115 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《結構學》

這題主要在考察結構學的基本名詞定義與概念。

a. 自由度 (Degree of Freedom, DOF)：一個結構體或構件在不受外力作用下，其節點或質點可以獨立移動或轉動的變位總數。簡而言之，就是描述結構體在不變形狀態下，有多少獨立的運動參數。

超定度 (Degree of Indeterminacy, DOI)：又稱靜不定度或冗餘度。指結構體中，僅憑靜力平衡方程式無法求得所有未知反力或內力的變位總數。其計算方式通常為「未知數（反力、內力）的數量」減去「可用的獨立靜力平衡方程式數量」。DOI > 0 表示結構為靜不定結構；DOI = 0 表示結構為靜定結構；DOI < 0 表示結構為機構（有自由度）。

b. 懸臂樑 (Cantilever Beam) 的自由度 (DOF)：

• 固定端 (Fixed End)：固定端通常被視為完全限制了位移與轉動，因此其自由度為 0。在實際分析中，固定端會產生三個反力：一個垂直反力、一個水平反力以及一個彎矩。
• 自由端 (Free End)：懸臂樑的自由端可以有垂直位移和轉動，因此其自由度為 2。

c. E (彈性模數, Modulus of Elasticity)：材料力學中的一個重要參數，表示材料抵抗彈性變形能力的指標。它是應力 (stress) 與應變 (strain) 的比值，在彈性限度內，應力與應變成正比。E 值越大，表示材料越堅硬，越不易產生彈性變形。其單位通常為壓力單位，如 Pa (N/m²) 或 GPa。

I (慣性矩, Moment of Inertia)：截面幾何性質的指標，表示截面抵抗彎曲變形能力的指標。它與截面的形狀和尺寸有關，與材料本身無關。

核心觀念

本題使用桁架的節點法：每個節點都滿足 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。先以整體平衡求支承反力，再從已知桿力的節點往下求解；若某節點有兩桿共線、第三桿不共線，且節點沒有外力或支承反力，第三桿就是零力桿。

以下以桿力拉力為正，負值代表受壓。

解題方法

由圖可讀得：桁架底弦為 $B-D-F-H-I$，各段長 $L$；上弦 $A-C-E-G-I$ 為一直線，$AB=3L$。$B$ 為滾支承、$I$ 為鉸支承；外力皆向下，分別為 $A$ 點 $2P$、$C$ 點 $P$、$E$ 點 $2P$、$G$ 點 $P$、$I$ 點 $4P$。由幾何關係，$C$ 點高於底弦 $9L/4$，因此 $BC$ 的方向比為水平 $4$、垂直 $9$。

先對整體取平衡。令 $R_B$、$R_I$ 為兩支承的鉛直反力：

$$\sum M_B=0:\quad 4L R_I-(PL+2P\cdot2L+PL\cdot3+4P\cdot4L)=0$$ $$R_I=6P,\qquad \sum F_y=0:\quad R_B+R_I-10P=0 \quad\Longrightarrow\quad R_B=4P$$

在 $A$ 節點，只有 $AB$、$AC$ 兩桿與向下的 $2P$ 外力。水平平衡得 $F_{AC}=0$，鉛直平衡得 $F_{AB}=-2P$，即 $AB$ 受壓。

在 $B$ 節點，$BC$ 的方向餘弦為 $(4/\sqrt{97},\,9/\sqrt{97})$。套用節點平衡：

$$\sum F_y=0:\quad \frac{9}{\sqrt{97}}F_{BC}-2P+4P=0 \quad\Longrightarrow\quad F_{BC}=-\frac{2\sqrt{97}}{9}P$$ $$\sum F_x=0:\quad F_{BD}+\frac{4}{\sqrt{97}}F_{BC}=0 \quad\Longrightarrow\quad F_{BD}=\frac{8}{9}P$$

所以 $BC$ 受壓，而 $BD$ 受拉。

核心觀念

本題考查懸臂梁端點撓度、彈簧力與變形相容條件。假設彈簧未預壓，取 $B$ 點向下位移為正。

懸臂梁自由端在等效端力 $P_{\text{eff}}$ 作用下：

$$\Delta_B=\frac{P_{\text{eff}}L^3}{3EI}$$

彈簧力與位移的關係為：

$$B_y=k\Delta_B$$

截面慣性矩

由圖 2-2：

• 翼板寬度：$10\ \text{mm}$
• 翼板厚度：$2\ \text{mm}$
• 總高度：$14\ \text{mm}$
• 腹板厚度：$2\ \text{mm}$
• 腹板高度：$14-2-2=10\ \text{mm}$

關於水平形心軸的慣性矩為：

$$I = 2\left[ \frac{10(2)^3}{12} +(10\cdot2)(6)^2 \right] +\frac{2(10)^3}{12}$$

其中翼板形心至截面形心的距離為：

$$d=\frac{14}{2}-\frac{2}{2}=6\ \text{mm}$$

因此：

$$I=1620\ \text{mm}^4$$

材料彈性模數：

$$E=210\ \text{GPa}=210000\ \text{N/mm}^2$$

梁長：

$$L=200\ \text{mm}$$

解題方法

彈簧對梁的作用力方向向上，因此梁實際承受的等效向下端力為：

$$P_{\text{eff}}=80-B_y$$

故 $B$ 點位移為：

核心觀念

本題使用單位荷重法（虛功法）求 $C$ 點的垂直位移。對彎曲變形：

$$\Delta_C=\sum\int\frac{M(x)m(x)}{EI(x)}\,dx$$

其中：

• $M(x)$：實際荷重造成的彎矩。
• $m(x)$：在 $C$ 點施加同方向單位荷重 $1$ 所造成的彎矩。
• $I_{AB}=I$，$I_{BC}=I_{CD}=2I$。

由圖可知 $B$ 為內鉸，因此 $M_B=0$；$D$ 為支承。

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一、實際荷重系統

右側 $BCD$ 為兩端支承梁，$C$ 點承受 $45\ \text{kN}$：

$$R_B=R_D=\frac{45}{2}=22.5\ \text{kN}$$

因此，作用在左側構件 $AB$ 的 $B$ 點力為向下 $22.5\ \text{kN}$。

令 $x$ 自 $A$ 向右量測，$0\le x\le 6$。在 $AB$ 段：

$$M_{AB}(x) =-\left[\frac{15}{2}(6-x)^2+22.5(6-x)\right]$$

在 $BC$ 段，令 $s$ 自 $B$ 向右量測，$0\le s\le 3$：

$$M_{BC}(s)=22.5s$$

在 $CD$ 段，令 $z$ 自 $D$ 向左量測，$0\le z\le 3$：

$$M_{CD}(z)=22.5z$$

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二、虛擬荷重系統

在 $C$ 點施加向下單位荷重 $1$。右側梁的虛擬支承反力為：

$$r_B=r_D=\frac{1}{2}$$

故：

$$m_{AB}(x)=-\frac{1}{2}(6-x)$$ $$m_{BC}(s)=\frac{1}{2}s$$ $$m_{CD}(z)=\frac{1}{2}z$$

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三、計算各構件的虛功積分

令 $y=6-x$，則 $AB$ 段的貢獻為：

核心觀念

本題要求使用斜率位移法，未知量包括：

• 節點 $B$、$C$ 的轉角：$\theta_B,\theta_C$
• 框架向右側移量：$\Delta$

圖中：

$$L_{AB}=L_{CD}=10\text{ m},\qquad L_{BC}=10\sqrt{2}\text{ m}$$

斜柱與水平夾角為 $45^\circ$，$A、D$ 為固定端，因此：

$$\theta_A=\theta_D=0$$

採順時針端彎矩為正。

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斜率位移方程式

斜率位移法基本式為

$$M_{ij}=\frac{2EI}{L} \left(2\theta_i+\theta_j-3\psi\right)+M_{ij}^{F}$$

其中 $\psi$ 為構件弦線轉角。

斜柱的弦線轉角為

$$\psi_{AB}=\psi_{DC} =-\frac{\Delta}{10\sqrt{2}}$$

令

$$d=\frac{\Delta}{10\sqrt{2}}$$

則兩根斜柱端彎矩為

$$M_{AB}=0.2EI(\theta_B+3d)$$ $$M_{BA}=0.2EI(2\theta_B+3d)$$ $$M_{DC}=0.2EI(\theta_C+3d)$$ $$M_{CD}=0.2EI(2\theta_C+3d)$$

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梁 $BC$ 的固定端彎矩

梁上均佈載重為 $w=12\text{ kN/m}$，梁長為

$$L_{BC}=10\sqrt{2}\text{ m}$$

因此

$$M_{BC}^{F}=-\frac{wL^2}{12} =-\frac{12(10\sqrt{2})^2}{12} =-200\text{ kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{CB}^{F}=+200\text{ kN}\cdot\text{m}$$

梁端彎矩為

$$M_{BC}=\frac{\sqrt{2}}{10}EI(2\theta_B+\theta_C)-200$$ $$M_{CB}=\frac{\sqrt{2}}{10}EI(2\theta_C+\theta_B)+200$$

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節點 $B、C$ 彎矩平衡

節點 $B$：

$$M_{BA}+M_{BC}=0$$

節點 $C$：

$$M_{CB}+M_{CD}=0$$

為簡化計算，令