113 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《材料力學（A）》

核心觀念

本題考查軸向受載桿件之內力與變形分析（軸力微分平衡方程式）。

1. 周圍摩擦阻力（Skin Friction）轉換為單位長度之分佈軸向載重：
   樁體周長為 $p = \pi D$，單位表面積之側摩擦力為 $f_s(z)$，則單位深度所承受之向上側摩擦阻力為 $q(z) = p \cdot f_s(z) = \pi D (f_0 + \eta z)$。
2. 軸向平衡微分方程式：
   取微小長度元素 $dz$，利用靜力平衡條件 $\sum F_z = 0$ 建立軸力 $P(z)$ 與側表面分佈阻力之關係式。
3. 軸向應變與變形量關係：
   依據虎克定律（Hooke's Law），微小變形量為 $d\delta = \frac{P(z)}{EA} dz$。積分即可求得整根基樁在各深度的變位分佈與總變形量。

---

解題方法

1. 座標系與邊界條件設定

• 設樁頂為原點 $z = 0$，向下為正軸方向（$z \in [0, L]$）。
• 樁身截面積 $A = \frac{\pi D^2}{4}$，樁周長 $p = \pi D$。
• 樁身在深度 $z$ 處，單位長度受向上的周面摩擦力（阻力）： $$q(z) = p \cdot f_s(z) = \pi D (f_0 + \eta z)$$
• 樁頂受到向下之軸向壓力 $Q$。此處以壓力為正（或依照材料力學常規以拉力為正）：
  若定義向下的軸向壓力為 $N(z)$（即內力以受壓為正）：
  • 邊界條件：在樁頂 $z = 0$ 處，軸壓 $N(0) = Q$。
  • 在樁端 $z = L$ 處，若假設為純摩擦樁（Floating pile），則樁底支承反力為 $0$；若有底端阻力，一般題目圖示若未額外給定端阻力常數，則令端部軸力為平衡後之剩餘值或純摩擦樁端 $N(L)$。依原題圖示，軸力隨摩擦力逐漸折減。

2. 軸力分佈推導（Axial Force Distribution）

在深度 $z$ 處截取一段自由體圖（Free Body Diagram, FBD），範圍由樁頂 $z = 0$ 至深度 $z$：

• 樁頂承受向下外力 $Q$。
• 深度 $z$ 截面上向上的內壓力為 $N(z)$。
• 樁周表面承受向上的累積摩擦阻力： $$F_{\text{friction}}(z) = \int_0^z q(\zeta) \, d\zeta = \int_0^z \pi D (f_0 + \eta \zeta) \, d\zeta$$

由鉛直方向靜力平衡 $\sum F_z = 0$（向下為正）：

$$Q - N(z) - \int_0^z \pi D (f_0 + \eta \zeta) \, d\zeta = 0$$

整理可得樁身軸向壓力分佈 $N(z)$：

$$N(z) = Q - \pi D \left( f_0 z + \frac{1}{2} \eta z^2 \right)$$

若採用材料力學一般正號約定（拉力為正，即 $P(z) = -N(z)$）：

$$P(z) = -Q + \pi D \left( f_0 z + \frac{1}{2} \eta z^2 \right)$$

3. 樁身變形推導（Pile Deformation）

微小區段 $dz$ 之軸向壓縮變形量為：

$$d\delta = \frac{N(z)}{EA} dz$$

其中截面積 $A = \frac{\pi D^2}{4}$，因此軸向剛度為：

$$EA = \frac{\pi D^2 E}{4}$$

1. 樁身總壓縮量 $\Delta_{\text{shortening}}$：
   整根樁的縮短總量即為對軸力積分： $$\Delta_{\text{shortening}} = \int_0^L \frac{N(z)}{EA} \, dz$$ 代入 $N(z)$：

核心觀念

本題考查固定端固定梁的：

• 四階梁微分方程
  $EI\frac{d^4v}{dx^4}=q$
• 固定端邊界條件：兩端位移與轉角皆為零。
• 彎矩與剪力關係。令 $x$ 自 A 端向右，撓度 $v$ 取向下為正，採用下列符號：
  $M(x)=-EI\frac{d^2v}{dx^2}$
  $V(x)=\frac{dM}{dx}$

其中 $M>0$ 表示正彎矩（下緣受拉、sagging），$M<0$ 表示負彎矩（上緣受拉、hogging）。

---

(i) 均佈載重 $q$ 下的固定端彎矩與剪力

1. 撓度函數

固定端梁的邊界條件為

$$v(0)=0,\qquad v'(0)=0$$ $$v(L)=0,\qquad v'(L)=0$$

由

$$EI v''''=q$$

積分四次得

$$v(x)=\frac{q}{24EI}x^4+C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$

代入四個邊界條件，可得

$$v(x)=\frac{q}{24EI}x^2(L-x)^2$$

2. 彎矩分布

由

$$M(x)=-EI v''(x)$$

先求二階導數：

$$v''(x)=\frac{q}{12EI}\left(L^2-6Lx+6x^2\right)$$

因此

$$M(x)=-\frac{qL^2}{12}+\frac{qL}{2}x-\frac{q}{2}x^2$$

在兩端：

$$M_A=M(0)=-\frac{qL^2}{12}$$ $$M_B=M(L)=-\frac{qL^2}{12}$$

所以 A、B 兩端皆為負彎矩，大小為

$$\boxed{\frac{qL^2}{12}}$$

亦即兩端皆為固定端負彎矩（hogging）。

3. 剪力分布

由

$$V(x)=\frac{dM}{dx}$$

得

$$V(x)=\frac{qL}{2}-qx$$

因此

$$V_A=V(0)=+\frac{qL}{2}$$ $$V_B=V(L)=-\frac{qL}{2}$$

這裡的 $V_B$ 是依「由左向右截面、左側自由體」所定義的內部剪力。對外部支承反力而言：

• A 端支承反力向上，大小為 $\dfrac{qL}{2}$。
• B 端支承反力向上，大小為 $\dfrac{qL}{2}$。

端彎矩方向則為一對大小相等、方向相反的固定端反力矩，使梁兩端形成負彎矩。

---

(ii) B 端向下位移 $\Delta$ 所造成的變化

使用疊加原理，只分析「B 端向下位移 $\Delta$」所產生的附加內力。

此時無新增分布載重，因此

$$EI v''''=0$$

邊界條件為

$$v(0)=0,\qquad v'(0)=0$$ $$v(L)=\Delta,\qquad v'(L)=0$$

1. 位移函數

由三次函數形式

$$v(x)=C_1x^3+C_2x^2$$

代入邊界條件：

$$v(L)=C_1L^3+C_2L^2=\Delta$$ $$v'(L)=3C_1L^2+2C_2L=0$$

解得

$$C_1=-\frac{2\Delta}{L^3}, \qquad C_2=\frac{3\Delta}{L^2}$$

所以

$$v(x)=-\frac{2\Delta}{L^3}x^3+\frac{3\Delta}{L^2}x^2$$

2. 附加彎矩

二階導數為

$$v''(x)=-\frac{12\Delta}{L^3}x+\frac{6\Delta}{L^2}$$

因此附加彎矩為

$$\Delta M(x)=-EI v''(x)$$

即

核心觀念

本題考查組合梁接合處的剪力流。梁受橫向剪力 $V$ 時，木板間接合面的剪力流為

$$q=\frac{VQ}{I}$$

其中：

• $I$：整個箱形截面對中性軸的慣性矩。
• $Q=A\bar y$：取上方木板面積對中性軸的一次矩。
• $q$：單位長度接合面所需傳遞的剪力。

圖中上下、左右四塊木板對稱，因此上方木板的剪力流由左右兩條接合縫平均分擔。

解題方法

梁為左端固定、跨長 $1\ \text{m}$ 的懸臂梁，$100\ \text{N}$ 集中力作用於中點。因此固定端至載重點之間的內部剪力為

$$V_{\max}=100\ \text{N}$$

載重點右側剪力為零，所以最大釘子受力發生在固定端附近。

1. 箱形截面慣性矩

每塊木板尺寸為 $1.5\ \text{cm}\times 6.0\ \text{cm}$，由圖組成外邊長 $6\ \text{cm}$、內孔邊長

$$6-2(1.5)=3\ \text{cm}$$

的箱形截面。

對水平中性軸，

$$I=\frac{6(6)^3-3(3)^3}{12} =101.25\ \text{cm}^4$$

2. 上方木板的一次矩

上方木板面積為

$$A=6(1.5)=9\ \text{cm}^2$$

其形心距中性軸的距離為

$$\bar y=3-\frac{1.5}{2}=2.25\ \text{cm}$$

所以

核心觀念

本題考查平面應力的莫爾圓、主應力與莫爾—庫倫破壞準則。

由圖可讀得：

• 水平正應力：$\sigma_x=50\ \text{kPa}$（壓應力）
• 垂直正應力：$\sigma_y=150\ \text{kPa}$（壓應力）
• 剪應力：$\tau_{xy}=25\ \text{kPa}$

土壤力學通常採「壓應力為正」，因此計算時取：

$$\sigma_x=50,\qquad \sigma_y=150,\qquad \tau_{xy}=25\quad(\text{kPa})$$

---

(i) 最大、最小主應力

莫爾圓圓心：

$$C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{50+150}{2}=100\ \text{kPa}$$

半徑：

$$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$ $$R=\sqrt{(-50)^2+25^2} =\sqrt{3125} =55.90\ \text{kPa}$$

所以主應力為：

$$\sigma_1=C+R=100+55.90=155.90\ \text{kPa}$$ $$\sigma_3=C-R=100-55.90=44.10\ \text{kPa}$$

因此：

$$\boxed{\sigma_1=155.9\ \text{kPa}\ \text{（最大壓應力）}}$$ $$\boxed{\sigma_3=44.1\ \text{kPa}\ \text{（最小壓應力）}}$$

主應力面方向由：

$$\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{50}{-100}=-0.5$$

依圖示剪應力方向判定，最大壓應力的作用方向約為垂直方向左偏 $13.3^\circ$；其對應主應力面約為水平面左偏 $13.3^\circ$。另一主應力面與其正交。

可用文字示意如下：

σ1 = 155.9 kPa
方向：接近垂直方向，向左傾約 13.3°

        ↖ σ1
       ┌────┐
       │    │
       └────┘
        ↘ σ3

σ3 = 44.1 kPa
方向與 σ1 正交

---

(ii) 破壞時的 $c$、$\phi$ 與破壞面

砂土通常採理想化假設為無黏性土，因此：

$$\boxed{c=0}$$

破壞時，莫爾圓與破壞包絡線

$$\tau=c+\sigma\tan\phi$$

相切。因為 $c=0$，故破壞線通過原點，且：

$$\sin\phi=\frac{R}{C} =\frac{55.90}{100} =0.5590$$ $$\boxed{\phi=\sin^{-1}(0.5590)\approx34.0^\circ}$$

亦可由主應力關係驗算：