

$$K_a =\frac{1-\sin32^\circ}{1+\sin32^\circ} \approx 0.307$$

由圖可知，開挖深度為

核心觀念

本題考四個重點：淺基礎與樁基礎的荷重傳遞、補償式基礎的開挖卸載、埋置與覆土對砂土沉陷的影響，以及黏土在長期排水、短期不排水條件下的承載力。總應力、有效應力與淨壓力必須分清楚，不能混用。

解題方法

原卷第 3 頁圖中，(a) 為周圍有覆土的埋置基礎，(b) 為地表基礎，(c) 為置於未回填開挖坑內的基礎，坑外仍保留原地表。第 4 頁給定基礎尺寸 $4\times2\ \mathrm{m}$、埋深 $1\ \mathrm{m}$，地下水位位於地表；以下係數均採原卷表列公式。

(a) 淺基礎與樁基礎的垂直承載機制

兩者都是將結構荷重傳入土層，利用土壤抗剪強度抵抗破壞，並須同時滿足承載力安全與沉陷限制。

比較項目	淺基礎	樁基礎
主要傳力途徑	由基底接觸壓力傳入下方土層	由樁身摩擦力與樁端阻力共同傳力
主要承載範圍	基底附近的淺層土壤	沿樁身各土層及樁端附近土壤
破壞機制	基底下土壤形成一般剪力、局部剪力或貫穿破壞	樁土界面剪力達極限，或樁端土壤承載破壞
沉陷來源	基底下土壤變形	樁身壓縮、樁土相對位移及樁端土壤變形

淺基礎通常忽略側面摩擦，其極限荷重近似為

$$Q_u=Aq_u$$

單樁則為

$$Q_u=Q_s+Q_b =\sum_i f_{s,i}A_{s,i}+q_bA_b$$

其中 $f_{s,i}$ 為各層單位樁身摩擦阻力，$q_b$ 為單位樁端阻力。端承樁以 $Q_b$ 為主，摩擦樁以 $Q_s$ 為主；樁身摩擦通常在較小位移即可充分發揮，樁端極限阻力則需較大的位移。承載機制與阻力發揮說明

(b) 補償式基礎與全補償設計

補償式基礎利用地下室開挖移除土重，使後續建築物施加的荷重抵銷全部或部分開挖卸載，減少地基的淨應力增加與沉陷。

令 $Q_{\mathrm{total}}$ 為建築物、地下室、基礎及設計使用荷重的總和，$A$ 為基礎面積。地下水位不變時，全補償條件為

$$Q_{\mathrm{total}}=W_{\mathrm{exc}}$$

其中 $W_{\mathrm{exc}}$ 為挖除土體的總重量；飽和土應採飽和單位重，已包含孔隙水重量。全補償基礎的定義

以有效應力表示，令 $u_b$ 為基底水壓，$\sigma'_{v0}$ 為開挖前基底深度的有效上覆壓力，則

$$\Delta\sigma'_v =\left(\frac{Q_{\mathrm{total}}}{A}-u_b\right)-\sigma'_{v0}=0$$

亦即

$$\boxed{\frac{Q_{\mathrm{total}}}{A}-u_b=\sigma'_{v0}}$$

若地下水位在地表、土層均質且飽和：

$$u_b=\gamma_wD_f,\qquad \sigma'_{v0}=(\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w)D_f$$

代入可得

$$\boxed{\frac{Q_{\mathrm{total}}}{A}=\gamma_{\mathrm{sat}}D_f}$$

因此，設計時先求總荷重，再選擇地下室面積與開挖深度，使

$$D_f=\frac{Q_{\mathrm{total}}}{A\gamma_{\mathrm{sat}}}$$

並同步計入地下室與基礎自重。分層土則以 $A\sum_i\gamma_iH_i$ 計算挖除重量。

**不能直接令未扣浮力的總荷重壓力等於 $\gamma'D_f$。**全補償也不代表施工期間完全沒有位移；開挖回彈、後續再壓縮及施工擾動仍須評估。

(c) 三種基礎的沉陷比較

依圖示取 (a)、(c) 基底深度相同，忽略基礎與覆土自重差異及施工擾動，比較相同柱載重 $Q$ 引起的沉陷，結果為

$$\boxed{S_a<S_c<S_b}$$

理由如下：

• **(a) 沉陷最小：**基礎埋置且周圍有覆土，土壤對基礎及周圍地盤提供較完整的約束，側面接觸亦能傳遞部分剪力，降低基底土壤變形。
• **(b) 沉陷最大：**基礎位於地表，缺少埋置與上覆土約束，周圍土壤較容易向側方及地表變形。
• **(c) 沉陷介於兩者：**坑外覆土仍能約束基底周圍土壤，具有溝槽效應，因此沉陷小於地表基礎；但坑內未回填，缺少 (a) 的完整覆土與側面接觸，故沉陷大於 (a)。

上述排序係依圖示的埋置、溝槽與側面接觸效應判斷。埋置基礎沉陷效應研究

砂土即使均質，其勁度仍受有效圍壓影響；不能只因三者的 $Q/A$ 相同，就判定沉陷相同。

(d) Meyerhof 極限承載力

取短邊為 $B$、長邊為 $L$：

$$B=2\ \mathrm{m},\quad L=4\ \mathrm{m},\quad D_f=1\ \mathrm{m},\quad \frac BL=\frac{D_f}{B}=0.5$$

採垂直、中心載重，所有傾斜係數均為 $1$。Meyerhof 公式為

$$q_u= cN_cF_{cs}F_{cd} +q_0N_qF_{qs}F_{qd} +\frac12\gamma BN_\gamma F_{\gamma s}F_{\gamma d}$$