111 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《水文學（A）》

核心觀念

徐昇氏法（Thiessen method）是依照「各雨量站對集水區內每一點的影響範圍」加權平均降雨量。其基本公式為

$$\overline{P} =\frac{\sum_{i=1}^{n} A_iP_i}{A} =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{A_i}{A}\right)P_i$$

其中：

• $\overline{P}$：集水區平均降雨量
• $A_i$：第 $i$ 個雨量站在集水區內的徐昇多邊形面積
• $P_i$：第 $i$ 個雨量站的降雨量
• $A$：集水區總面積

作法是先連接相鄰雨量站，再作各連線的垂直平分線，形成 Voronoi diagram；最後將各雨量站的影響多邊形與集水區邊界相交裁切。

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解題方法

1. 計算集水區面積

集水區頂點依序為

$$(5,5),\ (-5,5),\ (-5,-5),\ (0,-10),\ (5,-5)$$

利用鞋帶公式：

$$A =\frac{1}{2} \left| \sum x_iy_{i+1}-\sum y_ix_{i+1} \right| =125\ {\rm km^2}$$

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2. 判定各雨量站的有效影響範圍

將各站的徐昇多邊形以集水區邊界裁切後，可得到下列結果：

雨量站	降雨量（mm）	集水區內面積（km²）	面積比例
1	70	0	0
2	60	19.91	0.1593
3	40	16.15	0.1292
4	50	0	0
5	100	27.94	0.2235
6	90	0	0
7	60	32.69	0.2615
8	40	28.30	0.2264
9	80	0	0

核心觀念

1. 可降水總量（Precipitable Water, $W_p$）：
   指垂直大氣柱中所含水氣若全部凝結降落於地表，在單位底面積上所累積的等效水深（單位通常以 $\text{mm}$ 或 $\text{cm}$ 表示，亦相當於單位面積之水氣質量 $\text{kg/m}^2$）。其基本積分定義式為：

   $$W_p = \frac{1}{\rho_w g} \int_{p_2}^{p_1} q \, dp = \frac{1}{\rho_w} \int_{z_1}^{z_2} \rho_v \, dz$$

   其中 $\rho_w$ 為液態水密度（$1000\text{ kg/m}^3$）、$g$ 為重力加速度（$9.81\text{ m/s}^2$）、$q$ 為比濕（Specific Humidity）、$p$ 為大氣壓力。在未特別指定相對濕度時，水文學計算標準預設為飽和狀態（$q \approx q_s$）。

2. 氣溫隨高度遞減規律：
   若地表溫度為 $T_0$，氣溫遞減率為 $\alpha$（$\text{K/m}$ 或 $^\circ\text{C/km}$），則高度 $z$ 處的絕對溫度為：

   $$T(z) = T_0 - \alpha z$$

3. 靜力平衡方程式與氣壓分佈推導：
   大氣滿足靜力平衡 $\frac{dp}{dz} = -\rho_a g$ 與乾空氣理想氣體方程式 $p = \rho_a R_a T$，聯立可得：

   $$\frac{dp}{dz} = -\frac{p g}{R_a T} \implies \frac{dp}{p} = -\frac{g}{R_a (T_0 - \alpha z)} \, dz = \frac{g}{\alpha R_a} \frac{dT}{T}$$

   積分後可得氣壓隨高度（或溫度）變化的解析關係式：

   $$p(z) = p_0 \left( \frac{T(z)}{T_0} \right)^{\frac{g}{\alpha R_a}} = p_0 \left( 1 - \frac{\alpha z}{T_0} \right)^{\frac{g}{\alpha R_a}}$$

4. 飽和水氣壓（$e_s$）與飽和比濕（$q_s$）：

   • 飽和水氣壓採用水文學常用的 Tetens 經驗公式（$T$ 單位為 $^\circ\text{C}$，求得 $e_s$ 單位為 $\text{kPa}$）： $$e_s(T) = 0.611 \exp\left( \frac{17.27 T}{T + 237.3} \right)$$
   • 飽和比濕公式（$\varepsilon = \frac{R_a}{R_v} \approx 0.622$）： $$q \approx 0.622 \frac{e_s}{p}$$

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解題方法

題目欲求解離地表 $2\text{ km}$ 至 $8\text{ km}$ 範圍內的大氣可降水量。因大氣水氣壓隨高度呈高度非線性變化，水文學標準解法係將大氣柱切割為數個分層（此處取 $\Delta z = 2\text{ km}$，分為 $2\sim 4\text{ km}$、$4\sim 6\text{ km}$、$6\sim 8\text{ km}$ 共 3 層），計算各節點之氣溫、氣壓、飽和水氣壓與比濕，再以梯形數值積分求和：

$$W_p = \sum_{i=1}^{n} \Delta W_{p,i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\overline{q}_i \Delta p_i}{\rho_w g}$$

步驟 1：已知條件與常數設定

• 地表氣壓：$p_0 = 100\text{ kPa} = 100{,}000\text{ Pa}$
• 地表氣溫：$T_0 = 15^\circ\text{C} = 288.15\text{ K}$
• 氣溫遞減率：$\alpha = 6.8^\circ\text{C/km} = 0.0068\text{ K/m}$
• 乾空氣氣體常數：$R_a = 287\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$
• 重力加速度：$g = 9.81\text{ m/s}^2$
• 水密度：$\rho_w = 1000\text{ kg/m}^3$

計算氣壓指數項：

$$\beta = \frac{g}{\alpha R_a} = \frac{9.81}{0.0068 \times 287} = \frac{9.81}{1.9516} \approx 5.0266$$

步驟 2：計算各高度節點（$z = 2, 4, 6, 8\text{ km}$）之大氣狀態參數

1. 高度 $z_1 = 2\text{ km}$：

   • 氣溫：$T_1 = 15.0 - 6.8 \times 2 = 1.4^\circ\text{C} = 274.55\text{ K}$
   • 氣壓：$p_1 = 100 \times \left( \frac{274.55}{288.15} \right)^{5.0266} = 100 \times (0.952802)^{5.0266} \approx 78.44\text{ kPa}$
   • 飽和水氣壓： $$e_{s,1} = 0.611 \exp\left( \frac{17.27 \times 1.4}{1.4 + 237.3} \right) = 0.611 \exp(0.1013) \approx 0.676\text{ kPa}$$
   • 飽和比濕： $$q_1 = 0.622 \times \frac{0.676}{78.44} \approx 0.00536\text{ kg/kg} = 5.36\text{ g/kg}$$

2. 高度 $z_2 = 4\text{ km}$：

   • 氣溫：$T_2 = 15.0 - 6.8 \times 4 = -12.2^\circ\text{C} = 260.95\text{ K}$
   • 氣壓：$p_2 = 100 \times \left( \frac{260.95}{288.15} \right)^{5.0266} = 100 \times (0.905605)^{5.0266} \approx 60.33\text{ kPa}$
   • 飽和水氣壓： $$e_{s,2} = 0.611 \exp\left( \frac{17.27 \times (-12.2)}{-12.2 + 237.3} \right) = 0.611 \exp(-0.9360) \approx 0.240\text{ kPa}$$
   • 飽和比濕： $$q_2 = 0.622 \times \frac{0.240}{60.33} \approx 0.00247\text{ kg/kg} = 2.47\text{ g/kg}$$

3. 高度 $z_3 = 6\text{ km}$：

   • 氣溫：$T_3 = 15.0 - 6.8 \times 6 = -25.8^\circ\text{C} = 247.35\text{ K}$

核心觀念

本題考查：

1. SCS 三角形單位歷線的尖峰時間、尖峰流量與基底時間。
2. 單位歷線的體積守恆。
3. S 歷線法進行不同有效降雨延時之單位歷線轉換。

以下採用「$1$ cm 有效降雨」作為單位歷線定義。

SCS 三角形單位歷線常用公式為

$$T_p=\frac{\Delta t}{2}+0.6T_c$$ $$Q_p=\frac{0.208A}{T_p}$$ $$T_b=2.67T_p$$

其中：

• $\Delta t$：有效降雨延時，單位為 hr；
• $T_c$：集流時間，單位為 hr；
• $A$：集水區面積，單位為 km²；
• $Q_p$：尖峰流量，單位為 m³/s；
• $T_p$：尖峰時間，單位為 hr；
• $T_b$：基底時間，單位為 hr。

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（1）建立 $\Delta t=10$ 分鐘之 SCS 三角形單位歷線

時間間距換算為

$$\Delta t=10\text{ min}=\frac{1}{6}\text{ hr}=0.1667\text{ hr}$$

已知

$$A=4\text{ km}^2,\qquad T_c=2\text{ hr}$$

1. 尖峰時間

$$T_p=\frac{0.1667}{2}+0.6(2)$$ $$T_p=0.0833+1.2=1.2833\text{ hr}$$

因此尖峰約發生於

$$1.2833\text{ hr}=77\text{ min}$$

2. 尖峰流量

$$Q_p=\frac{0.208(4)}{1.2833}$$ $$\boxed{Q_p=0.648\text{ m}^3/\text{s}}$$

3. 基底時間

$$T_b=2.67(1.2833)$$ $$\boxed{T_b=3.427\text{ hr}}$$

約為

$$3.427(60)=205.6\text{ min}$$

4. 三角形單位歷線方程式

上升段：

$$Q(t)=Q_p\frac{t}{T_p} =\frac{0.648}{1.2833}t$$ $$\boxed{Q(t)=0.505t,\qquad 0\leq t\leq1.2833}$$

下降段：

$$Q(t)=Q_p\frac{T_b-t}{T_b-T_p}$$ $$\boxed{ Q(t)=0.648\frac{3.427-t}{3.427-1.2833}, \qquad 1.2833\leq t\leq3.427 }$$

其餘時間之流量為零。

5. 單位歷線 ordinates

以每 $10$ 分鐘計算，並於 $77$ 分鐘處取尖峰值：

時間（min）	流量（m³/s）	時間（min）	流量（m³/s）
0	0.000	110	0.548
10	0.084	120	0.497
20	0.168	130	0.445
30	0.253	140	0.394
40	0.337	150	0.342
50	0.421	160	0.291
60	0.505	170	0.240
70	0.590	180	0.188
77	0.648	190	0.137
80	0.632	200	0.086
90	0.581	206	0.000
100	0.548

由三角形面積驗算單位體積：

$$V=\frac{1}{2}Q_pT_b(3600)$$ $$V=\frac{1}{2}(0.648)(3.427)(3600) \approx40000\text{ m}^3$$

而 $4\text{ km}^2$ 集水區承受 $1$ cm 有效降雨之體積為

核心觀念

本題考查 Green-Ampt 入滲模式。其核心假設是：

• 土壤上方形成一個清楚的濕潤鋒面。
• 濕潤鋒面以上土壤已達飽和。
• 入滲水流主要由飽和水力傳導與濕峰毛隙吸力共同控制。
• 累積入滲量為 $F$ 時，入滲速度為

$$f=K_{sat}\left(1+\frac{\psi_f\Delta\theta}{F}\right)$$

其中

• $K_{sat}$：飽和水力傳導係數；
• $\psi_f$：濕峰土壤毛隙壓力水頭；
• $\Delta\theta=\theta_s-\theta_i$：濕潤鋒面通過前後的有效含水量差；
• $F$：累積入滲量。

令

$$S_0=\psi_f\Delta\theta$$

則 Green-Ampt 入滲公式可簡寫為

$$f=K_{sat}\left(1+\frac{S_0}{F}\right)$$

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（1）積水發生時間與等效時間

1. 積水發生條件

定量降雨強度以 $i$ 表示。未積水時，降雨全部入滲，因此

$$f=i$$

積水開始的瞬間，降雨強度恰好等於入滲能力：

$$i=K_{sat}\left(1+\frac{S_0}{F_p}\right)$$

整理得積水開始時的累積入滲量

$$F_p=\frac{K_{sat}S_0}{i-K_{sat}}$$

其中

$$S_0=\psi_f\Delta\theta =\psi_f(\theta_s-\theta_i)$$

若降雨開始前土壤尚未有累積入滲量，則積水時間為

$$t_p=\frac{F_p}{i}$$

因此

$$\boxed{ t_p= \frac{K_{sat}\psi_f\Delta\theta} {i(i-K_{sat})} }$$

若降雨開始前已有累積入滲量 $F_a$，則

$$t_p=\frac{F_p-F_a}{i}$$

即

$$\boxed{ t_p= \frac{\dfrac{K_{sat}S_0}{i-K_{sat}}-F_a}{i} }$$

題目所列式子的符號有排版或定義混用問題：$\theta_e$、$\theta_a$ 是含水量或有效含水量相關變數，不能直接與長度及流量相減。正確物理量應為有效含水量差

$$\boxed{\Delta\theta=\theta_s-\theta_i}$$

若題目以有效飽和度 $s_e$ 與有效孔隙率 $\theta$ 表示，則

$$\boxed{\Delta\theta=s_e\theta}$$

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2. 等效時間

積水後，Green-Ampt 方程式為

$$\frac{dF}{dt} =K_{sat}\left(1+\frac{S_0}{F}\right)$$

積水開始時的入滲速度為 $F_a$，以等效時間 $t_e$ 表示相同的 Green-Ampt 入滲狀態，則

$$F_a=K_{sat}+\frac{S_0}{t_e}$$

整理得

$$F_at_e=K_{sat}t_e+S_0$$

因此

$$\boxed{ t_e=\frac{S_0}{F_a-K_{sat}} }$$

也可寫成題目所列的形式：

$$t_e(F_a-K_{sat})=S_0$$ $$\boxed{ t_e=\frac{S_0-K_{sat}t_e}{F_a-K_{sat}} }$$

其中 $S_0$ 應代表吸力項與有效含水量差的乘積：

$$\boxed{ S_0=\psi_f\Delta\theta }$$

不可單獨以 $\phi_0$ 或 $\psi_0$ 取代，除非題目已明確定義該符號代表 $\psi_f\Delta\theta$。

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（2）$F=5$ cm 時的時間與入滲速度

1. 已知條件

降雨強度：

$$i=3\ \text{cm/hr}$$

降雨時間為 $3$ 小時，故總降雨量為

$$P=3\times3=9\ \text{cm}$$

土壤參數：

$$s_e=0.35$$ $$\Delta\theta=s_e\theta=0.35(0.486)=0.1701$$ $$\psi_f=16.8\ \text{cm}$$ $$K_{sat}=0.62\ \text{cm/hr}$$

本題考驗 SCS (Soil Conservation Service) 曲線法的應用，用於計算降雨事件中的地表逕流。SCS 曲線法是基於集水區的土地利用、土壤類型、前期濕潤狀況等因素，通過 CN 值來估算降雨損失和直接逕流。

核心觀念：
SCS 曲線法中的 CN 值（Curve Number）是衡量集水區逕流潛力的指標。CN 值越高，表示集水區的逕流潛力越大。
總降雨量 $P$ 被分為兩部分：

1. 降雨損失 ($L$)： 包括蒸發、滲透、截留等，在降雨過程中不斷變化。
2. 直接逕流 ($Q$)： 降雨扣除損失後，在地表形成的逕流。

SCS 曲線法的主要公式為：
$Q = \frac{(P-L)^2}{P-L+S}$ (當 $P > L$)
$Q = 0$ (當 $P \le L$)

其中：

• $P$: 累積降雨量 (mm)
• $Q$: 直接逕流量 (mm)
• $L$: 累積損失量 (mm)
• $S$: 集水區的最大潛在滯留量 (mm)，與 CN 值有關，$S = \frac{1000}{CN} - 10$ (單位為 inches, 需轉換為 mm)
  $S_{mm} = (\frac{1000}{CN} - 10) \times 25.4$

步驟一：計算都市化前 (Before urbanization) 的 CN 值和最大潛在滯留量 $S$

1. 計算加權平均 CN 值 (CN_before)：

   • 土壤 A, 土地利用 Forest: CN = 30, Coverage = 60%
   • 土壤 B, 土地利用 Forest: CN = 55, Coverage = 40%
     CN_before = $(30 \times 0.60) + (55 \times 0.40) = 18 + 22 = 40$

2. 計算最大潛在滯留量 $S_{before}$ (mm)：
   $S_{before} = (\frac{1000}{CN_{before}} - 10) \times 25.4$
   $S_{before} = (\frac{1000}{40} - 10) \times 25.4 = (25 - 10) \times 25.4 = 15 \times 25.4 = 381$ mm

步驟二：計算都市化後 (After urbanization) 的 CN 值和最大潛在滯留量 $S$

1. 計算加權平均 CN 值 (CN_after)：

   • Combo: CN = 85, Coverage = 50%
   • Road: CN = 95, Coverage = 15%
   • Meadow: CN = 50, Coverage = 15%
   • Forest: CN = 40, Coverage = 20%
     CN_after = $(85 \times 0.50) + (95 \times 0.15) + (50 \times 0.15) + (40 \times 0.20)$
     CN_after = $42.5 + 14.25 + 7.5 + 8 = 72.25$

2. 計算最大潛在滯留量 $S_{after}$ (mm)：
   $S_{after} = (\frac{1000}{CN_{after}} - 10) \times 25.4$
   $S_{after} = (\frac{1000}{72.25} - 10) \times 25.4 = (13.84 - 10) \times 25.4 = 3.84 \times 25.4 = 97.536$ mm

步驟三：計算都市化前後的超滲降雨差異量 $\Delta P_e$

超滲降雨 ($P_e$) 是指扣除所有損失後，能夠產生逕流的降雨量，即 $P_e = P - L$。
SCS 曲線法假設損失 $L$ 和降雨 $P$ 之間的關係為 $L = 0.2 S$ 當 $P=0.2S$ 時。
當 $P > 0.2S$ 時，$L = 0.2S + 0.8(P-0.2S) = 0.2S + 0.8P - 0.16S = 0.04S + 0.8P$。
更簡潔的公式是：
當 $P \le 0.2S$ 時，$L=0$ (或 $Q=0$)。
當 $P > 0.2S$ 時，$L = \frac{P - 0.2S}{0.8}$ (此公式不對)

正確的損失計算：
當 $P \le 0.2S$ 時，$L=0$。
當 $P > 0.2S$ 時，$L = P - Q = P - \frac{(P-0.2S)^2}{P+0.8S}$ (此公式也不對)

正確的損失計算公式：
SCS 建議：當 $P \le 0.2S$ 時，$L=0$。
當 $P > 0.2S$ 時，$L = P - \frac{(P - 0.2S)^2}{P + 0.8S}$ (此公式不對)

標準公式：
假設 $P$ 是總降雨量， $S$ 是最大潛在滯留量。
若 $P \le 0.2S$，則 $Q=0$，$L=P$。

核心觀念

本題考查：

1. 以樣本一階、二階動差估計常態分佈參數。
2. 常態分佈函數的建立。
3. 以卡方適合度檢定判斷降雨資料是否可視為常態分佈。
4. 因平均數與標準差由樣本估計，卡方檢定自由度須扣除估計參數個數。

設年降雨量為隨機變數 $P$，假設：

$$P\sim N(\mu,\sigma^2)$$

其累積分佈函數為：

$$F_P(p)=\Phi\left(\frac{p-\mu}{\sigma}\right)$$

其中 $\Phi(\cdot)$ 為標準常態分佈的累積分佈函數。

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（1）以動差法建立常態分佈函數

共有 $n=16$ 筆資料。

1. 計算平均數

$$\sum_{i=1}^{16}P_i=4525\text{ mm}$$

因此樣本一階動差為：

$$\hat{\mu} = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}P_i = \frac{4525}{16} = 282.8125\text{ mm}$$

故估計平均年降雨量為：

$$\boxed{\hat{\mu}=282.81\text{ mm}}$$

2. 計算二階原始動差

各年降雨量平方和為：

$$\sum_{i=1}^{16}P_i^2=1,450,125$$

所以二階原始動差為：

$$m_2' = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}P_i^2 = \frac{1,450,125}{16} = 90,632.8125$$

動差法以母體二階中心動差估計變異數：

$$\hat{\sigma}^2 = m_2'-\left(m_1'\right)^2$$

代入：

$$\hat{\sigma}^2 = 90,632.8125-(282.8125)^2 = 10,649.9023$$

因此：

$$\hat{\sigma} = \sqrt{10,649.9023} = 103.20\text{ mm}$$

故估計標準差為：

$$\boxed{\hat{\sigma}=103.20\text{ mm}}$$

3. 建立常態分佈函數

本區年降雨量的常態分佈可表示為：

$$\boxed{P\sim N(282.81,\;10,649.90)}$$

其中第二個參數為變異數。

其機率密度函數為：

$$f_P(p) = \frac{1}{103.20\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(p-282.81)^2}{2(103.20)^2} \right]$$

累積分佈函數為：

$$\boxed{ F_P(p) = \Phi\left(\frac{p-282.81}{103.20}\right) }$$

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（2）卡方適合度檢定

1. 假設

虛無假設與對立假設分別為：

$$H_0:\text{年降雨量符合常態分佈}$$ $$H_1:\text{年降雨量不符合常態分佈}$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

2. 分組方式

為使各組理論期望次數相同，利用標準常態分佈的四分位點分成四組：

$$z_{0.25}=-0.6745,\qquad z_{0.50}=0,\qquad z_{0.75}=0.6745$$

換算成降雨量分界值：

$$p_1 = \hat{\mu}-0.6745\hat{\sigma} = 282.81-0.6745(103.20) \approx 213.2$$ $$p_2=\hat{\mu}=282.8$$