111 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《材料力學（B）》

核心觀念

本題屬於**一度靜不定梁（Statically Indeterminate Beam）**的支承反力分析。梁在 $A$ 點為鉸支承（Hinge），$C$ 與 $B$ 點為滾支承（Roller），共有 3 個垂直支承反力與 1 個水平反力（水平反力 $H_A = 0$）。平面靜力平衡方程式僅有 2 個（$\sum F_y = 0$、$\sum M = 0$），因此靜不定度為 $3 - 2 = 1$ 度。

求解時必須結合靜力平衡條件與變形諧和條件（Compatibility Condition），常用方法包括：

1. 力法（Force Method / Method of Consistent Deformations）：將支承反力 $R_B$ 視為多餘力（Redundant），解除支承後計算外力與多餘力所引起的位移，令 $B$ 點總垂直位移為零。
2. 三彎矩方程式（Three-Moment Equation）或傾角撓度法（Slope-Deflection Method）：以支承 $C$ 處的內彎矩 $M_C$ 或轉角 $\theta_C$ 為未知數求解。

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解題方法

本題採用**力法（變形諧和法）**進行推導，過程最為直觀清晰。

步驟一：選定基本靜定結構與多餘未知力

選取 $B$ 點的支承反力 $R_B$ 作為多餘力（設向下為正方向）：

• 基本靜定結構：移除 $B$ 點滾支承，梁退化為跨度 $L_1$（支承 $A$ 至 $C$）且外伸長度為 $L_2$（懸臂段 $CB$）的外伸梁。

步驟二：外力作用下基本結構在 $B$ 點的位移 $\Delta_{B0}$

在基本結構上，均勻分佈載重 $q$ 僅作用於 $AC$ 段：

1. $AC$ 段簡支梁在右端支承 $C$ 產生的旋轉角 $\theta_{C0}$：
   均佈載重向下作用，造成梁向下彎曲，在支承 $C$ 處的切線向右上方傾斜（逆時針方向）： $$\theta_{C0} = \frac{q L_1^3}{24 EI}$$
2. 外伸段 $CB$ 無載重作用，保持為直線，隨著支承 $C$ 的轉角而向上翹起：
   因此 $B$ 點產生的垂直向上位移為： $$\Delta_{B0} = L_2 \cdot \theta_{C0} = \frac{q L_1^3 L_2}{24 EI} \quad (\text{向上} \uparrow)$$

步驟三：單位力在 $B$ 點引起的柔度係數 $f_{BB}$

在基本結構的 $B$ 點施加一向下之單位載重 $1 \downarrow$：

1. 內力彎矩方程式：
   • 在懸臂段 $CB$（取距 $B$ 點距離 $x$，$0 \le x \le L_2$）： $$m(x) = -1 \cdot x$$ 在 $C$ 截面產生的端彎矩為 $M_C = -L_2$（上側受拉）。
   • 在跨度段 $AC$（取距 $A$ 點距離 $z$，$0 \le z \le L_1$）：
     端點 $A$ 彎矩為 0，端點 $C$ 彎矩為 $-L_2$，呈線性分佈： $$m(z) = -L_2 \left( \frac{z}{L_1} \right)$$
2. 利用虛功法（單位載重法）計算 $B$ 點向下柔度係數 $f_{BB}$：

核心觀念

本題考查外伸梁（Overhanging Beam）的內力分析與非對稱截面梁之純彎曲正應力（Flexural Stresses in Beams）：

1. 反力與彎矩圖分析：由靜力平衡方程式求出支承反力，繪製或推導剪力 $V(x)$ 與彎矩 $M(x)$ 分佈，找出梁內「最大正彎矩」與「最大負彎矩」之大小及發生位置。
2. 彎曲應力公式（Flexure Formula）： $$\sigma = -\frac{M y}{I_z}$$ 其中 $y$ 為距離形心軸（$z$ 軸）之垂直距離（向上為正）。
   • 當截面承受正彎矩（Sagging，下凸）時：截面上部受壓（壓縮應力 $\sigma_{\text{c}}$）、下部受拉（拉伸應力 $\sigma_{\text{t}}$）。
   • 當截面承受負彎矩（Hogging，上凸）時：截面上部受拉（拉伸應力 $\sigma_{\text{t}}$）、下部受壓（壓縮應力 $\sigma_{\text{c}}$）。
3. 容許應力檢核（Allowable Stress Design）：由於截面非對稱（形心至頂端距離 $c_1$ 與至底端距離 $c_2$ 不同），且材料的容許拉應力 $\sigma_{\text{at}}$ 與容許壓應力 $\sigma_{\text{ac}}$ 不等，必須針對「正彎矩斷面」與「負彎矩斷面」的頂部與底部共 4 個極限應力狀態進行全面檢核，取其最嚴格者（最小值）作為最大容許載重 $q$。

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解題方法

1. 支承反力計算

梁全長為 $L = L_1 + L_2 = 3.0\text{ m} + 1.5\text{ m} = 4.5\text{ m}$，全梁受均佈載重 $q$ 作用。
取全梁為自由體，對鉸支承 $A$ 取力矩平衡：

$$\sum M_A = 0 \implies R_C \cdot L_1 - q(L_1 + L_2)\cdot \frac{L_1 + L_2}{2} = 0$$

代入數值：

$$R_C \cdot 3.0 - q(4.5)\cdot \frac{4.5}{2} = 0 \implies 3.0 R_C = 10.125 q \implies R_C = 3.375 q = \frac{27}{8}q\text{ (kN)}$$

由垂直方向力平衡 $\sum F_y = 0$：

$$R_A = q(4.5) - R_C = 4.5 q - 3.375 q = 1.125 q = \frac{9}{8}q\text{ (kN)}$$

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2. 彎矩分佈與極值求解

1. 跨徑 $AC$ 內（$0 \le x \le 3.0\text{ m}$）：
   剪力方程式為：

   $$V(x) = R_A - q x = 1.125 q - q x$$

   令剪力為零 $V(x) = 0$，得到跨徑內產生最大正彎矩之位置：

   $$x_m = \frac{1.125 q}{q} = 1.125\text{ m}$$

   該處之最大正彎矩 $M_{\max}^+$ 為：

   $$M_{\max}^+ = R_A x_m - \frac{1}{2}q x_m^2 = \frac{1}{2}\frac{R_A^2}{q} = \frac{(1.125 q)^2}{2q} = 0.6328125 q\text{ (kN}\cdot\text{m)}$$

2. 支承 $C$ 處（$x = 3.0\text{ m}$）：
   由外伸段 $CB$（長度 $L_2 = 1.5\text{ m}$）取隔離體，支承 $C$ 截面之負彎矩為：

   $$M_C = -\frac{1}{2}q L_2^2 = -\frac{1}{2}q(1.5)^2 = -1.125 q\text{ (kN}\cdot\text{m)}$$

   故最大負彎矩之絕對值為 $|M_{\max}^-| = 1.125 q\text{ (kN}\cdot\text{m)}$。

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3. 截面應力與容許載重 $q$ 檢核

由圖 2-2，截面形心軸距頂端距離 $c_1 = 18.48\text{ mm}$，距底端距離 $c_2 = 61.52\text{ mm}$。
截面慣性矩 $I_z = 2.469 \times 10^6\text{ mm}^4$。
容許拉應力 $\sigma_{\text{at}} = 105\text{ MPa}$，容許壓應力 $\sigma_{\text{ac}} = 90\text{ MPa}$。

為方便計算，注意單位換算：

$$\sigma = \frac{M \cdot c}{I_z} \implies M_{\text{allow}} = \frac{\sigma_{\text{allow}} \cdot I_z}{c}$$

核心觀念

本題屬於靜不定扭轉問題（Statically Indeterminate Torsion Problem），求解需結合以下三個核心條件：

1. 靜力平衡方程式（Equilibrium Equation）：
   受扭桿件整體繞軸線之扭矩合力矩必須為零：
   $\sum T_x = 0$

2. 變形協調條件（Compatibility Condition）：
   圓桿兩端 $A$ 與 $D$ 皆為固定端（fixed supports），故兩端之間的相對扭轉角必為零：
   $\phi_{D/A} = \phi_D - \phi_A = 0$

3. 力與變形之物理關係（Torque-Twist Relationship）：
   均勻等截面彈性圓桿在純扭矩 $T$ 作用下，長度 $L_i$ 區段的扭轉角公式為：
   $\phi_i = \frac{T_i L_i}{G J}$
   其中 $G$ 為材料之剪變模數（Shear Modulus），$J$ 為圓形截面之極慣性矩（Polar Moment of Inertia）。若題目將材料性質給定為彈性模數 $E$ 與卜松比 $\nu$，則剪變模數關係為 $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$。

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解題方法與詳細推導

1. 幾何長度與受力設定

依題圖 Fig. 3，圓桿全長為 $L$，各區段長度分別為：

• $L_{AB} = \frac{3}{10}L = 0.3L$
• $L_{BC} = \frac{3}{10}L = 0.3L$
• $L_{CD} = \frac{4}{10}L = 0.4L$

外加扭矩方向規定：

• 在點 $B$ 作用扭矩 $T_B = T_0$（turning into the paper，轉入紙面方向）。
• 在點 $C$ 作用扭矩 $T_C = 2T_0$（turning out of the paper，轉出紙面方向）。

以右手定則設定由 $A$ 指向 $D$（向右）為軸向正向：

• 轉入紙面（top into paper）對應軸向向右之向量，記為正號（$+T_0$）。
• 轉出紙面（top out of paper）對應軸向向左之向量，記為負號（$-2T_0$）。

2. 求支承反力 $T_A$ 與 $T_D$

設固定端 $A$ 與 $D$ 施加於桿件的支承反力扭矩分別為 $T_A$ 與 $T_D$（均假設其向量指向轉入紙面方向，即正向）。

(a) 整體靜力平衡方程式

桿件整體繞軸線之扭矩平衡：
$\sum T = T_A + T_B + T_C + T_D = 0$
$T_A + T_0 - 2T_0 + T_D = 0 \implies T_A + T_D = T_0$

(b) 變形協調條件（位移法／重疊法）

利用雙端固定樑／桿之標準扭矩分配公式（或取截面列出內力扭矩）：
由固定端 $A$ 往右取截面，各段內力扭矩（以轉入紙面為正）為：

• $AB$ 段（$0 < x < 0.3L$）：
  $T_{AB} = -T_A$
• $BC$ 段（$0.3L < x < 0.6L$）：
  $T_{BC} = -T_A + T_0$
• $CD$ 段（$0.6L < x < L$）：
  $T_{CD} = -T_A + T_0 - 2T_0 = -T_A - T_0$

亦可直接採用重疊法（Superposition Method）：對於長度為 $L$、兩端固定之均勻圓桿，於距離左端 $a$、距離右端 $b$ 處受集中扭矩 $T$ 作用時，兩端所產生的抗盤反力扭矩分別為：
$T_A = T \frac{b}{L}, \quad T_D = T \frac{a}{L}$

將外加扭矩分別疊加：

• 外加扭矩 $T_0$ 作用於 $B$（$a_1 = 0.3L, b_1 = 0.7L$，轉入紙面）：

  • 於 $A$ 端產生之反力：$T_{A1} = T_0 \frac{0.7L}{L} = 0.7T_0$（轉出紙面）
  • 於 $D$ 端產生之反力：$T_{D1} = T_0 \frac{0.3L}{L} = 0.3T_0$（轉出紙面）

• 外加扭矩 $2T_0$ 作用於 $C$（$a_2 = 0.6L, b_2 = 0.4L$，轉出紙面）：

  • 於 $A$ 端產生之反力：$T_{A2} = (2T_0) \frac{0.4L}{L} = 0.8T_0$（轉入紙面）
  • 於 $D$ 端產生之反力：$T_{D2} = (2T_0) \frac{0.6L}{L} = 1.2T_0$（轉入紙面）

• 疊加求得淨支承反力（以轉入紙面為正）：
  $T_A = -0.7T_0 + 0.8T_0 = 0.1T_0 = \frac{1}{10}T_0 \quad (\text{轉入紙面，turning into the paper})$

核心觀念

本題結合「應變花換算」與「梁的組合受力」。先由應變計讀值求出 $a$ 點的正應力、剪應力，再利用軸力、彎矩與矩形斷面剪應力公式反求荷重。

平面應變轉換式為

$$\varepsilon_\theta =\varepsilon_x\cos^2\theta+\varepsilon_y\sin^2\theta +\gamma_{xy}\sin\theta\cos\theta,$$

其中 $\gamma_{xy}$ 為工程剪應變。依梁理論，$a$ 點的應力分量為 $\sigma_x$ 與 $\tau_{xy}$，故

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}, \qquad \varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x, \qquad \tau_{xy}=G\gamma_{xy}.$$

解題方法

一、判讀斷面與量測位置

由圖可知，梁的矩形斷面寬度為 $60\text{ mm}$、高度為 $32\text{ mm}$。$a$ 點位於上表面中央線；圖中的 $30\text{ mm}$ 是半寬，而 $24\text{ mm}$ 是沿 $X$ 方向距固定端的長度。因此，以斷面形心為座標原點，

$$y_a=0,\qquad z_a=16\text{ mm}.$$

$a$ 點至 $P_1$ 作用處的距離為 $180\text{ mm}$。斷面面積與繞 $Y$ 軸的慣性矩為

$$A=60(32)=1920\text{ mm}^2,$$ $$I_y=\frac{60(32)^3}{12} =163840\text{ mm}^4.$$

二、由應變讀值求 $\sigma_x$ 與 $\tau_{xy}$

應變計 $E$ 沿 $X$ 方向，因此

$$\varepsilon_x=\varepsilon_E=91.95\times10^{-6}.$$

利用 $E=200000\text{ MPa}$、$\nu=0.3$，得到

$$\sigma_x =200000(91.95\times10^{-6}) =18.39\text{ MPa},$$ $$\varepsilon_y =-0.3(91.95\times10^{-6}) =-27.585\times10^{-6}.$$

應變計 $F$ 與 $X$ 軸夾角為 $60^\circ$，故

$$\varepsilon_F =\frac14\varepsilon_x+\frac34\varepsilon_y +\frac{\sqrt3}{4}\gamma_{xy}.$$

代入已知讀值：

$$-0.12\times10^{-6} =2.29875\times10^{-6} +\frac{\sqrt3}{4}\gamma_{xy},$$

因此

$$\gamma_{xy}=-5.586\times10^{-6}.$$

採用題給 $G=70000\text{ MPa}$，可得

$$\tau_{xy} =70000(-5.586\times10^{-6}) \approx-0.3910\text{ MPa}.$$

三、反求 $P_1$ 與 $P_2$

$10\text{ kN}$ 沿正 $X$ 方向，造成均勻拉應力。$P_1$ 向下，使懸臂梁上表面受拉；