113 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《材料力學（B）》

本題考查細長壓桿的挫屈問題。

核心觀念：
歐拉公式適用於細長壓桿在軸向壓力作用下，當壓力達到某一臨界值時，壓桿會發生側面彎曲的現象，此時的壓力即為挫屈載荷。其推導通常基於微分方程或能量法。

解題過程：
對於固定-自由（fixed-free）邊界條件的壓桿，其挫屈微分方程為：
$EI \frac{d^4v}{dx^4} + P \frac{d^2v}{dx^2} = 0$
其中 $v(x)$ 為壓桿的撓曲線， $P$ 為軸向壓力。

此微分方程的通解為：
$v(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) + C x + D$
其中 $k = \sqrt{\frac{P}{EI}}$。

邊界條件為：

1. 在固定端 ($x=0$)： $v(0) = 0$ （位移為零）且 $v'(0) = 0$ （斜率為零）。
2. 在自由端 ($x=L$)： $v''(L) = 0$ （彎矩為零）且 $v'''(L) = 0$ （剪力為零）。

應用邊界條件：
由 $v(0)=0$，得 $B+D=0$。
由 $v'(0)=0$，得 $Ak = 0$。由於 $k \neq 0$（否則 $P=0$），則 $A=0$。
此時 $v(x) = B \cos(kx) + C x + D$。
因 $B+D=0$，故 $D=-B$，所以 $v(x) = B(\cos(kx) - 1) + Cx$。
由 $v'(x) = -Bk \sin(kx) + C$，應用 $v'(0)=0$ 得到 $C=0$。
所以，撓曲線為 $v(x) = B(\cos(kx) - 1)$。

接下來應用自由端的邊界條件：
$v''(x) = -Bk^2 \cos(kx)$
$v'''(x) = Bk^3 \sin(kx)$

在 $x=L$ 處：
$v''(L) = -Bk^2 \cos(kL) = 0$
$v'''(L) = Bk^3 \sin(kL) = 0$

若 $B=0$，則 $v(x) \equiv 0$，這表示沒有挫屈，是平凡解。
因此，我們需要非平凡解，即 $B \neq 0$。
從 $v''(L) = 0$，我們得到 $\cos(kL) = 0$。
從 $v'''(L) = 0$，我們得到 $\sin(kL) = 0$。
這兩個條件不可能同時滿足（除非 $kL$ 是 $\frac{\pi}{2} + m\pi$ 且 $m\pi$）。

核心觀念

三支承連續梁僅靠靜力平衡無法求解，需使用克拉培龍三彎矩定理。取下撓彎矩為正，A、B 為簡支端，因此

$$M_A=M_B=0.$$

跨距 $AC$ 長度為 $L_1$，跨距 $CB$ 長度為 $L_2$；跨距 $CB$ 無外載。

解題方法

三彎矩定理為

$$M_A L_1+2M_C(L_1+L_2)+M_B L_2 = -6\left( \frac{\mathcal A_1\bar{x}_1}{L_1} + \frac{\mathcal A_2\bar{x}_2}{L_2} \right),$$

其中 $\mathcal A_i$ 為各跨「簡支梁彎矩圖」的面積，$\bar{x}_i$ 為其形心位置。

跨距 $CB$ 無載重，所以 $\mathcal A_2=0$。

對跨距 $AC$：

1. 均佈載重 $q$ 所造成的彎矩圖為拋物線，其面積為

$$\mathcal A_q=\frac{qL_1^3}{12},$$

且形心位於跨距中央，因此

$$\frac{\mathcal A_q\bar{x}_q}{L_1} = \frac{qL_1^3}{24}.$$

2. 跨距中央集中力 $P$ 所造成的彎矩圖為三角形，最大彎矩為 $PL_1/4$，故面積為

$$\mathcal A_P=\frac{PL_1^2}{8},$$

形心同樣位於跨距中央，因此

核心觀念

此題使用薄壁封閉端圓筒壓力容器的膜應力，以及平面應力下的應變轉換。

令：

• 環向為 $\theta$ 方向；
• 軸向為 $z$ 方向；
• 應變計與水平面（環向）夾角為 $\beta=15^\circ$。

薄壁圓筒受內壓 $p$ 時：

$$\sigma_\theta=\frac{pr}{t},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}$$

因此 $\sigma_\theta=2\sigma_z$。材料為平面應力狀態，故：

$$\varepsilon_\theta=\frac{\sigma_\theta-\nu\sigma_z}{E}$$ $$\varepsilon_z=\frac{\sigma_z-\nu\sigma_\theta}{E}$$

應變計方向的正應變為：

$$\varepsilon_g =\varepsilon_\theta\cos^2\beta +\varepsilon_z\sin^2\beta$$

因為環向與軸向為主應力方向，兩者間沒有剪應變。

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解題方法

已知：

$$r=\frac{600}{2}=300\text{ mm},\qquad t=6\text{ mm}$$ $$E=200\text{ GPa}=200000\text{ MPa},\qquad \nu=0.3$$

令壓力 $p$ 以 $\text{MPa}$ 為單位，則：

$$\sigma_\theta=\frac{p(300)}{6}=50p$$ $$\sigma_z=\frac{p(300)}{2(6)}=25p$$

由廣義虎克定律：

$$\varepsilon_\theta =\frac{50p-0.3(25p)}{200000} =212.5\times10^{-6}p$$ $$\varepsilon_z =\frac{25p-0.3(50p)}{200000} =50.0\times10^{-6}p$$

應變計讀值為 $280\times10^{-6}$，且：

核心觀念

本題考查：

1. 對稱桁架的節點平衡。
2. 桿件軸向變形與材料彈塑性行為。
3. 彈性—完全塑性材料的降伏與卸載。
4. 載重、卸載時 $P-\Delta$ 曲線的分段建立。

由圖可知，$AC$、$BC$ 與水平夾角皆為 $30^\circ$，長度為 $2\ \text{m}$。令點 $C$ 向下位移為 $\Delta$，並以 $\Delta$ 作為曲線橫座標。

題目未標示桿 $CD$ 長度；以下採圖形幾何的合理假設：

$$L_{CD}=1\ \text{m}$$

截面積為

$$A=10\ \text{cm}^2=1.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

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解題方法

1. 斜桿 $AC$、$BC$ 的軸向變形

點 $C$ 向下位移 $\Delta$ 時，每根斜桿的軸向縮短量為

$$\delta_s=\Delta\sin30^\circ=\frac{\Delta}{2}$$

兩根斜桿皆受壓。

斜桿的彈性軸向勁度為

$$k_s=\frac{E_sA}{L_s} =\frac{(200\times10^9)(1.0\times10^{-3})}{2} =100\times10^6\ \text{N/m}$$

每根斜桿的壓力為

$$N_s=k_s\delta_s =(100\times10^6)\frac{\Delta}{2} =50\times10^6\Delta$$

兩根斜桿所提供的總向上分力為

$$2N_s\sin30^\circ=N_s$$

因此，斜桿對外力 $P$ 的貢獻為

$$P_s=50\times10^6\Delta \quad \text{N}$$

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2. 桿 $CD$ 的軸向力

桿 $CD$ 受拉，其伸長量為 $\Delta$。

其勁度為

$$k_D=\frac{E_DA}{L_{CD}} =\frac{(100\times10^9)(1.0\times10^{-3})}{1} =100\times10^6\ \text{N/m}$$

故桿 $CD$ 的拉力為

$$N_D=k_D\Delta=100\times10^6\Delta \quad \text{N}$$

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載重階段

3. 初始彈性階段

斜桿的降伏力為

$$N_y=\sigma_yA =(200\times10^6)(1.0\times10^{-3}) =200\times10^3\ \text{N} =200\ \text{kN}$$

斜桿達到降伏時：

$$50\times10^6\Delta_y=200\times10^3$$ $$\Delta_y=0.004\ \text{m}=4\ \text{mm}$$

此時桿 $CD$ 的力量為

$$N_D=(100\times10^6)(0.004)=400\ \text{kN}$$

總外力：

$$P_y=200+400=600\ \text{kN}$$

因此，初始彈性階段的 $P-\Delta$ 關係為

$$P=(50+100)\times10^6\Delta$$ $$\boxed{P=150000\Delta\quad(\text{kN})}$$

其中 $\Delta$ 以公尺表示。

第一個關鍵點為

$$Y=(\Delta,P)=(4\ \text{mm},600\ \text{kN})$$

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4. 斜桿降伏後

當斜桿進入完全塑性階段，每根斜桿的壓力維持為 $200\ \text{kN}$，兩根斜桿的總向上分力為

$$P_s=200\ \text{kN}$$

因此

$$P=200+100000\Delta \quad(\text{kN})$$

當外力增加至 $800\ \text{kN}$：

$$800=200+100000\Delta_{\max}$$ $$\Delta_{\max}=0.006\ \text{m}=6\ \text{mm}$$

最大載重點為

$$M=(6\ \text{mm},800\ \text{kN})$$

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