113 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《土壤力學與基礎工程》

核心觀念

本題考查土壤三相關係與兩項基本室內試驗：含水量試驗及土粒比重試驗。土粒比重 $G_s$ 是土粒密度與水密度之比；含水量 $w$ 是水的質量與乾土質量之比；飽和度 $S$ 是孔隙中水的體積與總孔隙體積之比。

乾單位重、孔隙比與飽和度的關係為：

$$\gamma_d=\frac{\gamma_m}{1+w}$$ $$\gamma_d=\frac{G_s\gamma_w}{1+e} \qquad S=\frac{wG_s}{e}$$

其中 $e$ 為孔隙比，$\gamma_w$ 為水的單位重。本題採用 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$。

解題方法

(i) 乾單位重、飽和度及達飽和所需加水量

1. 求乾單位重

含水土的單位重包含土粒與水的重量，而乾土單位重只包含土粒重量，因此：

$$\gamma_d=\frac{\gamma_m}{1+w} =\frac{17.5}{1+0.115} =15.70\ \text{kN/m}^3$$

2. 求孔隙比與飽和度

由乾單位重關係式求孔隙比：

$$e=\frac{G_s\gamma_w}{\gamma_d}-1 =\frac{2.65(9.81)}{15.70}-1 =0.656$$

再代入飽和度公式：

$$S=\frac{wG_s}{e} =\frac{0.115(2.65)}{0.656} =0.464$$

因此，土樣目前的飽和度約為 $46.4\%$。

3. 求每立方公尺土樣達飽和所需加水量

假設加水過程中土樣體積不變。當土樣完全飽和時，含水量為：

$$w_{\text{sat}}=\frac{e}{G_s} =\frac{0.656}{2.65} =0.2475$$

每立方公尺土樣中的乾土質量為：

本題主要考驗土壤的滲流理論，包含等效滲透係數的推導、滲透係數方向性討論以及影響滲透係數的因素。

(i) 水平方向等效滲透係數推導

考慮一個由四個水平土層組成的場址，各層厚度為 $H_1, H_2, H_3, H_4$，水平方向的滲透係數為 $k_{h1}, k_{h2}, k_{h3}, k_{h4}$。我們欲求整個土層的水平方向等效滲透係數 $k_{heq}$。

假設一個總厚度為 $H = H_1 + H_2 + H_3 + H_4$ 的土層，在水平方向受到一個均勻的水力坡度 $i$。根據達西定律，通過每一層的流量 $Q$ 應相同，因為滲流方向與土層界面平行，且水不會在層間積聚或流失。

設通過整個土層的總流量為 $Q$，總橫截面積為 $A$ (垂直於滲流方向，即為土層的平面面積)。
根據達西定律，通過第 $j$ 層的流量 $Q_j$ 為：
$Q_j = k_{hj} \cdot A \cdot i_j$
其中 $i_j$ 為第 $j$ 層的水力坡度。

由於流量在各層之間是連續的，所以總流量 $Q$ 等於各層流量之和。然而，在本題的水平滲流情況下，水流同時通過所有土層，因此通過每一層的流量是相同的。
$Q_1 = Q_2 = Q_3 = Q_4 = Q$

同時，通過整個土層的總流量 $Q$ 也等於所有層的總流量。
$Q = \sum_{j=1}^{4} Q_j$ (此處為流量連續性，但由於是水平滲流，水同時通過各層，因此 $Q_j$ 相同，此式應理解為總流量等於各層流量之和，但在此情況下 $Q_j$ 相同，所以 $Q = Q_j$)

在水平滲流的情況下，水流同時通過各個土層，因此通過每一土層的流量是相同的。
設總流量為 $Q$，橫截面積為 $A$。
則每一土層的流量 $Q_j = k_{hj} \cdot A \cdot i_j$。
由於是水平滲流，水流在水平方向上同時通過所有土層，因此每一層的流量 $Q_j$ 相同。
$Q = Q_1 = Q_2 = Q_3 = Q_4$

整個土層的等效滲透係數 $k_{heq}$ 應滿足：
$Q = k_{heq} \cdot A \cdot i_{total}$
其中 $i_{total}$ 是整個土層的平均水力坡度。

然而，更直接的推導方式是考慮水力梯度。
在水平滲流情況下，水力坡度 $i$ 在水平方向上是均勻的，即 $i_1 = i_2 = i_3 = i_4 = i$。
則通過第 $j$ 層的流量為 $Q_j = k_{hj} \cdot A \cdot i$。
總流量 $Q = \sum_{j=1}^{4} Q_j = \sum_{j=1}^{4} (k_{hj} \cdot A \cdot i) = A \cdot i \cdot \sum_{j=1}^{4} k_{hj}$。

若將這四層視為一個整體，其等效水平滲透係數為 $k_{heq}$，則總流量為 $Q = k_{heq} \cdot A \cdot i$。
比較兩個表達式，可得：
$k_{heq} \cdot A \cdot i = A \cdot i \cdot \sum_{j=1}^{4} k_{hj}$
$k_{heq} = \sum_{j=1}^{4} k_{hj}$

所以，水平方向的等效滲透係數為各層水平滲透係數的算術平均值。
$k_{heq} = k_{h1} + k_{h2} + k_{h3} + k_{h4}$

本題主要考驗擋土牆的被動土壓力理論與設計中的穩定性檢核。

(i) Rankine 被動土壓力係數推導

擋土牆案例：垂直牆背，水平回填土。
我們需要推導 Rankine 被動土壓力係數 ($K_p$)。

核心概念： Rankine 土壓力理論假設土體處於極限狀態，且土體與牆體之間沒有摩擦力，牆體後方土體為無限延伸的均質土體。被動土壓力是指牆體向外移動，擠壓土體使其產生變形，土體對牆體施加的壓力。

推導步驟：

1. 極限應力狀態： 在極限狀態下，土體中的任一點都存在一組相互垂直的主應力（最大主應力 $\sigma_1$ 和最小主應力 $\sigma_3$）和剪應力。Rankine 理論假設在牆後土體中，存在一個應力圓（Mohr's Circle）代表了土體內任一點的應力狀態。
2. 主應力方向：
   • 對於垂直牆背、水平回填土的 Rankine 被動土壓力情況，牆後土體的最小主應力 ($\sigma_3$) 垂直於牆面（即水平方向），最大主應力 ($\sigma_1$) 則垂直於地面（即鉛直方向）。
   • 這是因為在被動狀態下，牆體向外移動，對土體產生水平擠壓，使得水平方向的應力達到最大，而鉛直方向的應力則相對較小。
   • 在極限平衡狀態下，$\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 之間的關係由莫爾-庫倫破壞準則給出：$\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2) + 2c \tan(45^\circ + \phi/2)$。
   • 對於無黏性土 ($c=0$)，則 $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。
3. 推導 Rankine 被動土壓力係數 ($K_p$)：

   • 在牆後土體中，鉛直方向的應力是土體自重產生的總應力，我們用 $\sigma_v$ 表示。

   • 水平方向的應力是牆體對土體產生的被動土壓力，我們用 $\sigma_p$ 表示。

   • 由於牆背垂直且回填土水平，所以鉛直應力是最大主應力 ($\sigma_1$)，水平應力是最小主應力 ($\sigma_3$)。

   • 即：$\sigma_1 = \sigma_v$ 且 $\sigma_3 = \sigma_p$。

   • 根據 Rankine 理論的公式：$\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。

   • 代入 $\sigma_1$ 和 $\sigma_3$：$\sigma_v = \sigma_p \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。

   • 因此，被動土壓力 $\sigma_p = \frac{\sigma_v}{\tan^2(45^\circ + \phi/2)} = \sigma_v \tan^2(45^\circ - \phi/2)$。

   • Rankine 被動土壓力係數 $K_p$ 定義為 $\sigma_p = K_p \sigma_v$。

   • 所以，$K_p = \tan^2(45^\circ - \phi/2)$。

   • 另一種推導方式 (利用莫爾圓)：

     • 假設土體中某一點的鉛直應力為 $\sigma_v$ (即 $\sigma_1$)，水平應力為 $\sigma_h$ (即 $\sigma_3$)。
     • 在 Rankine 被動土壓力條件下，牆體受到擠壓，水平應力 $\sigma_h$ 是最大的水平應力，而鉛直應力 $\sigma_v$ 是最小的鉛直應力。
     • 然而，通常我們將 $\sigma_1$ 定義為最大主應力，$\sigma_3$ 定義為最小主應力。
     • 對於垂直牆背、水平回填土的被動土壓力，土體處於被動極限狀態。此時，水平方向的應力是最大主應力 ($\sigma_1$)，鉛直方向的應力是最小主應力 ($\sigma_3$)。
     • 所以，$\sigma_1 = \sigma_p$ 且 $\sigma_3 = \sigma_v$。
     • 由莫爾-庫倫破壞準則：$\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2) + 2c \tan(45^\circ + \phi/2)$。
     • 對於無黏性土 ($c=0$)：$\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。
     • 代入 $\sigma_1 = \sigma_p$ 和 $\sigma_3 = \sigma_v$：$\sigma_p = \sigma_v \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。
     • 因此，Rankine 被動土壓力係數 $K_p = \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。

     關於主應力方向的釐清：
     Rankine 理論的假設是，土體中的一個點，其主應力方向可以與牆面和地面平行或垂直。

     • 主動土壓力： 牆體向外移動，土體變形，水平應力減小。鉛直應力為 $\sigma_1$，水平應力為 $\sigma_3$。 $\sigma_3 = \sigma_1 K_a$。
     • 被動土壓力： 牆體向內移動，擠壓土體，水平應力增大。鉛直應力為 $\sigma_3$，水平應力為 $\sigma_1$。 $\sigma_1 = \sigma_3 K_p$。
     • 對於垂直牆背、水平回填土：
       • 鉛直應力為 $\sigma_v$ (由自重產生)。
       • 水平應力為 $\sigma_h$ (牆體施加或抵抗的壓力)。
       • 在被動極限狀態下，水平應力是最大主應力 ($\sigma_1$)，鉛直應力是最小主應力 ($\sigma_3$)。
       • 所以 $\sigma_1 = \sigma_h = \sigma_p$ (被動土壓力)，$\sigma_3 = \sigma_v$。
       • Rankine 關係式為 $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。
       • 代入：$\sigma_p = \sigma_v \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。
       • 因此，$K_p = \tan^2(45^\circ + \phi/2)$。

   • Mohr's Circle 的應用：

     • 在 Rankine 被動土壓力條件下，土體中的任一點都處於極限平衡狀態。
     • 對於牆後土體中的某一點，其鉛直應力為 $\sigma_v$。
     • 在被動極限狀態下，水平應力 $\sigma_p$ 是最大主應力，鉛直應力 $\sigma_v$ 是最小主應力。
     • 在 Mohr's Circle 上，$\sigma_v$ 和 $\sigma_p$ 是兩個主應力。
     • 圓心位於 $(\frac{\sigma_v + \sigma_p}{2}, 0)$。
     • 半徑為 $R = \frac{\sigma_p - \sigma_v}{2}$。
     • 破壞線與水平主應力軸的夾角為 $\alpha = 45^\circ + \phi/2$。

核心觀念

本題考查：

• 總應力、孔隙水壓與有效應力的關係：

  $\sigma'=\sigma-u$

• 靜止土壓力係數。採用 normally consolidated soil 的 Jaky 公式：

  $K_0=1-\sin\phi$

• 主應力狀態下的莫爾圓。

• 極點法求傾斜平面上的法向應力。

取水的單位重：

$\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$

題目未提供上層土在地下水位以下的飽和單位重，因此依題目唯一給定的單位重，將上層土的 $16.5\ \text{kN/m}^3$ 用於整個 4 m 厚上層。

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(i) 應力與深度關係

令深度 $z$ 自地表向下量。

1. 總垂直應力

在 $0\le z\le4$ m：

$$\sigma_v=16.5z$$

在 $4\le z\le9$ m：

$$\sigma_v=4(16.5)+(z-4)(17.5)$$

主要深度的總應力如下：

$$\begin{array}{c|c} z\ (\text{m}) & \sigma_v\ (\text{kPa})\\ \hline 0 & 0\\ 2 & 33.0\\ 4 & 66.0\\ 6 & 101.0\\ 9 & 153.5 \end{array}$$

因此，總應力圖為分段直線：

• $0$ 至 $4$ m：斜率為 $16.5\ \text{kN/m}^3$
• $4$ 至 $9$ m：斜率為 $17.5\ \text{kN/m}^3$

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2. 孔隙水壓

地下水位在 $z=2$ m，因此：

$$u=0 \qquad (0\le z\le2)$$ $$u=\gamma_w(z-2) \qquad (z\ge2)$$

各深度的孔隙水壓為：

$$\begin{array}{c|c} z\ (\text{m}) & u\ (\text{kPa})\\ \hline 0 & 0\\ 2 & 0\\ 4 & 19.62\\ 6 & 39.24\\ 9 & 68.67 \end{array}$$

孔隙水壓圖在地下水位以上為零，地下水位以下呈斜率 $9.81\ \text{kN/m}^3$ 的直線。

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3. 有效垂直應力

由

$$\sigma_v'=\sigma_v-u$$

可得：

$$\begin{array}{c|c|c|c} z\ (\text{m}) & \sigma_v & u & \sigma_v'\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 33.0 & 0 & 33.0\\ 4 & 66.0 & 19.62 & 46.38\\ 6 & 101.0 & 39.24 & 61.76\\ 9 & 153.5 & 68.67 & 84.83 \end{array}$$

有效應力圖的斜率為：

• $0$ 至 $2$ m：

  $\frac{d\sigma_v'}{dz}=16.5$

• $2$ 至 $4$ m：

  $\frac{d\sigma_v'}{dz}=16.5-9.81=6.69$

• $4$ 至 $9$ m：

  $\frac{d\sigma_v'}{dz}=17.5-9.81=7.69$

因此，三條曲線均應標示為：

• $\sigma_v$：總垂直應力
• $u$：孔隙水壓
• $\sigma_v'$：有效垂直應力

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(ii) 深度 6 m 處的總水平應力與有效水平應力

深度 6 m 位於下層土中。

1. 有效垂直應力

深度 6 m 處：

$$\sigma_v =4(16.5)+2(17.5) =101.0\ \text{kPa}$$

孔隙水壓：

$$u=(6-2)(9.81)=39.24\ \text{kPa}$$

因此：

$$\sigma_v'=101.0-39.24=61.76\ \text{kPa}$$

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2. 靜止土壓力係數

上層土：

$$K_{0,1}=1-\sin28^\circ =0.531$$

下層土：

$$K_{0,2}=1-\sin34^\circ =0.441$$

採用分層累加方式計算水平有效應力。

上層土對深度 6 m 處的貢獻：

$$\sigma_{h,1}' =K_{0,1} \left[ 2(16.5)+2(16.5-9.81) \right]$$ $$\sigma_{h,1}' =0.531(33.0+13.38) =24.62\ \text{kPa}$$

下層土由深度 4 m 至 6 m 的貢獻：

$$\sigma_{h,2}' =K_{0,2} \left[ 2(17.5-9.81) \right]$$ $$\sigma_{h,2}' =0.441(15.38) =6.78\ \text{kPa}$$

所以：

$$\sigma_h' =24.62+6.78 =31.40\ \text{kPa}$$

總水平應力為：

$$\sigma_h=\sigma_h'+u$$ $$\sigma_h=31.40+39.24 =70.64\ \text{kPa}$$

因此深度 6 m 處：

$$\boxed{\sigma_v=101.0\ \text{kPa}}$$ $$\boxed{\sigma_v'=61.76\ \text{kPa}}$$ $$\boxed{\sigma_h=70.64\ \text{kPa}}$$ $$\boxed{\sigma_h'=31.40\ \text{kPa}}$$

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(iii) 總應力與有效應力莫爾圓

深度 6 m 處可視為無剪應力的主應力狀態。

1. 總應力莫爾圓

主應力為：

本題主要考驗基礎工程中的樁基礎，包含樁的分類、負摩阻力及其發生條件，以及群樁效應。

(i) 端承樁 (End-Bearing Piles) 與摩擦樁 (Friction Piles) 的定義與適用場地條件

• 端承樁 (End-Bearing Piles)：

  • 定義： 端承樁是一種將上部結構的荷載主要通過樁的底部傳遞到下方堅硬、承載力高的土層（如密實砂層、岩石或堅硬黏土層）的樁。樁的承載力主要來自樁尖處的承載力 (Point Bearing Capacity)。
  • 適用場地條件：
    1. 淺層堅硬土層： 當淺層土體較軟弱，但其下方一定深度（樁尖能夠達到的深度）存在一層承載力足夠高的堅硬土層或岩層時，適合使用端承樁。
    2. 需要高承載力的結構： 對於需要承受巨大荷載的結構，如高層建築、橋樑墩柱等，若淺層土無法提供足夠承載力，則需將荷載傳遞至深部的堅硬土層。
    3. 地下水位較高或土體易壓縮： 在這些情況下，摩擦樁的承載力可能難以保證，而端承樁則能繞過軟弱、壓縮性高的土層，直接支撐在穩定的土層上。

• 摩擦樁 (Friction Piles)：

  • 定義： 摩擦樁是將上部結構的荷載主要通過樁身與周圍土體之間的側摩阻力 (Skin Friction) 來傳遞的樁。樁尖的承載力貢獻相對較小。
  • 適用場地條件：
    1. 深厚軟弱土層： 當堅硬土層位於非常深的地下，無法經濟有效地打到時，或者整個場址的土體都比較軟弱且壓縮性高時，適合使用摩擦樁。
    2. 軟弱土層的均質性： 如果土層大致均勻且軟弱，樁身與土體間的側摩阻力可以累積起來提供足夠的承載力。
    3. 需要較大表面積的樁： 樁的直徑越大，或採用多根樁組成的群樁，可以增加與土體接觸的表面積，從而提高側摩阻力。

重要說明： 實際上，大多數樁都同時具有端承和摩擦兩種承載方式，只是在設計上會根據場地條件和樁的類型，側重於其中一種。

(ii) 負摩阻力 (Negative Skin Friction) 的定義與發生條件

• 定義： 負摩阻力（或稱沉降荷載、拖曳力）是指當樁周圍土體相對於樁體發生向下移動時，土體對樁身產生的向下的摩擦力。這種力會額外增加樁的軸向壓力，降低樁的有效承載能力，甚至可能導致樁的破壞。
• 發生條件： 負摩阻力通常發生在以下情況：

  1. 新建結構物對鄰近土體的壓實作用 (Consolidation of Soil due to New Fill)：

     • 當在樁周圍的場地進行填土，或建造新的結構物（如高層建築、重型設備），導致地基土發生較大的沉降時。
     • 樁的沉降速度比樁周圍土體的沉降速度慢，或者樁的沉降完全被周圍土體的沉降「拖曳」著向下移動，就產生了負摩阻力。
     • 例如，在一個已經有樁基礎的場地上，又在樁的旁邊進行大量填土，填土會引起地基土固結沉降，而樁由於其剛度和與下方堅硬土層的連接，沉降較小，導致樁周圍的土體相對樁向下移動。

  2. 地下水位下降導致的土體固結 (Consolidation due to Lowering of Groundwater Table)：

     • 當地下水位下降時，土體中的有效應力會增加，導致土體發生固結沉降。
     • 如果樁身位於發生沉降的土層中，且樁的沉降量小於土體的沉降量，則會產生負摩阻力。
     • 例如，抽水降低地下水位，導致軟黏土層發生固結沉降，而樁則相對不動或沉降較少，從而受到土體的向下拖曳。

  3. 有機土或膨脹土的收縮 (Shrinkage of Organic or Expansive Soils)：

     • 有機土（如泥炭）在乾燥時會發生顯著的體積收縮，導致沉降。
     • 膨脹土在乾燥時也會收縮。
     • 如果樁身穿過這些會收縮的土層，樁會受到土體的向下拖曳。