115 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（在職生）《土壤力學與基礎工程》

此題主要在考察對有效應力概念的理解及其在土壤液化現象中的應用。

1. 有效應力 (Effective Stress) 的定義與公式
有效應力是指作用在土壤顆粒骨架上的應力，它決定了土壤的強度和變形特性。總應力 (Total Stress, $\sigma$) 是單位面積上承受的總重量，包含土壤顆粒和孔隙水。孔隙水壓力 (Pore Water Pressure, $u$) 是土壤孔隙中水的壓力。有效應力 ($\sigma'$) 是總應力減去孔隙水壓力。

公式如下：
$\sigma' = \sigma - u$

2. 有效應力與土壤液化的關聯
土壤的抗剪強度主要來自於顆粒間的接觸與摩擦，這與有效應力直接相關。當有效應力降低時，顆粒間的接觸壓力減小，摩擦力減弱，土壤的強度也隨之降低。

此題旨在考察對正常壓密與超壓密黏土的區別，以及超壓密比 (OCR) 對黏土壓縮性和強度的影響。

1. 正常壓密 (Normally Consolidated, NC) 與超壓密 (Overconsolidated, OC) 黏土的區別

• 正常壓密 (NC) 黏土： 指的是該黏土至今所承受的最大豎向總應力（上覆土層的重量）等於或小於其歷史上曾經承受過的最高豎向總應力。也就是說，該黏土從沉積以來，其所承受的應力一直處於不斷增加的過程中，未曾經歷過應力釋放。在 $e-\log p'$ 空間圖上，NC 黏土的壓密過程中，其塑性曲線（或稱回彈曲線）代表了 NC 狀態。
• 超壓密 (OC) 黏土： 指的是該黏土至今所承受的最大豎向總應力小於其歷史上曾經承受過的最高豎向總應力。這表示該黏土曾經承受過較高的應力，但後來由於某些原因（如上覆土層被侵蝕、地下水位下降導致有效應力增加後又下降等）導致應力水平下降，使其處於超壓密狀態。在 $e-\log p'$ 空間圖上，OC 黏土的壓密過程中，會先沿著其回彈曲線（彈性範圍）移動，直到有效應力達到其歷史最大值後，才會進入塑性範圍（即成為 NC 狀態）。

2. 超壓密比 (Overconsolidation Ratio, OCR) 的影響

超壓密比 (OCR) 定義為黏土歷史上所承受的最大豎向有效應力 ($\sigma'_{c,max}$) 與目前現況豎向有效應力 ($\sigma'_{vc}$) 的比值：
$OCR = \frac{\sigma'_{c,max}}{\sigma'_{vc}}$

• 對於 NC 黏土，$\sigma'_{c,max} = \sigma'_{vc}$，所以 $OCR = 1$。

此題主要考察對淺基礎承載力破壞三種模式（總體剪切破壞、局部剪切破壞、貫穿性剪切破壞）的理解，以及不同土壤和載荷條件對應的破壞模式。

淺基礎的承載力破壞模式取決於土壤的性質（特別是其密度、壓實度和剪切強度參數）以及基礎的幾何形狀和載荷條件。 Terzaghi 提出了三種主要的破壞模式：

1. 總體剪切破壞 (General Shear Failure)

• 描述： 這是最常見且較為嚴重的破壞模式。當基礎底面與土壤之間發生顯著的相對滑動時，會形成一個連續的剪切破壞面，從基礎底部延伸至地表。地表會發生明顯的隆起，整個基礎結構會發生傾斜或沉陷。
• 土壤條件：
  • 密實的砂土 (Dense sand) 或 堅硬的黏土 (Stiff clay)。
  • 土壤具有較高的剪切強度（高內摩擦角 $\phi$ 或高黏聚力 $c$）。
  • 土壤的壓縮性較低。
• 載荷條件：
  • 載荷緩慢施加，使土壤有足夠的時間排水（或承壓能力足夠）。
  • 基礎寬度（B）相對較大。
  • 載荷集中作用在基礎中心，且垂直於基礎底面。

2. 局部剪切破壞 (Local Shear Failure)

• 描述： 在這種模式下，剪切破壞首先發生在基礎底面附近的土壤中，形成局部的剪切帶，但這些破壞帶並未延伸至地表，地表可能只有輕微的隆起或無明顯變形。基礎會發生較大的沉降，但不會有明顯的傾斜。此模式的承載力低於總體剪切破壞。
• 土壤條件：
  • 中等密實度的砂土 (Medium dense sand) 或 中等硬度的黏土 (Medium stiff clay)。
  • 土壤的剪切強度參數介於總體剪切和貫穿性剪切之間。
  • 土壤的壓縮性中等。
• 載荷條件：
  • 載荷施加速度可能較快，導致排水條件不完全。
  • 基礎寬度 (B) 較小。
  • 載荷較為集中。

3. 貫穿性剪切破壞 (Punching Shear Failure)

此題主要考察對敏感性 (Sensitivity) 概念的理解，包括其定義、測量方法以及工程上的應用與潛在問題。

1. 敏感性 (Sensitivity, $S_t$) 的定義

敏感性是指黏土在未擾動狀態下的不排水抗剪強度 ($c_u$) 與其擾動後（重塑）狀態下的不排水抗剪強度之比。它反映了黏土結構結構的穩定性，以及在擾動後結構破壞的程度。

$S_t = \frac{c_u (\text{undisturbed})}{c_u (\text{remolded})}$

• $c_u (\text{undisturbed})$: 未擾動的天然黏土試樣在不排水條件下的不排水抗剪強度。
• $c_u (\text{remolded})$: 將同一份黏土試樣充分擾動並重塑後，在不排水條件下的不排水抗剪強度。

2. 敏感性的測量

敏感性通常通過現場或實驗室進行測量：

• 現場測量：
  • 簡化壓力計試驗 (Vane Shear Test, VST)： 這是現場測量黏土敏感性最常用的方法。將一個十字形或翼形的葉片插入土中，測量其旋轉破壞時所需的扭矩，從而計算出未擾動狀態下的不排水抗剪強度。然後，將葉片在土中快速旋轉數圈，使其結構破壞，再測量其重塑後的強度。
• 實驗室測量：
  • 不排水三軸試驗 (Unconsolidated Undrained, UU Triaxial Test)： 從土體中取出的未擾動黏土試樣進行 UU 試驗，測得 $c_u (\text{undisturbed})$。然後，將同一試樣的土樣進行充分擾動、重塑，再進行 UU 試驗，測得 $c_u (\text{remolded})$。
  • 無圍壓試驗 (Unconfined Compression Test, qu)： 類似於 UU 試驗，用於測量不排水強度。

敏感性分類 (參考)：

此題考察對直剪試驗中，疏鬆砂和密實砂在相同法向應力下，剪應力-位移曲線及垂直位移-水平位移曲線的差異，並要求繪製定性示意圖。

直剪試驗是測量土壤剪切強度的一種方法，它在一個固定的試盒中進行，將土壤試樣分成上下兩半，施加法向應力，然後在兩個半盒之間施加水平剪應力，直到試樣破壞。

核心觀念：

• 疏鬆砂 (Loose Sand)： 顆粒間孔隙較大，排列較為鬆散。在受剪時，顆粒容易發生滾動和滑動，但整體結構的抵抗能力較弱。
• 密實砂 (Dense Sand)： 顆粒間孔隙較小，排列緊密。在受剪時，顆粒需要克服較大的摩擦阻力，並且需要發生向上顆粒的滾動（Dilatancy），以增加顆粒間的間隙，這會導致體積膨脹。

1. 剪應力 (Shear Stress, $\tau$) vs. 水平位移 (Horizontal Displacement, $\delta_h$) 曲線

• 疏鬆砂：

  • 剪應力隨水平位移的增加而迅速增加，但達到一個較低的峰值剪應力（或最終殘餘剪應力）後，可能會有小幅下降或趨於穩定。
  • 其峰值強度較低。
  • 剪應力-位移曲線相對較「軟」，斜率較小。

• 密實砂：

  • 剪應力隨水平位移的增加而迅速增加，達到一個較高的峰值剪應力。
  • 在達到峰值後，由於顆粒需要向上滾動以克服顆粒間的擠壓（Dilatancy），剪應力會有所下降，然後趨於一個較高的殘餘剪應力。
  • 其峰值強度較高。
  • 剪應力-位移曲線相對較「硬」，斜率較大，但峰值後下降較明顯。

2. 垂直位移 (Vertical Displacement, $\delta_v$) vs. 水平位移 (Horizontal Displacement, $\delta_h$) 曲線

• 疏鬆砂：

  • 在施加剪應力初期，由於顆粒間的重新排列和孔隙的壓縮，試樣會發生體積縮小（壓縮）。
  • 垂直位移顯示為向下的趨勢（壓縮）。
  • 隨著剪應力達到峰值並趨於穩定，垂直位移也趨於穩定。

• 密實砂：

  • 在施加剪應力初期，顆粒間的接觸壓力增加，為了克服顆粒間的擠壓，顆粒會發生向上滾動，導致試樣的體積膨脹（Dilatancy）。
  • 垂直位移顯示為向上的趨勢（膨脹）。

此題主要考察對標準貫入試驗 (Standard Penetration Test, SPT) 程序、N 值確定方法以及 N 值與砂土相對密度、黏土稠度相關性的理解。

1. SPT 試驗程序與 N 值確定

標準貫入試驗 (SPT) 是一種常用的現場原位試驗，用於評估土壤的承載力、密實度或稠度。其基本程序如下：

• 儀器設備：
  • 標準重錘 (Standard Hammer)：重量為 63.5 kg (140 lb)。
  • 自由落體高度：重錘從 760 mm (30 inches) 的高度自由落下。
  • 取樣器 (Split-spoon sampler)：一個中空的鋼管，末端有刀刃，用於採集擾動土樣。其外徑約為 50.8 mm (2 inches)，內徑約為 34.9 mm (1.375 inches)。
• 試驗步驟：
  1. 在預定深度，將取樣器懸掛在鑽桿下方，置於地面或試驗平台。
  2. 將 63.5 kg 的重錘從 760 mm 高度自由落下，敲擊在取樣器上。
  3. 記錄重錘下落過程中，取樣器進入土壤的深度：
     • 擊數 (Blows)： 記錄重錘擊打取樣器的次數。
     • 貫入深度 (Penetration)： 記錄取樣器每次下降的深度。
  4. N 值確定：
     • 首先，進行 150 mm 的預貫入 (seating drive) 或稱為「預擊」階段。這一步是為了使取樣器穩定地進入土壤，並排除初始階段的擾動影響。
     • 然後，記錄接下來連續 300 mm (12 inches) 的貫入所需的擊數。
     • N 值定義： N 值是使取樣器連續貫入 300 mm 所需的總擊數。
       • 如果取樣器在少於 300 mm 的擊數內貫入到預定深度，則記錄實際貫入的擊數。
       • 如果取樣器在 50 次擊數內貫入不足 300 mm，則記錄 50 次擊數時的貫入深度。
       • 如果取樣器在 50 次擊數後仍未貫入到 300 mm，則停止試驗。
       • 如果取樣器貫入到 300 mm 所需的擊數超過 50 次，則記錄 50 次擊數時的貫入深度。
     • 標準 N 值 (Standard N value)： 通常是指 300 mm 貫入所需的擊數。
     • 修正 N 值 (Corrected N value)： 為了消除由於重錘能量損失、鑽桿類型、孔徑等因素造成的影響，通常會對原始 N 值進行修正，得到標準化 N 值（例如 $N_{60}$）。但在此題僅要求描述 N 值的確定，即為 300 mm 貫入所需的擊數。

2. SPT-N 值與土壤性質的相關性

SPT-N 值與土壤的密實度（砂土）或稠度（黏土）之間存在廣泛的經驗相關性。這些相關性對於工程師評估土壤性質非常有用。

此題旨在比較標準貫入試驗 (SPT) 和錐探試驗 (CPT) 在場址調查中的優點與限制，並探討何種情況下應優先選擇其中一種試驗。

1. SPT (Standard Penetration Test) 的優點與限制

• 優點 (Advantages)：

  1. 設備簡單、操作方便： SPT 設備相對輕便，易於在各種場地條件下進行操作，包括狹窄或難以到達的區域。
  2. 可採集擾動土樣： 試驗過程中使用的中空取樣器 (split-spoon sampler) 可以採集到擾動的土樣，用於後續的室內試驗，如辨識土的種類、測定含水量、比重、粒度分析等。
  3. 成本相對較低： 在許多情況下，SPT 的單位測試成本較 CPT 低。
  4. 歷史悠久，經驗豐富： SPT 試驗的歷史悠久，有大量的經驗數據和相關性可供參考，尤其是在北美地區。
  5. 適用範圍廣： 適用於多種土質，包括砂土、黏土、礫石層等。

• 限制 (Limitations)：

  1. 擾動性大： 試驗過程對周圍土體產生較大的擾動，特別是在黏土中，擾動會顯著影響試驗結果的準確性。
  2. 結果離散性大： N 值的準確性受操作人員、設備狀況、錘的能量傳遞效率等多種因素影響，結果的變異性較大。
  3. 測試效率較低： 在同一深度進行多次試驗或在較深處進行試驗時，效率不如 CPT。
  4. 無法準確評估黏土的強度： N 值與黏土不排水抗剪強度 ($c_u$) 的相關性不如與砂土相對密度的相關性可靠。
  5. 無法提供連續的土層信息： SPT 是離散點測試，無法提供土層連續的性質變化信息。

2. CPT (Cone Penetration Test) 的優點與限制

CPT 試驗通過將一個帶有壓力傳感器的圓錐形探頭以恆定的速率貫入土中，連續記錄貫入阻力（尖端阻力 $q_c$ 和側壁摩擦阻力 $f_s$）。

• 優點 (Advantages)：
  1. 測試效率高，數據連續： 可以在較短時間內獲得貫入深度 10-20 m 的連續土層參數，能夠清晰地識別土層界面和細微的性質變化。
  2. 結果準確可靠： 試驗過程對土體的擾動較小（僅為探頭貫入），且由電子傳感器記錄數據，結果的重現性和準確性較高。
  3. 可識別土種： 通過 $q_c$ 和 $f_s$ 的組合，可以較為準確地判斷土的種類（如砂土、粉土、黏土、有機土等），並估算其工程參數（如相對密度、不排水抗剪強度、有效應力參數等）。
  4. 可進行 CPTu 試驗： 帶有孔隙水壓力傳感器 (Piezocone, CPTu) 的 CPT 試驗，可以同時測量孔隙水壓力，進一步提高土種判別的準確性，並用於計算有效應力參數。

此題考察對壓密不排水 (CU) 試驗數據的處理能力，特別是利用試驗結果計算總應力摩擦角 ($\phi$) 和有效應力摩擦角 ($\phi'$)。

核心觀念：

• CU 試驗： 在此試驗中，試樣在施加圍壓 ($\sigma_3$) 後進行壓密（固結），然後在不排水條件下施加軸向荷載直至破壞。此試驗可以獲得總應力參數 ($c, \phi$) 和有效應力參數 ($c', \phi'$)。
• 摩爾圓 (Mohr Circle)： 描述應力狀態的幾何圖形。在剪切破壞時，摩爾圓與破壞包絡線相切。
• 破壞包絡線 (Failure Envelope)： 描述土壤破壞時應力狀態的幾何圖形。
  • 總應力破壞包絡線： 使用總應力參數 ($c, \phi$) 繪製，切線上的點是總應力狀態的摩爾圓。
  • 有效應力破壞包絡線： 使用有效應力參數 ($c', \phi'$) 繪製，切線上的點是有效應力狀態的摩爾圓。

1. 計算總應力摩擦角 ($\phi$)

在 CU 試驗中，我們有三組不同圍壓下的試驗結果，每組結果都能繪製一個總應力摩爾圓。這三個摩爾圓的破壞包絡線（總應力破壞包絡線）的斜率決定了總應力摩擦角 $\phi$。

• 總應力狀態：

  • 主應力 ($\sigma_1$) = 圍壓 ($\sigma_3$) + 偏應力 (Deviator Stress, $(\Delta\sigma_d)_f$)
  • 圍壓 ($\sigma_3$) = confining pressure
  • 剪切破壞時的總應力摩爾圓是通過 $(\sigma_1, \tau)$ 和 $(\sigma_3, \tau)$ 點（實際上是通過 $(\sigma_1, 0)$ 和 $(\sigma_3, 0)$ 在 $\sigma$ 軸上的點，而摩爾圓的圓心在 $\sigma$ 軸上）繪製的。

• 計算步驟：

  1. 計算每組試驗的主應力 ($\sigma_1$)：

     • 試驗 1: $\sigma_1 = \sigma_3 + (\Delta\sigma_d)_f = 100 + 80 = 180$ kPa
     • 試驗 2: $\sigma_1 = \sigma_3 + (\Delta\sigma_d)_f = 200 + 160 = 360$ kPa
     • 試驗 3: $\sigma_1 = \sigma_3 + (\Delta\sigma_d)_f = 300 + 240 = 540$ kPa

  2. 繪製三組總應力摩爾圓（或利用公式計算）。對於 CU 試驗，通常假設黏聚力 $c=0$（除非題目另有說明），因此破壞包絡線通過原點。

  3. 利用三軸試驗中，總應力破壞包絡線的斜率來計算 $\phi$。若假設 $c=0$，則破壞包絡線為一條通過原點的直線，其斜率與 $\phi$ 的關係為 $\tan \phi = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{(\sigma_1 + \sigma_3)/2}$ 或是更直接的，在過原點的破壞線下， $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2) + 2c \tan(45^\circ + \phi/2)$。
     由於 CU 試驗通常假設黏聚力 $c=0$（特別是飽和黏土，其總應力參數 $\phi$ 往往與有效應力參數 $\phi'$ 接近，因為孔壓效應的影響），我們可以利用 $\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 的關係來求解 $\phi$。
     一種常用的方法是利用摩爾-庫倫準則的有效應力形式，並考慮孔壓。然而，對於 CU 試驗，我們通常是直接繪製總應力摩爾圓，並找到其總應力破壞線。
     若假設 $c=0$，則破壞線為 $\tau = \sigma \tan \phi$。
     在破壞時，$\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 的關係為：
     $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2) + 2c \tan(45^\circ + \phi/2)$
     對於 CU 試驗，若假設 $c=0$，則：
     $\sigma_1 = \sigma_3 \tan^2(45^\circ + \phi/2)$
     或更常用的形式：
     $\sin \phi = \frac{(\sigma_1 - \sigma_3)/2}{(\sigma_1 + \sigma_3)/2} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{\sigma_1 + \sigma_3}$
     我們計算 $\sin \phi$ 的值：

     • 試驗 1: $\sin \phi = \frac{180 - 100}{180 + 100} = \frac{80}{280} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$

此題要求計算場地中黏土層中點的 drained shear strength (排水剪切強度)。這需要結合 CU 試驗得到的有效應力參數和場地的應力條件來計算。

核心觀念：

• Drained Shear Strength (排水剪切強度)： 在排水條件下，土壤的剪切強度由其有效應力參數決定，即有效黏聚力 ($c'$) 和有效摩擦角 ($\phi'$)。
• CU 試驗結果： 在 Part (a) 中，我們已經計算出 CU 試驗得到的有效應力參數：
  • 有效圍壓 ($\sigma'_3$)
  • 有效主應力 ($\sigma'_1$)
  • 有效應力摩擦角 ($\phi'$)。
  • 由於題目未提供黏聚力 $c'$ 的計算，且 CU 試驗數據顯示 $\sin\phi'$ 在各組試驗中一致，我們假設有效黏聚力 $c' = 0$。
• 場地應力計算： 需要計算黏土層中點的總應力、孔隙水壓力，進而得到有效應力。

計算步驟：

1. 確定有效應力參數：
從 Part (a) 的計算結果，我們得到：

• $\phi' \approx 23.6^\circ$
• 假設 $c' = 0$ kPa。

2. 計算黏土層中點的應力狀態：

• 黏土層厚度 = 10 m。

• 中點深度 = 10 m / 2 = 5 m。

• 飽和單位重度 ($\gamma_{sat}$) = 18 kN/m³。

• 地下水位在地表。

• 計算中點的總應力 ($\sigma_v$)：
  總應力是從地表到該深度的上覆土層重量。
  $\sigma_v = \gamma_{sat} \times \text{depth}$
  $\sigma_v = 18 \text{ kN/m}^3 \times 5 \text{ m} = 90 \text{ kPa}$

• 計算中點的孔隙水壓力 ($u$)：
  由於地下水位在地表，且土壤飽和，孔隙水壓力由水頭決定。
  $u = \gamma_w \times h_w$
  其中 $\gamma_w$ 是水的單位重度 (約 9.81 kN/m³)。
  $u = 9.81 \text{ kN/m}^3 \times 5 \text{ m} = 49.05 \text{ kPa}$
  （通常在計算中，若未特別說明，可使用 $\gamma_w \approx 10$ kN/m³，則 $u = 10 \times 5 = 50$ kPa。

此題要求解釋壓密不排水 (CU) 試驗與壓密排水 (CD) 試驗、不排水不壓密 (UU) 試驗之間的差異，重點在於固結和剪切階段的排水條件、獲得的強度參數以及適用的場景。

核心觀念：
三軸試驗是測定土壤剪切強度參數的重要方法，其主要區別在於試樣在固結階段和剪切階段是否允許排水。

1. 壓密排水 (Consolidated Drained, CD) 試驗

• 排水條件：

  • 固結階段 (Consolidation Stage)： 允許排水。施加圍壓 ($\sigma_3$)，並允許試樣在圍壓下充分固結，孔隙水壓力完全消散，達到平衡。
  • 剪切階段 (Shearing Stage)： 允許排水。在固結平衡後，緩慢地施加軸向荷載（偏應力），並持續允許試樣排水，確保在整個剪切過程中，孔隙水壓力保持為零（或非常接近零）。

• 獲得的強度參數：

  • 有效應力參數： 由於孔隙水壓力始終為零，試驗結果直接反映了有效應力強度。
  • 有效黏聚力 ($c'$) 和有效摩擦角 ($\phi'$)。
  • 此試驗模擬了緩慢加載，土體有足夠時間排水的長期（long-term）穩定情況。

• 適用場地應用：

  • 用於評估長期穩定性的問題，例如：
    • 邊坡在完工後的穩定性分析。
    • 基礎的長期承載力計算。
    • 地下水位較高的土體，且載荷施加緩慢。
  • 適用於滲流性較好的土體，如砂土。

2. 壓密不排水 (Consolidated Undrained, CU) 試驗

• 排水條件：

  • 固結階段 (Consolidation Stage)： 允許排水。施加圍壓 ($\sigma_3$)，並允許試樣在圍壓下充分固結，孔隙水壓力完全消散。
  • 剪切階段 (Shearing Stage)： 不允許排水。在固結平衡後，在不排水條件下施加軸向荷載。由於不排水，剪切過程中施加的偏應力會引起孔隙水壓力的變化（增加或減少）。

• 獲得的強度參數：

  • 總應力參數： 雖然試驗中測量了孔隙水壓力，但如果僅使用總應力來繪製摩爾圓，可以得到總應力參數 $c$ 和 $\phi$。
  • 有效應力參數： 通過測量剪切時的孔隙水壓力變化 $(\Delta u)_f$，可以計算出有效應力狀態，進而得到有效應力參數 $c'$ 和 $\phi'$。
  • 此試驗模擬了中等加載速率，土體排水不完全的情況。

• 適用場地應用：

  • 用於評估黏土的短期（short-term）或中等時間內的穩定性問題，例如：
    • 邊坡在開挖後的穩定性分析（因為開挖會改變應力狀態，且黏土排水較慢）。
    • 基礎的短期承載力計算。
    • 地震作用下的穩定性分析（地震載荷快速，土體排水不及）。
  • 適用於滲流性較差的土體，如黏土。

3. 不排水不壓密 (Unconsolidated Undrained, UU) 試驗

此題要求計算土層中點的初始有效上覆應力 ($\sigma'_{v0}$)。這需要根據土層剖面信息，計算該點的總應力、孔隙水壓力，然後求出有效應力。

核心觀念：

• 總應力 ($\sigma_v$)： 單位面積上承受的總重量，包括土顆粒和孔隙水的重量。
• 孔隙水壓力 ($u$)： 土壤孔隙中水的壓力，由水頭決定。
• 有效應力 ($\sigma'_v$)： 作用在土顆粒骨架上的應力，由總應力減去孔隙水壓力得到。
• 初始有效上覆應力 ($\sigma'_{v0}$)： 在施加填土壓力之前，該點所承受的有效應力。

計算步驟：

1. 確定土層剖面和水位：

• 土層剖面：
  • 頂部：砂層，厚度 4 m，飽和單位重度 $\gamma_{sat} = 18$ kN/m³。
  • 中間：正常壓密黏土層，厚度 5 m，飽和單位重度 $\gamma_{sat} = 17$ kN/m³。
  • 底部：密實砂層，非常厚。
• 地下水位： 在地表。
• 目標點： 黏土層的中點。

2. 計算目標點的深度：

• 黏土層厚度 = 5 m。
• 黏土層中點深度 = 5 m / 2 = 2.5 m。
• 該點距離地表總深度 = 頂部砂層厚度 + 黏土層中點深度 = 4 m + 2.5 m = 6.5 m。

3. 計算目標點的總應力 ($\sigma_{v0}$)：
總應力是從地表到該深度處所有土層的單位重度乘以厚度的總和。

• 頂部砂層的總應力貢獻：$\sigma_{v,sand} = \gamma_{sat,sand} \times H_{sand} = 18 \text{ kN/m}^3 \times 4 \text{ m} = 72 \text{ kPa}$。
• 黏土層中點的總應力貢獻：$\sigma_{v,clay\_mid} = \gamma_{sat,clay} \times H_{clay\_mid} = 17 \text{ kN/m}^3 \times 2.5 \text{ m} = 42.5 \text{ kPa}$。

此題要求根據實驗室的固結試驗數據，計算壓密係數 ($c_v$)。

核心觀念：

• 壓密係數 ($c_v$)： 表示土體在排水固結過程中，孔隙水壓力消散和體積變化的速率。它與土的滲流性和壓縮性有關。
• 固結度 (Degree of Consolidation, $U$)： 指在給定時間內，已消散的孔隙水壓力與總應消散的孔隙水壓力之比，或已發生的沉降與總沉降之比。
• 時間因子 (Time Factor, $T_v$)： 是無因次參數，與固結度 $U$ 和土層的幾何條件有關。對於相同的 $U$， $T_v$ 是常數。
• $c_v$ 的計算公式：
  $c_v = \frac{T_v H_{dr}^2}{t_{50\%}}$
  其中：
  • $c_v$ 是壓密係數。
  • $T_v$ 是對應於特定固結度 $U$ 的時間因子。
  • $H_{dr}$ 是排水路徑長度 (drainage path length)。
  • $t_{50\%}$ 是達到 50% 固結度所需的時間。

計算步驟：

1. 確定實驗室試驗條件：

• 試樣厚度：20 mm = 0.02 m。
• 排水條件：雙面排水 (double drainage)。
• 50% 固結度 ($U = 50\%$) 所需時間 ($t_{50\%}$) = 5 分鐘。
• 應力增量：題目提到 "under the same stress increment"，這表示實驗室試驗的應力增量 $\Delta\sigma$ 與 Part (a) 和 Part (c) 中即將討論的現場應力增量相同（或至少與其相關）。但計算 $c_v$ 本身，我們只需要 $U$ 和 $t$，以及 $H_{dr}$。

2. 確定排水路徑長度 ($H_{dr}$)：

• 試樣厚度 = 20 mm。
• 排水條件為雙面排水，意味著水可以從試樣的上下兩個表面排出。
• 因此，排水路徑長度是試樣厚度的一半。
  $H_{dr} = \frac{\text{試樣厚度}}{2} = \frac{20 \text{ mm}}{2} = 10 \text{ mm} = 0.01 \text{ m}$

3. 確定 50% 固結度對應的時間因子 ($T_v$)：

• 根據 Terzaghi 的一維壓縮理論，對於 $U \le 60\%$，時間因子 $T_v$ 可以近似計算為：
  $T_v = \frac{\pi}{4} U^2$
  其中 $U$ 是以小數表示的固結度。
• 當 $U = 50\% = 0.5$ 時：
  $T_{50\%} = \frac{\pi}{4} (0.5)^2 = \frac{\pi}{4} \times 0.25 = \frac{\pi}{16} \approx 0.1963$
• 注意： 題目提供的 Table 4.2 "Variation of $T_v$ with $U$" 是一個查表，我們可以直接查到 $U=50\%$ 對應的 $T_v$ 值。

此題要求估計黏土層的最終總沉降量 (ultimate primary consolidation settlement, $S_c$)。這需要利用初始有效上覆應力、應力增量、初始孔隙比以及壓縮指數來計算。

核心觀念：

• 最終沉降量 ($S_c$)： 在一次壓密過程中，土體經過足夠長的時間後，孔隙水壓力完全消散，土體達到最終的平衡狀態時所產生的總沉降量。
• 計算公式 (對於 NC 黏土)：
  $S_c = \frac{C_c}{1+e_0} H_0 \log_{10} \left( \frac{\sigma'_{vc}}{\sigma'_{v0}} \right)$
  其中：
  • $C_c$ 是壓縮指數 (compression index)。
  • $e_0$ 是初始孔隙比 (initial void ratio)。
  • $H_0$ 是原始土層厚度 (initial thickness of the layer)。
  • $\sigma'_{v0}$ 是初始有效上覆應力 (initial effective overburden stress)。
  • $\sigma'_{vc}$ 是最終有效上覆應力 (final effective overburden stress)。

計算步驟：

1. 確定所需參數：

• 黏土層厚度 ($H_0$)： 5 m (來自 Table 4.1)。
• 初始孔隙比 ($e_0$)： 0.80 (來自 Table 4.1)。
• 壓縮指數 ($C_c$)： 0.30 (來自 Table 4.1)。
• 初始有效上覆應力 ($\sigma'_{v0}$)： 在 Part (a) 中已計算得到，$\sigma'_{v0} = 50.735$ kPa。
• 最終有效上覆應力 ($\sigma'_{vc}$)： 需要根據施加的填土壓力來計算。

2. 計算最終有效上覆應力 ($\sigma'_{vc}$)：

• 填土壓力 ($\Delta\sigma$)： 40 kPa (題目給定)。
• 填土壓力對有效應力的影響： 填土壓力會增加土層中的總應力。由於填土發生在地表，它會均勻地增加所有下覆土層的總應力。
• 最終總應力 ($\sigma_{vc}$)：
  $\sigma_{vc} = \sigma_{v0} + \Delta\sigma$
  $\sigma_{vc} = 114.5 \text{ kPa} + 40 \text{ kPa} = 154.5 \text{ kPa}$
  （其中 $\sigma_{v0} = 114.5$ kPa 是 Part (a) 中計算的初始總應力）。

此題要求計算在現場黏土層達到 90% 固結度所需的時間。這需要利用實驗室得到的壓密係數 ($c_v$) 和現場的排水條件來計算。

核心觀念：

• 現場固結時間計算：
  $t = \frac{T_v H_{dr}^2}{c_v}$
  其中：
  • $t$ 是達到目標固結度所需的時間。
  • $T_v$ 是對應於目標固結度 $U$ 的時間因子。
  • $H_{dr}$ 是現場土層的排水路徑長度。
  • $c_v$ 是壓密係數。

計算步驟：

1. 確定已知參數：

• 壓密係數 ($c_v$)： 在 Part (b) 中已計算得到，$c_v = 3.94 \text{ mm}^2/\text{min}$ (或 $6.57 \times 10^{-8} \text{ m}^2/\text{s}$)。為了方便計算，我們使用 mm²/min 的單位。
• 目標固結度 ($U$)： 90%。

2. 確定現場的排水路徑長度 ($H_{dr}$)：

• 黏土層厚度 = 5 m。
• Table 4.1 顯示黏土層是 "Normally Consolidated Clay"。
• Table 4.1 的 "Properties" 列沒有明確說明黏土層的排水條件，但通常情況下，若未特別指明，其頂部和底部都有較厚的砂層，且地下水位在地表，可以認為黏土層是雙面排水 (double drainage)。
  • 雙面排水： 水可以從黏土層的頂部（砂層）和底部（密實砂層）排出。
  • 排水路徑長度 $H_{dr}$ 是黏土層厚度的一半。
    $H_{dr} = \frac{\text{黏土層厚度}}{2} = \frac{5 \text{ m}}{2} = 2.5 \text{ m} = 2500 \text{ mm}$

3. 查找 90% 固結度對應的時間因子 ($T_v$)：

• 從 Table 4.2 (Variation of $T_v$ with $U$) 中查找 $U = 90\%$ 對應的 $T_v$ 值。
• 查表可知，當 $U = 90\%$ 時，$T_v = 0.848$。

核心觀念

本題要求飽和黏土在排水長期條件下的極限承載力，因此採用有效應力參數：

• 有效凝聚力：$c'=15\ \text{kPa}$
• 有效摩擦角：$\phi'=30^\circ$
• 有效單位重：$\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w$
• 基礎底面有效上覆壓力：$q'=\gamma'D_f$

題目指定使用一般承載力公式、De Beer 形狀因子與 Hansen 深度因子。荷載垂直作用，因此傾斜因子皆為 $1$。

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一、有效單位重與基礎底面應力

取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$：

$$\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w =19-9.81 =9.19\ \text{kN/m}^3$$

地下水位位於地表，故基礎底面以上土層也必須採浮重計算：

$$q'=\gamma'D_f =9.19(1.5) =13.785\ \text{kPa}$$

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二、承載力因子

對 $\phi'=30^\circ$：

$$N_q=e^{\pi\tan\phi} \tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$$ $$N_q=e^{\pi\tan30^\circ}\tan^2(60^\circ) =18.40$$ $$N_c=(N_q-1)\cot\phi$$ $$N_c=(18.40-1)\cot30^\circ =30.14$$

依 Hansen 常用定義：

$$N_\gamma=1.5(N_q-1)\tan\phi$$ $$N_\gamma=1.5(18.40-1)\tan30^\circ =15.07$$

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三、De Beer 形狀因子

方形基礎的長寬比為：

$$\frac{B}{L}=1$$

De Beer 形狀因子為：

$$F_{cs}=1+\frac{B}{L}\frac{N_q}{N_c} =1+\frac{18.40}{30.14} =1.611$$ $$F_{qs}=1+\frac{B}{L}\tan\phi =1+\tan30^\circ =1.577$$ $$F_{\gamma s}=1-0.4\frac{B}{L} =1-0.4 =0.600$$

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四、Hansen 深度因子

基礎深寬比為：

$$\frac{D_f}{B}=\frac{1.5}{3}=0.5$$

Hansen 深度因子：

此題要求計算淺基礎在不排水（短期）條件下的極限承載力 ($q_u$)。這通常採用 $\phi=0$ 分析，即假設土體在不排水條件下表現為純黏性土。

核心觀念：

• 不排水分析 ($\phi=0$ 分析)： 在短期內，對於飽和黏土，其強度主要由不排水抗剪強度 $c_u$ 決定，而有效摩擦角 $\phi'$ 的影響較小。在 $\phi=0$ 分析中，土體被視為具有黏聚力 $c_u$ 和零摩擦角。
• 通用承載力公式 ($\phi=0$ 版本)：
  $q_u = c_u N_c F_{cs} F_{cd} F_{ci} + q N_q F_{qs} F_{qd} F_{qi} + 0.5\gamma B N_\gamma F_{\gamma s} F_{\gamma d} F_{\gamma i}$
  在 $\phi=0$ 分析中，承載力係數的取值為：
  • $N_c = 5.14$ (對應 $\phi'=0^\circ$)
  • $N_q = 1.00$ (對應 $\phi'=0^\circ$)
  • $N_\gamma = 0.00$ (對應 $\phi'=0^\circ$)
    並且，公式中的 $c$ 應為 $c_u$，而 $q$ 應使用總上覆應力（不考慮有效性）。

計算步驟：

1. 確定土壤和基礎參數：

• 基礎類型： 方形基礎 (Square footing)。

• 寬度 (B)： 3 m。

• 埋深 (Df)： 1.5 m。

• 土壤性質 (不排水條件)：

  • 飽和單位重度 ($\gamma_{sat}$) = 19 kN/m³。
  • 地下水位在地表。
  • 不排水抗剪強度 ($c_u$)： 50 kPa (題目給定)。
  • 總上覆應力 (q)： 基礎底面處的總上覆應力。
    $q = \gamma_{sat} \times D_f$
    $q = 19 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m} = 28.5 \text{ kPa}$
    （注意：在 $\phi=0$ 分析中，$q$ 使用總應力，而不是有效應力）。

• 承載力係數 ($N_c, N_q, N_\gamma$)：
  根據 $\phi'=0^\circ$ (用於 $\phi=0$ 分析)，查找 Table 5.1：

  • $N_c = 5.14$
  • $N_q = 1.00$
  • $N_\gamma = 0.00$

2. 計算形狀係數 (Shape Factors, De Beer, 1970)：

• 基礎寬度 B = 3 m，長度 L = 3 m。B/L = 1。

• $\phi'$ 在此用於計算係數，但此處 $\phi'=0$。

• 黏聚力項的形狀係數 ($F_{cs}$)：
  $F_{cs} = 1 + \frac{B}{L} \frac{N_q}{N_c} = 1 + (1) \frac{1.00}{5.14} \approx 1 + 0.1945 \approx 1.195$

• 上覆應力項的形狀係數 ($F_{qs}$)：
  $F_{qs} = 1 + \frac{B}{L} \tan \phi' = 1 + (1) \tan(0^\circ) = 1 + 0 = 1.00$

• 單位重度項的形狀係數 ($F_{\gamma s}$)：
  $F_{\gamma s} = 1 - 0.4 \frac{B}{L} = 1 - 0.4 (1) = 0.6$

此題要求判斷何種條件（排水或不排水）對基礎設計更為嚴苛（控制設計），然後計算在要求的安全係數下允許承載力。

1. 判斷控制設計的條件

• 排水條件 (Drained, Long-term)： 發生在土體有足夠時間排水，孔隙水壓力消散的情況下。強度參數為有效應力參數 ($c', \phi'$)。此時的極限承載力計算在 Part (a) 中得到，$q_u(\text{drained}) \approx 1648.1$ kPa。
• 不排水條件 (Undrained, Short-term)： 發生在加載快速，土體來不及排水，孔隙水壓力顯著的情況下。對於飽和黏土，通常採用 $\phi=0$ 分析，強度參數為不排水抗剪強度 ($c_u$)。此時的極限承載力計算在 Part (b) 中得到，$q_u(\text{undrained}) \approx 397.0$ kPa。

比較兩者：
$q_u(\text{drained}) \approx 1648.1$ kPa
$q_u(\text{undrained}) \approx 397.0$ kPa

由於 $q_u(\text{undrained}) < q_u(\text{drained})$，不排水條件下的極限承載力遠小於排水條件下的極限承載力。

控制設計的條件：
在土木工程設計中，通常採用最不利的情況來進行設計，以確保結構的安全。在基礎設計中，短期（不排水）承載力往往是更嚴苛的條件，因為土體在短期內強度較低。因此，不排水條件 (undrained condition) 控制著基礎的設計。

理由：

• 強度差異： 飽和黏土在短期內（不排水）的強度主要由其不排水抗剪強度 $c_u$ 決定，而長期（排水）強度則由有效應力參數 $c'$ 和 $\phi'$ 決定。