114 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《水文學（A）》

核心觀念

本題考查流量演算的分類、Muskingum 法的參數意義，以及如何由實測入流量與出流量反推參數。

河道流量演算的基本連續方程為

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

其中 $S$ 為河段蓄水量，$I$ 為入流量，$Q$ 為出流量。

Muskingum 法以線性蓄水量關係表示河段蓄水：

$$S=K\left[XI+(1-X)Q\right]$$

亦可寫成

$$S=KXI+K(1-X)Q$$

其中：

• $K$：蓄水時間常數，單位通常為時間；
• $X$：入流量與出流量對蓄水量的權重因子，通常介於 $0$ 與 $0.5$ 之間。

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一、流量演算方法的差異

1. 水文法（hydrologic routing）

水文法以河段的整體蓄水量與入、出流量關係為基礎，將河道視為一個集總系統，不直接求解河道內各位置的水面線與流速分布。

其主要特徵為：

• 以連續方程為核心；
• 以經驗或半經驗蓄水量關係式表示河段反應；
• 所需資料較少，計算簡單；
• 適合工程估算、洪水預報與長河段演算；
• 無法詳細描述回水、急變流、局部水面變化等水理現象。

Muskingum 法即屬於水文法。

2. 水理法（hydraulic routing）

水理法直接以質量守恆與動量守恆方程描述河道內的流動，通常使用聖維南方程組：

$$\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} =q_l$$ $$\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{Q^2}{A}\right) + gA\frac{\partial y}{\partial x} = gA(S_0-S_f)$$

其中 $A$ 為流通斷面積，$y$ 為水深，$S_0$ 為河床坡度，$S_f$ 為摩阻坡度。

其主要特徵為：

• 同時考慮時間與空間變化；
• 可描述水深、流速、水面線及回水效應；
• 需要河道斷面、坡度、粗糙係數及邊界條件等詳細資料；
• 計算較複雜；
• 適合橋梁、堰壩、都市排水及回水影響等精細分析。

比較

項目	水文法	水理法
基礎	連續方程及蓄水量關係	連續方程及動量方程
空間變化	集總處理	明確考慮
所需資料	較少	較多
計算複雜度	較低	較高
代表方法	Muskingum 法	動力波、擴散波、完整聖維南方程

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二、Muskingum 法參數 $K$ 與 $X$ 的決定

1. $K$ 的意義與決定方式

$K$ 為蓄水時間常數，代表洪水波通過河段的特性時間，通常與洪峰傳遞時間或河段集流時間同一量級。

實務上可依下列方式決定：

1. 由實測入、出流量資料進行參數率定；
2. 由入流量與出流量洪峰的時間差估計；
3. 以河段長度除以洪水波平均傳遞速度估計；
4. 以不同 $K$、$X$ 組合演算後，選擇洪峰誤差、均方根誤差或體積誤差最小者。

2. $X$ 的意義與決定方式

$X$ 表示入流量與出流量對河段蓄水量的相對影響：

$$S=K\left[XI+(1-X)Q\right]$$

• $X=0$ 時，蓄水量主要由出流量控制；
• $X=0.5$ 時，入流量與出流量權重相等；
• 天然河道通常取 $0\leq X\leq 0.5$。

核心觀念

本題考查 Green–Ampt 入滲模式。其基本假設為：

• 土壤中存在明顯的濕潤鋒面。
• 入滲率由飽和水力傳導度 $K$ 與濕潤鋒面吸力共同決定。
• 未積水時，實際入滲率等於降雨強度。
• 開始積水後，實際入滲率等於土壤入滲能力。

有效含水量差為

$$\Delta\theta=\theta_e(1-S_e)$$

代入題目資料：

$$\Delta\theta=0.486(1-0.3)=0.3402$$

Green–Ampt 式中的有效吸力項為

$$A=\psi_f\Delta\theta$$

因此

$$A=16.7(0.3402)=5.681\ \text{cm}$$

以下以 $A=5.681\ \text{cm}$ 進行計算。

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$t_p$ 與 $t_0$ 的意義

1. 積水時間 $t_p$

$t_p$ 為「開始積水時間」或「開始產生地表積水的時間」。

在 $t<t_p$ 時，降雨強度尚未超過土壤入滲能力，因此

$$f=i$$

當降雨強度達到或超過入滲能力時，開始積水，此時

$$f<K\left(1+\frac{A}{F}\right)$$

且實際入滲率受土壤入滲能力控制。

若降雨強度為固定值 $i$，開始積水時的累積入滲量 $F_p$ 滿足

$$i=K\left(1+\frac{A}{F_p}\right)$$

解得

$$F_p=\frac{KA}{i-K}$$

在積水前 $F_p=it_p$，因此

$$t_p=\frac{F_p}{i}$$

2. 等效時間 $t_0$

$t_0$ 是為了使積水後的 Green–Ampt 方程式能夠連續銜接積水前過程所引入的「等效時間起點」。

它不一定是實際降雨開始的時間，而是將積水前已發生的入滲量折算成等效時間後，積水曲線向時間軸外推所得的截距。

題目所給關係式為

$$t_0=t-\frac{F}{i}-\frac{A}{i}\ln\left(1+\frac{F}{A}\right)$$

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Green–Ampt 方程式證明

證明入滲率公式

$$f(t)=K\left(1+\frac{A}{F(t)}\right)$$

根據 Darcy 定律，濕潤鋒面處的水力梯度可表示為

$$\frac{H}{L}=1+\frac{\psi_f}{L}$$

其中 $L$ 為濕潤鋒面深度。由於累積入滲量為

$$F=L\Delta\theta$$

所以

$$L=\frac{F}{\Delta\theta}$$

代入水力梯度：

$$\frac{H}{L} = 1+\frac{\psi_f\Delta\theta}{F} = 1+\frac{A}{F}$$

因此入滲率為

$$f=K\frac{H}{L}$$

故得

$$\boxed{f(t)=K\left(1+\frac{A}{F(t)}\right)}$$

又因為

$$\frac{dF}{dt}=f$$

可得積水後的微分方程式：

$$\frac{dF}{dt}=K\left(1+\frac{A}{F}\right)$$

整理為

$$dt=\frac{F}{K(F+A)}\,dF$$

積分後：

$$t-t_0 = \frac{1}{K} \left[ F-A\ln\left(1+\frac{F}{A}\right) \right]$$

整理得 Green–Ampt 累積入滲方程式：

$$\boxed{ F=K(t-t_0)+A\ln\left(1+\frac{F}{A}\right) }$$

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解題方法與降雨事件判斷

降雨強度如下：

時間	降雨強度
$0$–$1$ h	$2.0$ cm/h
$1$–$2$ h	$4.0$ cm/h
$2$–$3$ h	$2.0$ cm/h

第一小時：$0$–$1$ h

開始時累積入滲量 $F=0$，土壤入滲能力極大，因此實際入滲率等於降雨強度：

$$f=2.0\ \text{cm/h}$$

一小時後：

$$F(1)=2.0(1)=2.0\ \text{cm}$$

檢查此時土壤入滲能力：

$$f_c(2)=0.65\left(1+\frac{5.681}{2}\right)$$ $$f_c(2)=2.496\ \text{cm/h}$$

由於第一小時降雨強度為 $2.0$ cm/h，小於入滲能力 $2.496$ cm/h，因此第一小時尚未積水。

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第二小時：$1$–$2$ h

在 $t=1$ h 時，降雨強度突然增加至 $4.0$ cm/h，而此時土壤入滲能力只有

$$f_c=2.496\ \text{cm/h}<4.0\ \text{cm/h}$$

所以在 $t=1$ h 瞬間開始積水。

若以新的降雨強度 $i=4.0$ cm/h 計算其臨界累積入滲量：

核心觀念

本題結合四個水文分析觀念：

1. 由實測流量歷線估計基流量，扣除後得到直接逕流歷線。
2. 由降雨量扣除損失，得到超滲降雨歷線。
3. 依據直接逕流體積與集水區面積，進行水量平衡。
4. 以單位歷線的線性疊加原理，推求 $\Delta t=0.5$ 小時與 $1.5$ 小時的單位歷線。

其中：

$$1\ \mathrm{cm}\ \text{降雨量在本集水區形成的水量} =0.01(18\times 10^6) =180,000\ \mathrm{m^3}$$

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(1) 基流量分離方法

常見方法如下，任舉二種即可。

方法一：直線分離法

找出暴雨開始造成流量上升的時刻 $A$，再找出直接逕流結束、流量恢復至退水段基流狀態的時刻 $B$，以直線連接兩點：

$$Q_b(t)=\text{由 }A\text{ 至 }B\text{ 的直線}$$

實測流量扣除此基流量，即得直接逕流：

$$Q_d(t)=Q(t)-Q_b(t)$$

方法二：固定基流量法

假定暴雨期間基流量維持暴雨前的值：

$$Q_b(t)=Q_{\text{before storm}}$$

因此：

$$Q_d(t)=Q(t)-Q_{\text{before storm}}$$

本題暴雨前流量約為 $8\ \mathrm{m^3/s}$，故採固定基流量法時，暴雨期間可取：

$$Q_b=8\ \mathrm{m^3/s}$$

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(2) 單位歷線法的五種假設

1. 有效降雨在集水區內均勻分布

同一時段內，整個集水區所接受的有效降雨深度相同。

2. 有效降雨在指定延時內均勻發生

例如推求 $1.5$ 小時單位歷線時，假定有效降雨均勻分布在該 $1.5$ 小時內。

3. 線性比例性

若有效降雨深度由 $1\ \mathrm{cm}$ 增為 $P_e$，所產生的直接逕流歷線各流量 ordinates 亦按 $P_e$ 倍增加：

$$Q_d(P_e)=P_eU$$

4. 疊加原理成立

不同時段有效降雨所產生的逕流歷線，可以依時間平移後相加：

$$Q_d(t)=\sum P_{e,i}U(t-i\Delta t)$$

5. 集水區具有時間不變性

在相同降雨延時下，單位有效降雨所產生的單位歷線不因發生時間不同而改變。

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(3) 超滲降雨與直接逕流歷線

A. 基流分離

採用固定基流量法，取：

$$Q_b=8\ \mathrm{m^3/s}$$

但暴雨前 $t=0$ 與 $0.5$ 小時的流量分別為 $0$ 與 $7\ \mathrm{m^3/s}$，因此直接逕流取為：

時間（hr）	實測流量 $Q$	基流量 $Q_b$	直接逕流 $Q_d$
0.0	0	0	0
0.5	7	7	0
1.0	8	8	0
1.5	23	8	15
2.0	66	8	58
2.5	161	8	153
3.0	270	8	262
3.5	312	8	304
4.0	233	8	225
4.5	122	8	114
5.0	64	8	56
5.5	51	8	43
6.0	35	8	27
6.5	20	8	12
7.0	12	8	4
7.5	10	8	2
8.0	8	8	0

因此直接逕流歷線為：

$$Q_d=0,\ 0,\ 0,\ 15,\ 58,\ 153,\ 262,\ 304,\ 225,\ 114,\ 56,\ 43,\ 27,\ 12,\ 4,\ 2,\ 0$$

B. 直接逕流水量

以梯形法計算：

$$V_d =\Delta t\left[ \frac{Q_{d,0}+Q_{d,n}}{2} +\sum_{i=1}^{n-1}Q_{d,i} \right]$$

其中 $\Delta t=0.5$ 小時：

$$V_d =0.5(15+58+153+262+304+225+114+56+43+27+12+4+2) \times3600$$ $$V_d=2,295,000\ \mathrm{m^3}$$

換算成逕流深：

$$P_e =\frac{2,295,000}{18\times10^6} =0.1275\ \mathrm{m} =12.75\ \mathrm{cm}$$

C. 超滲降雨歷線

題目未給定損失率，因此以逕流係數法將總降雨量按比例換算成總超滲降雨量。

總降雨量：

$$P=0.4+0.7+3.4+5.6+5.3+0.5+0.2 =16.1\ \mathrm{cm}$$

逕流係數：

$$C=\frac{P_e}{P} =\frac{12.75}{16.1} =0.7919$$

各時段超滲降雨量：

$$P_{e,i}=CP_i$$

時間（hr）	降雨量（cm）	超滲降雨量（cm）
0.0	0.0	0.000
0.5	0.0	0.000