111 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《材料力學（A）》

核心觀念

本題結合梁的靜力平衡與柱的 Euler 挫屈。側向支承限制柱在該處的側移，因此柱的未支撐長度分成 $0.6L$ 與 $0.4L$；較長的 $0.6L$ 段先達到臨界挫屈載重。方形截面的慣性矩為 $I=b^4/12$，兩端鉸支承柱的臨界載重為

$$P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{\ell^2}$$

其中 $\ell$ 為控制挫屈段的長度。

解題方法

先求柱承受的軸向壓力，再用柱的臨界載重限制梁端載重 $Q$。

1. 由圖可知 $AC=d$、$CB=2d$，所以 $AB=3d$。以 $A$ 點取力矩，梁在 $C$ 點受到的向上反力為 $R_C$：

$$R_Cd-Q(3d)=0 \qquad\Longrightarrow\qquad R_C=3Q$$

因此柱承受的軸向壓力為 $3Q$。

2. 側向支承距底部 $D$ 為 $0.6L$，另一段長度為 $0.4L$。較長段控制挫屈，故

$$\ell_{\max}=0.6L=0.6(0.75)=0.45\ \text{m}$$

方形截面的慣性矩為

核心觀念

本題考固定端加簡支端的撐桿懸臂梁。支承反力包含冗餘反力，需用梁的撓曲微分方程搭配支承邊界條件與相容條件求解。

圖中分布載重向下，強度由 $A$ 點的 $0$ 按拋物線增加至 $B$ 點的 $q_0$，因此

$$q(x)=q_0\frac{x^2}{L^2},\qquad 0\le x\le L$$

取向上為撓度正方向，載重在微分方程中為負，故

$$EI\,y''''(x)=-q_0\frac{x^2}{L^2}$$

解題方法

在 $A$ 點固定，所以 $y(0)=0$、$y'(0)=0$；在 $B$ 點有簡支支承，所以 $y(L)=0$，且端點彎矩為零，即 $EIy''(L)=0$。

將微分方程積分四次：

$$EIy'''=-\frac{q_0x^3}{3L^2}+C_1$$ $$EIy''=-\frac{q_0x^4}{12L^2}+C_1x+C_2$$ $$EIy'=-\frac{q_0x^5}{60L^2}+\frac{C_1x^2}{2}+C_2x+C_3$$ $$EIy=-\frac{q_0x^6}{360L^2}+\frac{C_1x^3}{6}+\frac{C_2x^2}{2}+C_3x+C_4$$

由 $A$ 點固定條件得 $C_3=C_4=0$。再代入 $B$ 點條件：

$$-\frac{q_0L^4}{12}+C_1L+C_2=0$$ $$-\frac{q_0L^4}{360}+\frac{C_1L^3}{6}+\frac{C_2L^2}{2}=0$$

解得

$$C_1=\frac{7q_0L}{60},\qquad C_2=-\frac{q_0L^2}{30}$$

因此撓度曲線為

$$y(x)=\frac{q_0}{360EI L^2} \left(-x^6+7L^3x^3-6L^4x^2\right)$$

也可寫成

核心觀念

本題結合了靜力平衡與歐拉挫屈理論（Euler's Buckling Theory），主要涉及以下觀念：

1. 剛體靜力平衡：分析水平梁 $AB$ 的力矩平衡，建立外加負載 $Q$ 與支撐立柱軸向受壓載重 $P$ 之間的靜力關係。
2. 歐拉臨界挫屈載重（Euler Critical Load）：
   $P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}$
   其中 $E$ 為彈性模數，$I$ 為斷面二次力矩（慣性矩），$L_e$ 為有效長度。
3. 側向支撐（Lateral Restraint）對有效長度的影響：
   立柱兩端為鉸支承（pinned ends），中間於距基座 $D$ 處 $0.6L$ 設有平面內側向約束，阻止該點之側向位移。立柱被分割為上下兩段（長度分別為 $0.6L$ 與 $0.4L$）。由於挫屈受長度較長之區段控制，故臨界挫屈長度由較長的下半段決定，即 $L_e = 0.6L$。

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解題方法

1. 水平梁 $AB$ 之靜力平衡分析

設立柱 $CD$ 作用於梁 $C$ 點向上之支承反力為 $P_C$（即立柱承受之軸向壓力 $P = P_C$）。
對端點 $A$ 取力矩平衡：
$\sum M_A = 0$
$P_C \cdot (AC) - Q \cdot (AC + CB) = 0$

已知幾何尺寸 $AC = d$，$CB = 2d$，則全長 $AB = 3d$：
$P_C \cdot d - Q \cdot (3d) = 0 \implies P_C = 3Q$

因此，外力 $Q$ 與立柱軸壓力 $P$ 的關係為：
$Q = \frac{P}{3}$

欲使立柱不發生挫屈，立柱的軸向壓力不得超過其臨界挫屈載重 $P_{cr}$，即：
$Q_{\max} = \frac{P_{cr}}{3}$

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2. 立柱幾何與材料性質計算

• 截面二次力矩 $I$：
  立柱為邊長 $b = 38\text{ mm} = 0.038\text{ m}$ 之正方形斷面：
  $I = \frac{b^4}{12} = \frac{(0.038\text{ m})^4}{12} \approx 1.7376 \times 10^{-7}\text{ m}^4$

核心觀念

本題屬於**靜不定梁（Statically Indeterminate Beam）的撓度與反力求解，題目指定使用梁撓度的四階微分方程式（Fourth-order Differential Equation of the Deflection Curve）**求解。

1. 梁撓度四階微分方程式：
   依據歐拉－伯努利梁理論（Euler-Bernoulli Beam Theory），取向上為撓度 $v(x)$ 正向、載重向下為正 $q(x)$，其微分關係式為：
   $EI \frac{d^4 v(x)}{dx^4} = -q(x)$
   各階導數與內力之物理意義及符號約定：
   • 剪力（Shear force）：$V(x) = EI \frac{d^3 v(x)}{dx^3}$
   • 彎矩（Bending moment）：$M(x) = EI \frac{d^2 v(x)}{dx^2}$
   • 轉角／斜率（Slope）：$\theta(x) = \frac{dv(x)}{dx}$
   • 撓度（Deflection）：$v(x)$
2. 邊界條件（Boundary Conditions, BCs）：
   • 固定端 $A$（$x = 0$）：撓度為零 $v(0) = 0$，轉角為零 $v'(0) = 0$。
   • 滾支承端 $B$（$x = L$）：撓度為零 $v(L) = 0$，彎矩為零 $M(L) = EI v''(L) = 0$。
3. 支承反力與邊界內力之關係：
   • 端點 $A$（$x = 0$）：剪力等於垂直反力 $R_A = V(0) = EI v'''(0)$；固定端彎矩反力 $M_A = -M(0) = -EI v''(0)$（以逆時針方向為正，產生頂部受拉）。
   • 端點 $B$（$x = L$）：垂直反力 $R_B = -V(L) = -EI v'''(L)$。

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解題方法

步驟一：建立微分方程式並逐次積分

已知分布載重為拋物線載重：
$q(x) = q_0\left(\frac{x^2}{L^2}\right)$

代入四階微分方程式：
$EI \frac{d^4 v}{dx^4} = -q_0 \frac{x^2}{L^2}$

進行四次連續逐項積分：

1. 一階積分（剪力方程式）：
   $EI \frac{d^3 v}{dx^3} = V(x) = -\frac{q_0 x^3}{3L^2} + C_1$

2. 二階積分（彎矩方程式）：
   $EI \frac{d^2 v}{dx^2} = M(x) = -\frac{q_0 x^4}{12L^2} + C_1 x + C_2$

3. 三階積分（轉角方程式）：
   $EI \frac{dv}{dx} = EI \theta(x) = -\frac{q_0 x^5}{60L^2} + \frac{C_1 x^2}{2} + C_2 x + C_3$

4. 四階積分（撓度方程式）：
   $EI v(x) = -\frac{q_0 x^6}{360L^2} + \frac{C_1 x^3}{6} + \frac{C_2 x^2}{2} + C_3 x + C_4$

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步驟二：代入邊界條件求解積分常數

1. 固定端 $A$（$x = 0$）：

   • 撓度為零：$v(0) = 0 \implies C_4 = 0$
   • 斜率為零：$v'(0) = 0 \implies C_3 = 0$

2. 滾支承端 $B$（$x = L$）：

   • 彎矩為零 $M(L) = 0$：
     $-\frac{q_0 L^4}{12L^2} + C_1 L + C_2 = 0 \implies C_1 L + C_2 = \frac{q_0 L^2}{12} \quad \text{--- (式 1)}$

   • 撓度為零 $v(L) = 0$：
     $-\frac{q_0 L^6}{360L^2} + \frac{C_1 L^3}{6} + \frac{C_2 L^2}{2} = 0$
     同除以 $L^2$ 並乘以 $6$：
     $C_1 L + 3C_2 = \frac{q_0 L^2}{60} \quad \text{--- (式 2)}$

3. 解聯立方程式：
   由（式 2）減去（式 1）：
   $2C_2 = \frac{q_0 L^2}{60} - \frac{q_0 L^2}{12} = -\frac{4q_0 L^2}{60} = -\frac{q_0 L^2}{15}$
   $C_2 = -\frac{q_0 L^2}{30}$

   代回（式 1）：

核心觀念

本題屬於**組合載重（Combined Loadings）與平面應力轉換（Plane Stress Transformation）**之典型題型，主要考查以下觀念與公式：

1. 中空圓軸之扭轉剪應力公式：
   受扭矩 $T$ 作用時，圓軸外表面之剪應力最大：

   $$\tau = \frac{T c}{J}$$

   其中 $c = \frac{d_2}{2}$ 為外半徑，$J$ 為中空圓形截面之極慣性矩（Polar Moment of Inertia）：

   $$J = \frac{\pi}{32}\left(d_2^4 - d_1^4\right)$$

2. 軸向壓力產生之正應力：
   軸受均勻軸向壓力 $P$ 作用，橫截面上產生均勻壓應力：

   $$\sigma = \frac{P}{A}$$

   其中 $A$ 為橫截面積：

   $$A = \frac{\pi}{4}\left(d_2^2 - d_1^2\right)$$

3. 平面最大剪應力（In-plane Maximum Shear Stress）：
   軸外表面應力單元處於平面應力狀態，其應力分量為 $\sigma_x = -\sigma$、$\sigma_y = 0$、$\tau_{xy} = \tau$。由莫爾圓（Mohr's Circle）幾何關係可知，平面內最大剪應力為：

   $$\tau_{\max,\text{in-plane}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2}$$

   設計限制為 $\tau_{\max,\text{in-plane}} \le \tau_{\text{allow}}$。

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解題方法

步驟一：計算截面幾何性質

• 橫截面積 $A$：

  $$A = \frac{\pi}{4}\left(200^2 - 160^2\right) = \frac{\pi}{4}(40000 - 25600) = 3600\pi\text{ mm}^2 \approx 11309.73\text{ mm}^2$$

• 極慣性矩 $J$：

  $$J = \frac{\pi}{32}\left(200^4 - 160^4\right) = \frac{\pi}{32}\left(1.6 \times 10^9 - 6.5536 \times 10^8\right) = 2.952 \times 10^7\pi\text{ mm}^4 \approx 9.274 \times 10^7\text{ mm}^4$$

核心觀念

本題考查三軸應力狀態下的廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）以及等向性材料彈性常數之間的轉換關係：

1. 三維廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law for 3D Isotropic Materials）：
   在三維主應力或正應力作用下，各方向的正應變與正應力的關係式為：

   $$\varepsilon_x = \frac{1}{E}\left[\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)\right]$$ $$\varepsilon_y = \frac{1}{E}\left[\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)\right]$$ $$\varepsilon_z = \frac{1}{E}\left[\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)\right]$$

   其中 $E$ 為彈性模數（Young's Modulus），$\nu$ 為泊松比（Poisson's Ratio）。

2. 體積彈性模數（Bulk Modulus, $K$）：
   體積彈性模數定義為平均正應力（或靜水壓力）與體積應變（Dilatation, $e$）之比，與 $E$ 及 $\nu$ 的關係式為：

   $$K = \frac{E}{3(1 - 2\nu)}$$

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解題方法

步驟一：聯立應變方程式求解泊松比 $\nu$

根據題目給定的正應力：

• $\sigma_x = 36\text{ MPa}$
• $\sigma_y = -33\text{ MPa}$
• $\sigma_z = -21\text{ MPa}$

計算應變公式中的應力組合項：

$$\sigma_y + \sigma_z = (-33) + (-21) = -54\text{ MPa}$$ $$\sigma_x + \sigma_z = 36 + (-21) = 15\text{ MPa}$$

代入 $\varepsilon_x$ 與 $\varepsilon_y$ 的關係式：

$$E \varepsilon_x = \sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z) = 36 - \nu(-54) = 36 + 54\nu$$ $$E \varepsilon_y = \sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z) = -33 - \nu(15) = -33 - 15\nu$$

兩式相除以消去未知的彈性模數 $E$：

$$\frac{\varepsilon_x}{\varepsilon_y} = \frac{36 + 54\nu}{-33 - 15\nu}$$

將已知應變量 $\varepsilon_x = 713.8 \times 10^{-6}$、$\varepsilon_y = -502.3 \times 10^{-6}$ 代入：