112 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《材料力學（B）》

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第 1 題25 分

As shown in Fig. 1, beam ACB is subjected to a concentrated load P at point B. Point A is supported with a hinge, and there is a roller support at point C. Beam ACB has a flexural rigidity of EI. Determine the deflection at point B using the Moment-area theorem.
(Ignore the self-weight of the beam, and express the answer in terms of P, EI and L.)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
A --- C --- B
L L/3
Fig. 1

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 1 頁

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核心觀念

由圖可知：

AC=L,CB=L3AC=L,\qquad CB=\frac{L}{3}

本題使用 Moment-area theorem：

  1. 兩點間的轉角變化等於 M/EIM/EI 圖的面積。

    θC−θA=∫ACMEI dx\theta_C-\theta_A=\int_A^C\frac{M}{EI}\,dx

  2. 某點相對於另一點切線的切線偏距，等於 M/EIM/EI 圖對該點的一次面積矩。

    tC/A=∫ACMEI(L−x) dxt_{C/A}=\int_A^C\frac{M}{EI}(L-x)\,dx

A、C 均為支承點，因此：

vA=vC=0v_A=v_C=0

但兩點的轉角不為零。

解題方法

1. 求支承反力與彎矩圖

取向上為正，由靜力平衡：

∑MA=0\sum M_A=0

RCL−P(L+L3)=0R_C L-P\left(L+\frac{L}{3}\right)=0

因此：

RC=4P3R_C=\frac{4P}{3}

再由垂直力平衡：

RA+RC−P=0R_A+R_C-P=0

RA=−P3R_A=-\frac{P}{3}

故 A 點實際反力方向向下。

以正彎矩為正，梁上全段皆為負彎矩：

在 ACAC 段：

MAC(x)=−P3x,0≤x≤LM_{AC}(x)=-\frac{P}{3}x,\qquad 0\leq x\leq L

在 CBCB 段：

MCB(x)=−P(4L3−x),L≤x≤4L3M_{CB}(x)=-P\left(\frac{4L}{3}-x\right),\qquad L\leq x\leq \frac{4L}{3}

彎矩圖為兩個三角形：

  • ACAC 段：由 A 點的 00 線性增加至 C 點的 −PL3-\dfrac{PL}{3}
  • CBCB 段：由 C 點的 −PL3-\dfrac{PL}{3} 線性減少至 B 點的 00

以下取向下撓度為正，因此曲率量取為 −M/EI-M/EI。

2. 求 C 點轉角

先利用 A、C 兩點撓度皆為零

ACAC 段的曲率圖面積為：

AAC=∫0L−MACEI dx=∫0LPx3EI dx=PL26EIA_{AC}=\int_0^L\frac{-M_{AC}}{EI}\,dx =\int_0^L\frac{Px}{3EI}\,dx =\frac{PL^2}{6EI}

其對 C 點的一次面積矩為：

QC=∫0LPx3EI(L−x) dx=PL318EIQ_C=\int_0^L\frac{Px}{3EI}(L-x)\,dx =\frac{PL^3}{18EI}

由第二定理，C 點相對於 A 點切線的切線偏距為：

tC/A=PL318EIt_{C/A}=\frac{PL^3}{18EI}

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第 2 題25 分

Two cylindrical rods made of the same steel material, are jointed at point C and restrained by fixed ends at point A and D. As shown in Fig. 2, there is an external torque T = 2(kN-m) carried at point B. Determine the reactions at point A and D.
(Given L = 50(cm), G = 78(GPa), d₁ = 80(mm), d₂ = 50(mm).)

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A --- C --- B --- D
L L 2L
Fig. 2

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核心觀念

本題是兩端固定、變直徑圓軸的扭轉超靜定問題。依圖：

  • AB=LAB=L、BC=LBC=L、CD=2LCD=2L
  • ACAC 段直徑為 d1d_1，CDCD 段直徑為 d2d_2
  • 固定端條件為 θA=θD=0\theta_A=\theta_D=0
  • 實心圓軸極慣性矩：
J=πd432J=\frac{\pi d^4}{32}

扭轉角公式為：

ϕ=TLGJ\phi=\frac{TL}{GJ}

僅靠靜力平衡無法求出兩端反力矩，還須配合扭轉變形相容條件。

解題方法

令 MAM_A、MDM_D 分別為 A、D 兩端反力矩的大小。兩者方向皆與外加扭矩 TT 相反。

由於 C 點沒有外加扭矩，BCBC 與 CDCD 內的扭矩大小皆為 MDM_D。

由左側 ABAB 段計算 B 點轉角：

θB=MALGJ1\theta_B=\frac{M_A L}{GJ_1}

由右側 B→C→DB\to C\to D 計算 B 點轉角：

θB=MDG(LJ1+2LJ2)\theta_B = \frac{M_D}{G} \left( \frac{L}{J_1}+\frac{2L}{J_2} \right)

因 A、D 皆固定，兩側算出的 θB\theta_B 必須相同，因此：

MALGJ1=MDG(LJ1+2LJ2)\frac{M_A L}{GJ_1} = \frac{M_D}{G} \left( \frac{L}{J_1}+\frac{2L}{J_2} \right)

整理得：

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第 3 題12 分

As shown in Fig. 3, a beam is subjected to a concentrated load P at point D, and the beam has a fixed end at point A, a moment release (i.e., internal hinge) at point B, and a roller support at point C. The beam has flexural rigidity EI, and there is an axial spring with stiffness k = EI/L³ placed at point B to further reduce the deflection at point B.
(a) Draw the shear diagram of the beam. (12%)
(b) Draw the moment diagram of the beam. (13%)
(Express all the answers in terms of E, I, P and L.)

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A --- B --- C --- D
L L 2L
k (at B)
Fig. 3

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核心觀念

本題考查：

  • 內鉸鏈 BB 的彎矩必為零：MB=0M_B=0。
  • 滾支承 CC 不提供彎矩。
  • 彈簧力與 BB 點位移的關係：
    S=kδB,k=EIL3S=k\delta_B,\qquad k=\frac{EI}{L^3}
  • 懸臂梁端點位移疊加法。
  • 剪力圖斜率為分布載重；本題各段無分布載重，因此剪力為常數，彎矩圖為直線。

取向上為正，彎矩正號採下凹（sagging）為正。

一、先分析右段 BCBC

BCBC 段沒有外力，且：

  • BB 為內鉸鏈，MB=0M_B=0
  • CC 為滾支承，MC=0M_C=0

因此 BCBC 段的剪力與彎矩皆為零：

VBC=0,MBC=0V_{BC}=0,\qquad M_{BC}=0

所以：

RC=0R_C=0

且 BB 點由右段傳回左段的鉸鏈垂直力亦為零。BB 點的垂直力僅由彈簧承擔。

二、求彈簧力

令彈簧對梁施加向上的力 SS。左段 ABAB 可視為長度 2L2L 的懸臂梁。

DD 點位於距離固定端 AA 為 LL 處，因此 PP 所造成的 BB 點向下位移為

δP=PL2[3(2L)−L]6EI=5PL36EI\delta_P = \frac{P L^2\left[3(2L)-L\right]}{6EI} = \frac{5PL^3}{6EI}

彈簧力 SS 作用於懸臂端點 BB，造成向上的位移

δS=−S(2L)33EI=−8SL33EI\delta_S = -\frac{S(2L)^3}{3EI} = -\frac{8SL^3}{3EI}

故 BB 點總位移為

δB=5PL36EI−8SL33EI\delta_B = \frac{5PL^3}{6EI} - \frac{8SL^3}{3EI}

由彈簧關係：

S=kδB=EIL3δBS=k\delta_B = \frac{EI}{L^3}\delta_B

代入得

S=5P6−8S3S = \frac{5P}{6}-\frac{8S}{3} 11S3=5P6\frac{11S}{3}=\frac{5P}{6}

因此

S=5P22\boxed{S=\frac{5P}{22}}

相應的 BB 點位移為

δB=Sk=5PL322EI\delta_B=\frac{S}{k} = \boxed{\frac{5PL^3}{22EI}}

方向向下。

三、支承反力

整體垂直力平衡：

RA+S−P=0R_A+S-P=0

因此

RA=P−S=P−5P22=17P22R_A=P-S = P-\frac{5P}{22} = \boxed{\frac{17P}{22}}

CC 點反力為

RC=0\boxed{R_C=0}

固定端反力矩由整體力矩平衡得：

MA+2LS−PL=0M_A+2LS-PL=0

故固定端反力矩為

MA=PL−2L(5P22)=6PL11M_A = PL-2L\left(\frac{5P}{22}\right) = \boxed{\frac{6PL}{11}}

方向為逆時針；內力彎矩圖在 AA 點的值則為

MA圖=−6PL11M_A^{\text{圖}}=-\frac{6PL}{11}

（a）剪力圖

剪力由左向右依序為：

AA 至 DD

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第 4 題20 分

Consider a simply supported beam with overhang, where point A is pinned support, and point C is a roller, as shown in Fig. 4. Before the concentrated load P is applied at segment AC, beam ACB just rests on top of an axial member BD. Therefore, once the load P is applied, the deflection at point B will induce an axial force for member BD. Assume beam ACB and member BD have the same Young's modulus E, and beam ACB has a flexural rigidity of EI.
(a) Assume that the maximum allowable shortening of member BD is 0.05(mm), what is the maximum permissible concentrated load P?
(Given E = 200(GPa), L = 1(m), Lc = 1(m), b = 15(mm), h = 30(mm), I = 227630.67(cm⁴).) (20%)
(b) Will member BD buckle under this maximum permissible concentrated load P? (Hint: consider member BD with a boundary condition of free-pinned column.) (5%)

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A --- C --- B (overhang)
L L
Beam ACB: Pinned at A, Roller at C. Overhang CB.
Member BD: Axial member, rests under B.
A=0, C=L, B=2L.
Fig. 4

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原卷第 2 頁

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核心觀念

本題考查：

  1. 梁的撓度與轉角。
  2. 軸向構件的變形：
    δBD=NBDLcAE\delta_{BD}=\frac{N_{BD}L_c}{AE}
  3. 梁與軸向桿件在 BB 點的變形相容。
  4. Euler 挫屈公式。

依圖，幾何關係為：

  • AP=PC=CB=L/2AP=PC=CB=L/2
  • AC=LAC=L
  • BD=LcBD=L_c

截面面積為

A=bh=(15)(30)=450 mm2A=bh=(15)(30)=450\ {\rm mm^2}

解題方法

將 BDBD 視為 BB 點的軸向彈簧。設桿件壓力為 NN，則 BB 點的壓縮量為

δ=NLcAE\delta=\frac{NL_c}{AE}

題目給定最大縮短量：

δmax⁡=0.05 mm\delta_{\max}=0.05\ {\rm mm}

因此桿件所承受的最大軸力為

Nmax⁡=AEδmax⁡LcN_{\max} =\frac{AE\delta_{\max}}{L_c}

代入

E=200 000 N/mm2,Lc=1000 mmE=200\,000\ {\rm N/mm^2},\qquad L_c=1000\ {\rm mm}

得

Nmax⁡=(450)(200 000)(0.05)1000=4500 N=4.5 kNN_{\max} =\frac{(450)(200\,000)(0.05)}{1000} =4500\ {\rm N} =4.5\ {\rm kN}

(a) 最大允許集中載重

對 BB 點施加單位垂直力，利用虛功法可得梁端 BB 點柔度：

fBB=1EI[∫0LMu2 dx+∫L3L/2Mu2 dx]f_{BB} =\frac{1}{EI} \left[ \int_0^L M_u^2\,dx+ \int_L^{3L/2}M_u^2\,dx \right]

其中

Mu={x2,0≤x≤L,3L2−x,L≤x≤3L2.M_u= \begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0\le x\le L,\\[6pt] \dfrac{3L}{2}-x, & L\le x\le \dfrac{3L}{2}. \end{cases}

故

fBB=L38EIf_{BB} =\frac{L^3}{8EI}

集中力 PP 作用於 ACAC 中點時，BB 點的撓度為

δB,P=PL332EI\delta_{B,P} =\frac{PL^3}{32EI}

梁端支承力 NN 會抵抗 BB 點位移，因此相容條件為

δmax⁡=PL332EI−NL38EI\delta_{\max} = \frac{PL^3}{32EI} -\frac{NL^3}{8EI}

整理得

P=32EIL3δmax⁡+4NP = \frac{32EI}{L^3}\delta_{\max}+4N

梁的截面二次矩：

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第 4 題20 分

Consider a simply supported beam with overhang, where point A is pinned support, and point C is a roller, as shown in Fig. 4. Before the concentrated load P is applied at segment AC, beam ACB just rests on top of an axial member BD. Therefore, once the load P is applied, the deflection at point B will induce an axial force for member BD. Assume beam ACB and member BD have the same Young's modulus E, and beam ACB has a flexural rigidity of EI.
(a) Assume that the maximum allowable shortening of member BD is 0.05(mm), what is the maximum permissible concentrated load P?
(Given E = 200(GPa), L = 1(m), Lc = 1(m), b = 15(mm), h = 30(mm), I = 227630.67(cm⁴).) (20%)
(b) Will member BD buckle under this maximum permissible concentrated load P? (Hint: consider member BD with a boundary condition of free-pinned column.) (5%)

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A --- C --- B (overhang)
L L
Beam ACB: Pinned at A, Roller at C. Overhang CB.
Member BD: Axial member, rests under B.
A=0, C=L, B=2L.
Fig. 4

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核心觀念

本題考查：

  1. 梁的撓度與轉角。
  2. 軸向構件的變形：
    δBD=NBDLcAE\delta_{BD}=\frac{N_{BD}L_c}{AE}
  3. 梁與軸向桿件在 BB 點的變形相容。
  4. Euler 挫屈公式。

依圖，幾何關係為：

  • AP=PC=CB=L/2AP=PC=CB=L/2
  • AC=LAC=L
  • BD=LcBD=L_c

截面面積為

A=bh=(15)(30)=450 mm2A=bh=(15)(30)=450\ {\rm mm^2}

解題方法

將 BDBD 視為 BB 點的軸向彈簧。設桿件壓力為 NN，則 BB 點的壓縮量為

δ=NLcAE\delta=\frac{NL_c}{AE}

題目給定最大縮短量：

δmax⁡=0.05 mm\delta_{\max}=0.05\ {\rm mm}

因此桿件所承受的最大軸力為

Nmax⁡=AEδmax⁡LcN_{\max} =\frac{AE\delta_{\max}}{L_c}

代入

E=200 000 N/mm2,Lc=1000 mmE=200\,000\ {\rm N/mm^2},\qquad L_c=1000\ {\rm mm}

得

Nmax⁡=(450)(200 000)(0.05)1000=4500 N=4.5 kNN_{\max} =\frac{(450)(200\,000)(0.05)}{1000} =4500\ {\rm N} =4.5\ {\rm kN}

(a) 最大允許集中載重

對 BB 點施加單位垂直力，利用虛功法可得梁端 BB 點柔度：

fBB=1EI[∫0LMu2 dx+∫L3L/2Mu2 dx]f_{BB} =\frac{1}{EI} \left[ \int_0^L M_u^2\,dx+ \int_L^{3L/2}M_u^2\,dx \right]

其中

Mu={x2,0≤x≤L,3L2−x,L≤x≤3L2.M_u= \begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0\le x\le L,\\[6pt] \dfrac{3L}{2}-x, & L\le x\le \dfrac{3L}{2}. \end{cases}

故

fBB=L38EIf_{BB} =\frac{L^3}{8EI}

集中力 PP 作用於 ACAC 中點時，BB 點的撓度為

δB,P=PL332EI\delta_{B,P} =\frac{PL^3}{32EI}

梁端支承力 NN 會抵抗 BB 點位移，因此相容條件為

δmax⁡=PL332EI−NL38EI\delta_{\max} = \frac{PL^3}{32EI} -\frac{NL^3}{8EI}

整理得

P=32EIL3δmax⁡+4NP = \frac{32EI}{L^3}\delta_{\max}+4N

梁的截面二次矩：

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