111 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《結構學》

一、核心觀念

本題考的是「靜不定桁架的彈性內力分配」與「桿件失效後的內力重分配」。

依圖，$A、C$ 均為鉸支承，$CA$ 桿兩端沒有相對軸向位移，因此

$$N_{CA}=0.$$

取桿件軸力「拉力為正、壓力為負」。桿件達到強度時：

• 拉桿維持拉力強度，但增量勁度為零。
• 壓桿內力立即歸零，且失去勁度，須將該桿移除後重新分析。

本題在拉桿降伏之前，即因兩根壓桿相繼失效而形成機構。

二、解題方法：先以最小功原理求彈性內力

設兩根對角桿的軸力為

$$q=N_{DA},\qquad r=N_{CB}.$$

對角桿的方向餘弦為

$$\cos\theta=\frac{16}{20}=\frac45,\qquad \sin\theta=\frac{12}{20}=\frac35.$$

由 $D$ 點與 $B$ 點的平衡：

$$N_{DB}=-\frac45q,\qquad N_{DC}=-\frac35q,\qquad N_{BA}=-\frac35r,$$ $$\frac45(q-r)=P \quad\Longrightarrow\quad r=q-\frac54P.$$

各桿均具有相同的 $EA$，彈性互補應變能為

$$\begin{aligned} U^* &=\sum_i\frac{N_i^2L_i}{2EA}\\ &=\frac{1}{2EA}\left[ 20q^2+16\left(\frac45q\right)^2 +12\left(\frac35q\right)^2 +20r^2+12\left(\frac35r\right)^2 \right]\\ &=\frac{1}{2EA}\left(34.56q^2+24.32r^2\right). \end{aligned}$$

上式長度係數均以公尺計。將 $r=q-\frac54P$ 代入，於固定 $P$ 下使用最小功原理：

$$\frac{\partial U^*}{\partial q}=0 \quad\Longrightarrow\quad 34.56q+24.32r=0.$$

聯立平衡式可得

$$\boxed{ q=\frac{95}{184}P,\qquad r=-\frac{135}{184}P }.$$

因此，第一階段的桿力如下：

桿件	軸力	受力性質
$DA$	$\dfrac{95}{184}P$	拉力
$CB$	$-\dfrac{135}{184}P$	壓力
$DB$	$-\dfrac{19}{46}P$	壓力
$DC$	$-\dfrac{57}{184}P$	壓力
$BA$	$\dfrac{81}{184}P$	拉力
$CA$	$0$	零桿力

三、失效順序與極限外力

1. 第一根失效桿件：$CB$

$CB$ 的軸壓強度為 $288\text{ kN}$，故

$$\frac{135}{184}P_1=288 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_1=392.53\text{ kN}}.$$

此時其他桿件內力為

$$\begin{aligned} N_{DA}&=202.67\text{ kN},& N_{DB}&=-162.13\text{ kN},\\ N_{DC}&=-121.60\text{ kN},& N_{BA}&=172.80\text{ kN}. \end{aligned}$$

這些內力均未達各自強度，因此確定由 $CB$ 最先失效。

2. 移除 $CB$，求第二階段內力

$CB$ 失效後，$r=0$。由節點平衡得到

$$\boxed{ N_{DA}=\frac54P,\qquad N_{DB}=-P,\qquad N_{DC}=-\frac34P,\qquad N_{BA}=N_{CA}=0 }.$$

剩餘受力桿件各自達到強度所需的外力為

核心觀念

1. 范倫迪爾桁架（Vierendeel Truss）之受力特性：
   范倫迪爾桁架無斜腹桿，各構件交會處均為剛接節點（Rigid Joints），受側力或橫向載重時，構件以彎曲剪力變形為主，行為本質上為多跨多層之「剛架（Frame）」。
2. 反曲點法（Portal-like Approximate Method）假設：
   • 反曲點位置：在橫向載重作用下，構件呈雙曲率彎曲（Double Curvature），其彎矩為零的反曲點（Inflection Point）假設位於各構件之中央點。
   • 節間剪力分配：在任一切面中，上下弦桿之幾何斷面與剛度相同，故節間總剪力 $V_i$ 由上弦桿與下弦桿平均承擔，即 $V_{\text{top}} = V_{\text{bot}} = \dfrac{V_i}{2}$。
3. 軸力與彎矩之平衡關係：
   • 在各弦桿反曲點斷面上，弦桿彎矩為零，整體結構的外力彎矩 $M_{\text{ext}}$ 完全由上下弦桿形成之軸力偶抵抗：$N_{\text{chord}} = \dfrac{M_{\text{ext}}}{h}$（$h$ 為桁架高度）。
   • 各節點之水平平衡 $\sum F_x = 0$ 決定垂直腹桿之橫向剪力，或利用節點彎矩平衡 $\sum M = 0$ 直接求得垂直腹桿之桿端彎矩。

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解題方法與詳細計算

一、幾何條件與支承反力

• 幾何尺寸：
  • 共 6 個節間（Bay 1 至 Bay 6），每節間長度 $L = 6\text{ m}$，總跨度 $L_{\text{total}} = 6 \times 6 = 36\text{ m}$。
  • 桁架高度 $h = 10\text{ m}$。
  • 節點編號：下弦為 $A, B, C, D, E, F, G$（$x = 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36\text{ m}$）；上弦為 $H, I, J, K, L, M, N$。
• 外力載重：
  • 下弦節點 $B, C, D, E, F$ 各作用向下的集中載重 $200\text{ kN}$。
  • 總垂直外力：$P_{\text{total}} = 5 \times 200\text{ kN} = 1000\text{ kN}$。
• 支承反力（結構及載重完全對稱）：
  $R_A = 500\text{ kN}\;(\uparrow), \quad R_G = 500\text{ kN}\;(\uparrow), \quad H_A = 0$

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二、各節間剪力分配與弦桿彎矩

反曲點位於弦桿中點，距兩端節點距離均為 $\dfrac{L}{2} = 3\text{ m}$。各節間上下弦桿之端彎矩大小由弦桿剪力決定：
$M_{\text{chord}} = V_{\text{chord}} \times 3\text{ m} = \left(\frac{V_i}{2}\right) \times 3\text{ m} = 1.5 V_i$

1. 節間 1（$x = 0 \sim 6\text{ m}$，構件 HI、AB）：

   • 節間總剪力：$V_1 = R_A = 500\text{ kN}$
   • 上弦 HI 與下弦 AB 剪力：$V_{\text{HI}} = V_{\text{AB}} = \dfrac{500}{2} = 250\text{ kN}$
   • 桿端彎矩大小：
     $M = 250\text{ kN} \times 3\text{ m} = 750\text{ kN}\cdot\text{m}$
   • 受拉側判定：
     • 上弦 HI：$H$ 端下側受拉（$+750\text{ kN}\cdot\text{m}$），$I$ 端上側受拉（$-750\text{ kN}\cdot\text{m}$）
     • 下弦 AB：$A$ 端下側受拉（$+750\text{ kN}\cdot\text{m}$），$B$ 端上側受拉（$-750\text{ kN}\cdot\text{m}$）

2. 節間 2（$x = 6 \sim 12\text{ m}$，構件 IJ、BC）：

   • 節間總剪力：$V_2 = 500 - 200 = 300\text{ kN}$
   • 上弦 IJ 與下弦 BC 剪力：$V_{\text{IJ}} = V_{\text{BC}} = \dfrac{300}{2} = 150\text{ kN}$
   • 桿端彎矩大小：
     $M = 150\text{ kN} \times 3\text{ m} = 450\text{ kN}\cdot\text{m}$
   • 受拉側判定：
     • 上弦 IJ：$I$ 端下側受拉（$+450\text{ kN}\cdot\text{m}$），$J$ 端上側受拉（$-450\text{ kN}\cdot\text{m}$）
     • 下弦 BC：$B$ 端下側受拉（$+450\text{ kN}\cdot\text{m}$），$C$ 端上側受拉（$-450\text{ kN}\cdot\text{m}$）

3. 節間 3（$x = 12 \sim 18\text{ m}$，構件 JK、CD）：

   • 節間總剪力：$V_3 = 500 - 200 - 200 = 100\text{ kN}$
   • 上弦 JK 與下弦 CD 剪力：$V_{\text{JK}} = V_{\text{CD}} = \dfrac{100}{2} = 50\text{ kN}$
   • 桿端彎矩大小：
     $M = 50\text{ kN} \times 3\text{ m} = 150\text{ kN}\cdot\text{m}$
   • 受拉側判定：
     • 上弦 JK：$J$ 端下側受拉（$+150\text{ kN}\cdot\text{m}$），$K$ 端上側受拉（$-150\text{ kN}\cdot\text{m}$）
     • 下弦 CD：$C$ 端下側受拉（$+150\text{ kN}\cdot\text{m}$），$D$ 端上側受拉（$-150\text{ kN}\cdot\text{m}$）

4. 右半跨節間 4、5、6（$x = 18 \sim 36\text{ m}$）：

   • 依結構對稱性，受拉側與剪力方向呈對稱對應：
   • 節間 4（KL、DE）：端彎矩大小為 $150\text{ kN}\cdot\text{m}$（$K, D$ 端上側受拉，$L, E$ 端下側受拉）
   • 節間 5（LM、EF）：端彎矩大小為 $450\text{ kN}\cdot\text{m}$（$L, E$ 端上側受拉，$M, F$ 端下側受拉）
   • 節間 6（MN、FG）：端彎矩大小為 $750\text{ kN}\cdot\text{m}$（$M, F$ 端上側受拉，$N, G$ 端下側受拉）

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三、上下弦桿之軸力計算（AFD）

在各節間中央反曲點斷面上，弦桿之彎矩均為零，外力彎矩全部由上下弦桿形成之力偶（力臂 $h = 10\text{ m}$）平衡。結構整體向下彎曲，故上弦承受軸壓（$-$）、下弦承受軸拉（$+$）：

1. 節間 1（$x = 3\text{ m}$ 斷面）：
   $M_{\text{ext}}(3) = 500 \times 3 = 1500\text{ kN}\cdot\text{m}$
   $N_{\text{AB}} = +\frac{1500}{10} = +150\text{ kN}\;(\text{拉}), \quad N_{\text{HI}} = -150\text{ kN}\;(\text{壓})$

2. 節間 2（$x = 9\text{ m}$ 斷面）：
   $M_{\text{ext}}(9) = 500 \times 9 - 200 \times (9 - 6) = 4500 - 600 = 3900\text{ kN}\cdot\text{m}$
   $N_{\text{BC}} = +\frac{3900}{10} = +390\text{ kN}\;(\text{拉}), \quad N_{\text{IJ}} = -390\text{ kN}\;(\text{壓})$

3. 節間 3（$x = 15\text{ m}$ 斷面）：
   $M_{\text{ext}}(15) = 500 \times 15 - 200 \times 9 - 200 \times 3 = 7500 - 1800 - 600 = 5100\text{ kN}\cdot\text{m}$
   $N_{\text{CD}} = +\frac{5100}{10} = +510\text{ kN}\;(\text{拉}), \quad N_{\text{JK}} = -510\text{ kN}\;(\text{壓})$

4. 右半跨節間 4、5、6（由對稱性）：

   • 節間 4（KL、DE）：$N_{\text{DE}} = +510\text{ kN}\;(\text{拉}), \quad N_{\text{KL}} = -510\text{ kN}\;(\text{壓})$
   • 節間 5（LM、EF）：$N_{\text{EF}} = +390\text{ kN}\;(\text{拉}), \quad N_{\text{LM}} = -390\text{ kN}\;(\text{壓})$
   • 節間 6（MN、FG）：$N_{\text{FG}} = +150\text{ kN}\;(\text{拉}), \quad N_{\text{MN}} = -150\text{ kN}\;(\text{壓})$

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四、腹桿（垂直桿）之彎矩圖（BMD）

腹桿高度 $h = 10\text{ m}$，反曲點在其中點（距桿端 $5\text{ m}$）。各腹桿端彎矩可由節點力矩平衡 $\sum M = 0$ 直接求得：

1. 端部腹桿 AH 與 GN：

   • 節點 H 平衡：$\sum M_H = 0 \implies M_{\text{HA}} = M_{\text{HI}} = 750\text{ kN}\cdot\text{m}$
   • 桿端彎矩：頂端與底端均為 $750\text{ kN}\cdot\text{m}$（桁架內側受拉，中點為 0）。
   • 對稱側 GN：頂端與底端彎矩均為 $750\text{ kN}\cdot\text{m}$（桁架內側受拉）。

2. 腹桿 BI 與 FM：

   • 節點 I 平衡：$\sum M_I = 0 \implies M_{\text{IB}} = M_{\text{IH}} + M_{\text{IJ}} = 750 + 450 = 1200\text{ kN}\cdot\text{m}$
   • 桿端彎矩：頂端 $I$ 與底端 $B$ 均為 $1200\text{ kN}\cdot\text{m}$（桿端雙曲率彎曲，反曲點在桿中點）。
   • 對稱側 FM：頂端 $M$ 與底端 $F$ 均為 $1200\text{ kN}\cdot\text{m}$。

3. 腹桿 CJ 與 EL：

   • 節點 J 平衡：$\sum M_J = 0 \implies M_{\text{JC}} = M_{\text{JI}} + M_{\text{JK}} = 450 + 150 = 600\text{ kN}\cdot\text{m}$
   • 桿端彎矩：頂端 $J$ 與底端 $C$ 均為 $600\text{ kN}\cdot\text{m}$（雙曲率彎曲，反曲點在桿中點）。
   • 對稱側 EL：頂端 $L$ 與底端 $E$ 均為 $600\text{ kN}\cdot\text{m}$。

4. 中央腹桿 DK：

   • 位於對稱軸上，左右節間彎矩大小相等方向相反：
     $\sum M_K = M_{\text{KJ}} - M_{\text{KL}} = 150 - 150 = 0 \implies M_{\text{KD}} = 0$
   • 中央腹桿全桿彎矩恆為 $0$。

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內力圖彙整與數值分佈

1. 上下弦桿彎矩圖（BMD）

各桿件均為斜直線分佈（雙曲率，中央反曲點處為 0）：

[上弦桿 BMD] (單位：kN·m，以構件上/下側受拉標示)
     H         I         J         K         L         M         N
     +---------+---------+---------+---------+---------+---------+
端點: +750  -750+450  -450+150  -150-150  +150-450  +450-750  +750
     (各桿中央均為 0，正值表下側受拉，負值表上側受拉)

[下弦桿 BMD] (單位：kN·m，數值分佈與上弦桿完全相同)
     A         B         C         D         E         F         G
     +---------+---------+---------+---------+---------+---------+
端點: +750  -750+450  -450+150  -150-150  +150-450  +450-750  +750

2. 上下弦桿軸力圖（AFD）

各節間內軸力為常數（區塊狀）：

[上弦桿 AFD] (全受壓，單位：kN)
         HI             IJ             JK             KL             LM             MN
    [ -150 kN ]    [ -390 kN ]    [ -510 kN ]    [ -510 kN ]    [ -390 kN ]    [ -150 kN ]

[下弦桿 AFD] (全受拉，單位：kN)
         AB             BC             CD             DE             EF             FG
    [ +150 kN ]    [ +390 kN ]    [ +510 kN ]    [ +510 kN ]    [ +390 kN ]    [ +150 kN ]

3. 腹桿彎矩圖（BMD）

各垂直桿端點具最大值，向中點呈線性遞減至 0（單位：$\text{kN}\cdot\text{m}$）：

• 桿 AH（$x=0$）：頂端 $H = 750$，中點 $= 0$，底端 $A = 750$
• 桿 BI（$x=6\text{ m}$）：頂端 $I = 1200$，中點 $= 0$，底端 $B = 1200$
• 桿 CJ（$x=12\text{ m}$）：頂端 $J = 600$，中點 $= 0$，底端 $C = 600$
• 桿 DK（$x=18\text{ m}$）：全桿 $M = 0$
• 桿 EL（$x=24\text{ m}$）：頂端 $L = 600$，中點 $= 0$，底端 $E = 600$
• 桿 FM（$x=30\text{ m}$）：頂端 $M = 1200$，中點 $= 0$，底端 $F = 1200$
• 桿 GN（$x=36\text{ m}$）：頂端 $N = 750$，中點 $= 0$，底端 $G = 750$

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解題技巧與驗算

1. 節點水平平衡 $\sum F_x = 0$ 快速驗算：
   • 腹桿之橫向剪力 $V_v$ 必等於相鄰上弦（或下弦）軸力之差值：
     $V_{\text{AH}} = 150 - 0 = 150\text{ kN} \implies M = 150 \times 5 = 750\text{ kN}\cdot\text{m}$
     $V_{\text{BI}} = 390 - 150 = 240\text{ kN} \implies M = 240 \times 5 = 1200\text{ kN}\cdot\text{m}$
     $V_{\text{CJ}} = 510 - 390 = 120\text{ kN} \implies M = 120 \times 5 = 600\text{ kN}\cdot\text{m}$
     $V_{\text{DK}} = 510 - 510 = 0\text{ kN} \implies M = 0$
     計算結果與節點力矩平衡 $\sum M = 0$ 完全吻合。
2. 對稱性檢驗：
   中央腹桿 DK 恰位在結構之對稱軸上，在對稱載重下，該截面上剪力為零、節點轉角為零，故中央腹桿兩端彎矩恆為零。

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【答案】

1. 上下弦桿彎矩（端點值，單位 $\text{kN}\cdot\text{m}$，中央為反曲點 $0$）：
   • 節間 1（HI、AB）：端彎矩 $750$
   • 節間 2（IJ、BC）：端彎矩 $450$
   • 節間 3（JK、CD）：端彎矩 $150$
   • 節間 4（KL、DE）：端彎矩 $150$
   • 節間 5（LM、EF）：端彎矩 $450$
   • 節間 6（MN、FG）：端彎矩 $750$
2. 上下弦桿軸力（單位 $\text{kN}$）：
   • 上弦桿（全受壓）：$N_{\text{HI}} = N_{\text{MN}} = -150$；$N_{\text{IJ}} = N_{\text{LM}} = -390$；$N_{\text{JK}} = N_{\text{KL}} = -510$
   • 下弦桿（全受拉）：$N_{\text{AB}} = N_{\text{FG}} = +150$；$N_{\text{BC}} = N_{\text{EF}} = +390$；$N_{\text{CD}} = N_{\text{DE}} = +510$
3. 腹桿端彎矩（頂／底端值，單位 $\text{kN}\cdot\text{m}$，桿中央為反曲點 $0$）：
   • $M_{\text{AH}} = M_{\text{GN}} = 750$
   • $M_{\text{BI}} = M_{\text{FM}} = 1200$
   • $M_{\text{CJ}} = M_{\text{EL}} = 600$

核心觀念

1. 傾角變位法（Slope-Deflection Method）：
   以節點轉角 $\theta$ 與桿件弦轉角（側移角）$\psi = \frac{\Delta}{L}$ 為未知變位，表示各桿件端點彎矩的位移法。
   • 標準傾角變位公式（以順時針為正）： $$M_{ij} = FEM_{ij} + \frac{2EI}{L}\left(2\theta_i + \theta_j - 3\psi_{ij}\right)$$
   • 外端為鉸／滾支承之修正公式（若 $j$ 端無外加彎矩，$M_{ji} = 0$）： $$M_{ij} = \left(FEM_{ij} - \frac{1}{2}FEM_{ji}\right) + \frac{3EI}{L}\left(\theta_i - \psi_{ij}\right)$$
2. 正負號慣例：
   • 桿端彎矩 $M$、節點旋轉角 $\theta$、弦轉角 $\psi$ 均以順時針方向為正。
   • 固端彎矩（FEM）在均佈載重 $w$ 作用下： $$FEM_{左} = -\frac{wL^2}{12}, \quad FEM_{右} = +\frac{wL^2}{12}$$
3. 對稱性與弦轉角判定：
   本題之結構尺寸、EI、外載重 $w$ 以及支承 B、C 的垂直沉陷量 $\Delta$（向下）皆對梁中心對稱：
   • 對稱變位關係：$\theta_B = -\theta_C$、$\theta_A = -\theta_D$。
   • 弦轉角（取向下的沉陷量 $\Delta > 0$）：
     • 跨度 AB：A 點無沉陷，B 點向下沉陷 $\Delta$，桿件弦線呈順時針轉動： $$\psi_{AB} = +\frac{\Delta}{L}$$
     • 跨度 BC：B、C 兩端沉陷量相同（無相對位移）： $$\psi_{BC} = 0$$
     • 跨度 CD：C 點向下沉陷 $\Delta$，D 點無沉陷，桿件弦線呈逆時針轉動： $$\psi_{CD} = -\frac{\Delta}{L}$$
4. 斷面彎矩為零的力學條件：
   梁在 B 點斷面之彎矩為零，即該節點兩側之桿端彎矩皆為零： $$M_{BA} = 0, \quad M_{BC} = 0$$

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解題方法

步驟一：計算各桿件之固端彎矩（FEM）

各跨長度均為 $L$，承載均佈向下載重 $w$：

• 跨度 AB： $$FEM_{AB} = -\frac{wL^2}{12}, \quad FEM_{BA} = +\frac{wL^2}{12}$$
• 跨度 BC： $$FEM_{BC} = -\frac{wL^2}{12}, \quad FEM_{CB} = +\frac{wL^2}{12}$$

步驟二：列寫桿端傾角變位方程式

1. 跨度 BC（內部對稱跨）：
   因 $\psi_{BC} = 0$，且對稱條件 $\theta_C = -\theta_B$，代入標準公式：

   $$M_{BC} = FEM_{BC} + \frac{2EI}{L}\left(2\theta_B + \theta_C - 3\psi_{BC}\right)$$ $$M_{BC} = -\frac{wL^2}{12} + \frac{2EI}{L}\left(2\theta_B - \theta_B\right) = -\frac{wL^2}{12} + \frac{2EI}{L}\theta_B$$

2. 跨度 AB（外側跨，A 端為簡支承 $M_{AB} = 0$）：
   使用鉸端修正傾角變位公式表示 $M_{BA}$：

核心觀念

本題考查靜定桁架在非載重外因（支承沈陷、溫度變化、製造誤差）作用下的位移計算，解題核心為單位力法（虛功原理，Principle of Virtual Work）：

1. 靜定結構無初應力：
   此桁架節點數 $j = 8$、支承反力數 $r = 3$（A 為鉸支承 2 個反力，E 為滾支承 1 個反力）、桿件數 $m = 13$（下弦 4 桿、上弦 2 桿、垂直腹桿 3 桿、斜腹桿 4 桿）。
   $m + r = 13 + 3 = 16 = 2j$
   結構為外靜定且內靜定之桁架。在無外力載重作用下，溫度變化、製造誤差及支承沈陷不會在桿件內部產生任何真實軸力（即所有桿件之真實內力 $N_i = 0$），結構僅產生幾何變形與剛體位移。因此題目所附之楊氏係數 $E = 200\text{ GPa}$ 與斷面積 $A = 100\text{ mm}^2$ 為誘答資訊（$\Delta L_{P} = \frac{NL}{EA} = 0$）。

2. 桿件真實變形量 $\Delta L$：

   • 溫度變化造成之伸縮：$\Delta L_T = \alpha \Delta T L$（升溫為伸長 $+$，降溫為縮短 $-$）。
   • 製造誤差：$\Delta L_0$（長度過長為 $+$，太短為 $-$）。

3. 單位力法（虛力原理）通用方程式：
   在欲求位移點（F 點）沿所求方向（向下 $v$ 方向）施加一單位虛力 $1$。考慮支承運動之虛功方程式為：
   $1 \cdot \Delta = \sum_{i} n_i^* \Delta L_i - \sum R^* \cdot \Delta_{\text{support}}$
   其中：

   • $n_i^*$：單位虛力作用下各桿件之虛軸力（拉力為正、壓力為負）。
   • $\Delta L_i$：真實狀態下桿件之長度變化量。
   • $R^*$：單位虛力於支承處產生之虛反力（方向須與支承位移方向定義一致）。
   • $\Delta_{\text{support}}$：對應支承之已知沈陷位移量。

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解題方法與詳細步驟

步驟一：施加虛力系統與求支承虛反力

依題圖座標系，水平位移向右為 $+u$，垂直位移向下為 $+v$。欲求 F 點垂直位移 $v_F$，於節點 F 施加一向下之單位虛力 $1$。

• 桁架總跨度：$L_{AE} = 4 \times 8\text{ m} = 32\text{ m}$
• 節點水平座標：$x_A = 0$、$x_F = 8\text{ m}$、$x_G = 16\text{ m}$、$x_H = 24\text{ m}$、$x_E = 32\text{ m}$
• 支承反力平衡（假設反力方向：$A_x^*$ 向右、$A_y^*$ 向上、$E_y^*$ 向上）：
  $\sum F_x = 0 \implies A_x^* = 0$
  $\sum M_A = 0 \implies -E_y^* \times 32 + 1 \times 8 = 0 \implies E_y^* = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0.25\ (\uparrow)$
  $\sum F_y = 0 \implies A_y^* + E_y^* - 1 = 0 \implies A_y^* = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75\ (\uparrow)$

步驟二：支承沈陷所造成的剛體位移分量 $v_{F,\text{settle}}$

真實支承位移量：

• 支承 A：$u_A = 10\text{ mm}$（向右，$+u$ 方向）、$v_A = 15\text{ mm}$（向下，$+v$ 方向）
• 支承 E：$v_E = 12\text{ mm}$（向下，$+v$ 方向）

將虛反力投影至各沈陷方向（向下為正）：

• $R_{Ax}^* = A_x^* = 0$
• $R_{Ay}^* = -A_y^* = -0.75$（因 $A_y^*$ 向上，向下方向為 $-0.75$）
• $R_{Ey}^* = -E_y^* = -0.25$（因 $E_y^*$ 向上，向下方向為 $-0.25$）

由虛功方程式中支承沈陷項（或由梁／桁架兩端沈陷之線性剛體插值驗算）：
$v_{F,\text{settle}} = -\sum R^* \cdot \Delta_{\text{support}} = -\left[ R_{Ax}^* u_A + R_{Ay}^* v_A + R_{Ey}^* v_E \right]$
$v_{F,\text{settle}} = -\left[ 0 \times 10 + (-0.75) \times 15 + (-0.25) \times 12 \right]$
$v_{F,\text{settle}} = 0.75 \times 15 + 0.25 \times 12 = 11.25 + 3.0 = 14.25\text{ mm}\ (\downarrow)$

步驟三：計算虛軸力 $n^*$

各斜桿長度：
$L_{\text{斜}} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ m}$
$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8,\quad \sin\theta = \frac{6}{10} = 0.6$

分析有變形之關鍵桿件（BG 與 DG）之虛內力 $n^*$：

1. 節點 A：
   $\sum F_y = 0 \implies A_y^* + n_{AB}^* \sin\theta = 0 \implies 0.75 + n_{AB}^* (0.6) = 0 \implies n_{AB}^* = -1.25$
   $\sum F_x = 0 \implies n_{AF}^* + n_{AB}^* \cos\theta = 0 \implies n_{AF}^* = -(-1.25)(0.8) = +1.0$

2. 節點 F（外力 $1 \downarrow$）：
   $\sum F_y = 0 \implies n_{BF}^* - 1 = 0 \implies n_{BF}^* = +1.0$
   $\sum F_x = 0 \implies n_{FG}^* - n_{AF}^* = 0 \implies n_{FG}^* = +1.0$

核心觀念

本題考查**直接勁度法（Direct Stiffness Method）**應用於剛架結構之系統平衡方程式建構。核心觀念包含：

1. 自由度（Degree of Freedom, DOF）之定義與約束：
   • 忽略桿件軸向變形（軸向剛度無窮大），各節點無垂直向位移（$v_B = 0, v_C = 0$）。
   • 樑件 BC 軸向無變形，故 B 點水平側移量等於 C 點水平側移量，即 $\Delta_B = \Delta_C = d_1$（全架僅有一獨立側移自由度）。
   • 自由度指定為 $\{D\} = \begin{Bmatrix} d_1 \\ d_2 \end{Bmatrix}$，其中 $d_1$ 為 C 點（及 B 點）向右之水平側移，$d_2$ 為剛接點 B 之逆時針旋轉角。C 點為內部鉸接（Hinge），無傳遞彎矩能力。
2. 桿件端勁度係數（物理意義法）：
   • 兩端固定（或剛接）桿件 AB（長度 $L$）：
     • 端點轉角 $\theta = 1$ 時之彎矩為 $\frac{4EI}{L}$，遠端傳遞彎矩為 $\frac{2EI}{L}$，對應剪力為 $\frac{6EI}{L^2}$。
     • 側向相對位移 $\Delta = 1$ 時之端彎矩為 $\frac{6EI}{L^2}$，剪力為 $\frac{12EI}{L^3}$。
   • 一端剛接、遠端鉸接桿件 BC（長度 $L_{BC} = 0.75L$）：
     • 近端轉角 $\theta = 1$ 時之抗轉彎矩為 $\frac{3EI}{L_{BC}} = \frac{3EI}{0.75L} = \frac{4EI}{L}$。
   • 底端固定、頂端鉸接柱 CD（長度 $L$）：
     • 頂端側移 $\Delta = 1$ 時，抗側剪力勁度為 $\frac{3EI}{L^3}$。
3. 外力向量 $\{P\}$ 之組成：
   • 依虛功原理或等效節點載重法，外力向量 $\{P\} = \{P_j\} - \{P_{FEM}\}$。各自由度方向之直接外力總和即為等效節點力。

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解題方法

1. 勁度矩陣 $[K]$ 之推導

勁度矩陣 $[K]$ 各行（Column）代表施加單一單位自由度位移（其餘自由度約束為零）時，各自由度方向所需維持平衡之作用力：

(1) 第一行：令 $d_1 = 1, d_2 = 0$

• 側向剪力平衡（求 $K_{11}$）：

  • 柱 AB 頂端向右側移 $d_1 = 1$，且頂端轉角 $d_2 = 0$、底端固定，其抗側剪力為：
    $V_{AB} = \frac{12EI}{L^3} \cdot 1 = \frac{12EI}{L^3}$
  • 柱 CD 頂端向右側移 $d_1 = 1$，頂端為鉸接（無彎矩）、底端固定，其抗側剪力為：
    $V_{CD} = \frac{3EI}{L^3} \cdot 1 = \frac{3EI}{L^3}$
  • 樑 BC 僅作剛體水平平移，不產生剪力。
  • 對整體頂層取水平力平衡，維持 $d_1 = 1$ 所需之總水平力：
    $K_{11} = V_{AB} + V_{CD} = \frac{12EI}{L^3} + \frac{3EI}{L^3} = \frac{15EI}{L^3}$

• B 點彎矩平衡（求 $K_{21}$）：

  • 柱 AB 因頂端側移產生之順時針桿端逆向阻抗彎矩，欲約束轉角 $d_2 = 0$，需在 B 點施加逆時針力矩：
    $K_{21} = M_{BA} = \frac{6EI}{L^2} \cdot 1 = \frac{6EI}{L^2}$

(2) 第二行：令 $d_1 = 0, d_2 = 1$

• B 點彎矩平衡（求 $K_{22}$）：
  • 柱 AB 頂端逆時針旋轉 $d_2 = 1$，底端固定且無側移，柱端所需之彎矩為：
    $M_{BA} = \frac{4EI}{L} \cdot 1 = \frac{4EI}{L}$