112 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（在職生）《結構學》

核心觀念

本題考查「零力桿判別、節點平衡」及「桿件容許軸力」。以張力為正、壓力為負。

依圖一，$A、K、G$ 共線，$K$ 點連接的是 $KA、KG、KF$ 三根桿件；右端則為 $I、L、E$ 共線，並以 $JL$ 連接至 $L$。全桁架共有 $12$ 個節點、$21$ 根桿件與 $3$ 個支承反力：

$$m+r=21+3=2(12)=2j$$

配合圖示穩定配置，此桁架為靜定桁架，可直接使用節點法。

解題方法

1. 支承反力與零力桿

三個向下集中力均為 $P$，由結構及載重對稱可得：

$$A_x=0,\qquad A_y=E_y=\frac{3P}{2}$$

$K$ 點無外力，且 $KA、KG$ 共線，因此非共線桿 $KF$ 為零力桿，並有 $N_{AK}=N_{KG}$。再由 $F$ 點平衡：

$$\boxed{N_{FK}=N_{AF}=N_{FG}=0}$$

右端同理，$JL、IJ、JE$ 均為零力桿。

2. 節點 $A$：求 $AK$ 與 $AB$

面板寬、高均為 $8\text{ m}$，故斜桿 $AG$ 與水平線夾角為 $45^\circ$。先將未知桿力假設為張力：

$$\begin{aligned} \sum F_y&=0: &\frac{3P}{2}+\frac{N_{AK}}{\sqrt2}&=0,\\ \sum F_x&=0: &N_{AB}+\frac{N_{AK}}{\sqrt2}&=0. \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{ N_{AK}=N_{KG}=-\frac{3\sqrt2}{2}P,\qquad N_{AB}=+\frac32P }$$

3. 節點 $G$：求 $GH$ 與 $BG$

由 $N_{FG}=0$：

$$\begin{aligned} \sum F_x&=0: &N_{GH}-\frac{N_{KG}}{\sqrt2}&=0,\\ \sum F_y&=0: &-N_{BG}-\frac{N_{KG}}{\sqrt2}&=0. \end{aligned}$$

得到：

$$\boxed{N_{GH}=-\frac32P,\qquad N_{BG}=+\frac32P}$$

4. 節點 $B$：求 $BH$ 與 $BC$

$BH$ 同樣與水平線夾角為 $45^\circ$：

$$\begin{aligned} \sum F_y&=0: &N_{BG}+\frac{N_{BH}}{\sqrt2}-P&=0,\\ \sum F_x&=0: &-N_{AB}+N_{BC}+\frac{N_{BH}}{\sqrt2}&=0. \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{N_{BH}=-\frac{P}{\sqrt2},\qquad N_{BC}=+2P}$$

5. 節點 $C$：求 $CH$

$BC、CD$ 均為水平桿，故垂直方向平衡直接給出：

核心觀念

本題須使用傾角變位法，並正確區分「鉸支承」與「桿件鉸接」：

• $A、D$ 為斜向滾支承，可自由轉動，但端點施有力偶，因此桿端彎矩不為零。依原圖方向，$A$ 點力偶為順時針，$D$ 點為逆時針。
• $B、C$ 為鉸支承，支承不提供反力矩；但相接桿件仍為剛接，故各節點的桿端彎矩須滿足代數和為零。
• 圖中斜向滾動面與斜桿平行，限制斜桿端點的橫向位移；$B、C$ 的位置固定，因此各桿件的弦轉角皆為零。

令桿端彎矩與節點轉角均以順時針為正。無弦轉角時，傾角變位公式為

$$M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j).$$

解題方法：建立傾角變位方程式

1. 固定端彎矩與端點條件

令

$$m_0=\frac{PL}{8}, \qquad k=\frac{2EI}{L}.$$

依原圖兩個垂直於斜桿的中點集中力方向，固定端彎矩為

$$\begin{aligned} &M_{AB}^{F}=+m_0,\qquad M_{BA}^{F}=-m_0,\\ &M_{BC}^{F}=M_{CB}^{F}=0,\\ &M_{CD}^{F}=+m_0,\qquad M_{DC}^{F}=-m_0. \end{aligned}$$

$A、D$ 支承不提供反力矩，因此作用在桿件端部的彎矩，等於該端的外加力偶：

$$M_{AB}=+m_0, \qquad M_{DC}=-m_0.$$

2. 列出各桿件方程式

$$\begin{aligned} M_{AB}&=m_0+k(2\theta_A+\theta_B),\\ M_{BA}&=-m_0+k(\theta_A+2\theta_B),\\ M_{BC}&=k(2\theta_B+\theta_C),\\ M_{CB}&=k(\theta_B+2\theta_C),\\ M_{CD}&=m_0+k(2\theta_C+\theta_D),\\ M_{DC}&=-m_0+k(\theta_C+2\theta_D). \end{aligned}$$

代入 $A、D$ 的端點條件：

$$2\theta_A+\theta_B=0, \qquad \theta_C+2\theta_D=0,$$

故

$$\theta_A=-\frac{\theta_B}{2}, \qquad \theta_D=-\frac{\theta_C}{2}.$$

斜桿在 $B、C$ 端的彎矩遂化為

$$M_{BA}=-m_0+\frac{3}{2}k\theta_B, \qquad M_{CD}=m_0+\frac{3}{2}k\theta_C.$$

3. 利用節點彎矩平衡求轉角

$B、C$ 均無外加節點力偶，因此

$$M_{BA}+M_{BC}=0, \qquad M_{CB}+M_{CD}=0.$$

代入後得到

$$\begin{aligned} \frac{7}{2}k\theta_B+k\theta_C&=m_0,\\ k\theta_B+\frac{7}{2}k\theta_C&=-m_0. \end{aligned}$$

兩式相加可得

核心觀念

板沿兩根梁之間的方向可視為簡支橫向分配構件。各條均布載重依其位置分配給左、右梁；要使板與梁組成的斷面不繞 $X$ 軸扭轉，兩根梁在相同位置的撓度必須相同。

解題方法

依圖三，左、右梁相距 $8\text{ m}$，三道載重線分別位於距左梁 $2\text{ m}$、$4\text{ m}$、$6\text{ m}$ 處。以板長方向每公尺計算，利用橫向力矩平衡求傳給兩根梁的均布載重。

設左梁與右梁承受的線載重分別為 $q_L$、$q_R$。對左梁取矩，得：

$$q_R(8) =10(2)+20(4)+30(6)$$

因此：

$$q_R=35\text{ kN/m}$$

由豎向力平衡：

$$q_L+q_R=10+20+30=60\text{ kN/m}$$ $$q_L=25\text{ kN/m}$$

核心觀念

本題使用單位力法求梁端垂直變位：

$$\delta_A=\int_0^L \frac{M(x)m(x)}{E I(x)}\,dx$$

其中 $M(x)$ 為實際荷重造成的彎矩，$m(x)$ 為在 A 點施加單位垂直力所造成的彎矩。圖示梁為 C 端固定的懸臂梁，$CB=10\,\text{m}$、$BA=5\,\text{m}$；$CB$ 段的慣性矩為 $5I$，$BA$ 段為 $I$。圖示荷重為 B 點向下 $10\,\text{kN}$、$BA$ 段向下均布荷重 $4\,\text{kN/m}$，以及 A 點順時針力矩 $50\,\text{kN}\cdot\text{m}$。

解題方法

取向下為 A 點變位正方向，並令 $x$ 自固定端 C 向右量。施加向下單位力於 A 點，虛功彎矩的大小為

$$m(x)=15-x$$

實際彎矩與虛功彎矩方向相同，以下以彎矩大小代入。令 $t=15-x$，則在 $CB$ 段（$0\le x\le10$，即 $5\le t\le15$），實際彎矩包括 B 點集中力、$BA$ 段均布荷重的合力，以及 A 點力矩：

$$M_{CB}(t)=10(t-5)+20(t-2.5)+50=30t-50$$

其中均布荷重合力為 $4\times5=20\,\text{kN}$，作用位置距 C 為 $12.5\,\text{m}$。因此 $CB$ 段對 A 點變位的貢獻為

核心觀念

本題考查**直接勁度法（Direct Stiffness Method）**應用於平面直交構架的結構矩陣組裝。涉及的核心觀念包括：

1. 軸向剛度無窮大假設（軸向變形忽略）：
   • 各立柱無軸向變形，故梁節點 B、D、F 之垂直位移皆為零。
   • 各水平梁無軸向變形，故整層構架具有共同之側移自由度 $d_1$（即 $u_B = u_D = u_F = d_1$）。
2. 桿件勁度矩陣（含端點釋放）：
   • 兩端剛接桿件（如梁 DF、柱 EF）：彎曲勁度係數為 $\frac{4EI}{L}$、$\frac{2EI}{L}$；剪力側移勁度係數為 $\frac{12EI}{L^3}$；側移與轉角之偶合項為 $\frac{6EI}{L^2}$。
   • 一端鉸接一端剛接桿件（如梁 BD、柱 CD、柱 AB）：經內部轉角凝縮（Release）後，轉角端之彎曲勁度係數為 $\frac{3EI}{L}$；剪力側移勁度係數為 $\frac{3EI}{L^3}$；側移與轉角之偶合項為 $\frac{3EI}{L^2}$。
3. 外力向量 $\{P\}$：
   • 桿件無跨中載重，固定端作用力（Equivalent Nodal Loads）為零。
   • 外力向量即為直接施加於節點上、對應各自由度方向之等效外力。整層側移方向之外力為同一樓層所有水平集中力之代數和。

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解題方法

一、 系統自由度與座標定義

由圖五(b)指定，全域位移向量為：

$$\{D\} = \begin{Bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{Bmatrix}$$

• $d_1$：節點 F（及 B、D）之水平側移（向右為正）。
• $d_2$：節點 D 之旋轉角（順時針為正）。
• $d_3$：節點 F 之旋轉角（順時針為正）。

各桿件長度皆為 $L$，抗彎剛度皆為 $EI$。

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二、 各桿件勁度矩陣貢獻（對應全域自由度）

1. 桿件 ①（柱 AB）

• 邊界條件：底端 A 為固定端，頂端 B 為鉸接。
• 自由度對應：僅受頂端側移 $d_1$ 影響，頂端鉸接無彎矩抵抗，不貢獻轉角自由度。
• 勁度係數：
  一端固定、一端鉸接之側移剪力勁度為： $$k_{11}^{(1)} = \frac{3EI}{L^3}$$
• 桿件貢獻矩陣（對應 $d_1, d_2, d_3$）： $$[k^{(1)}] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

2. 桿件 ②（柱 CD）

• 邊界條件：底端 C 為鉸支承，頂端 D 為剛接節點。
• 自由度對應：頂端承受水平側移 $d_1$ 及轉角 $d_2$。
• 勁度係數：
  • 頂端側移勁度：$k_{11}^{(2)} = \frac{3EI}{L^3}$
  • 頂端旋轉勁度：$k_{22}^{(2)} = \frac{3EI}{L} = \frac{3EIL^2}{L^3}$
  • 側移與轉角偶合項：當頂端向右側移 $d_1$ 時，產生順時針弦轉角 $\psi = \frac{d_1}{L}$，為維持頂端不轉動需施加逆時針外力矩，故偶合勁度為負值： $$k_{12}^{(2)} = k_{21}^{(2)} = -\frac{3EI}{L^2} = -\frac{3EIL}{L^3}$$
• 桿件貢獻矩陣（對應 $d_1, d_2, d_3$）： $$[k^{(2)}] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 3 & -3L & 0 \\ -3L & 3L^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

3. 桿件 ③（柱 EF）

• 邊界條件：底端 E 為固定端，頂端 F 為剛接節點（兩端固定）。
• 自由度對應：頂端承受水平側移 $d_1$ 及轉角 $d_3$。
• 勁度係數：
  • 頂端側移勁度：$k_{11}^{(3)} = \frac{12EI}{L^3}$
  • 頂端旋轉勁度：$k_{33}^{(3)} = \frac{4EI}{L} = \frac{4EIL^2}{L^3}$
  • 側移與轉角偶合項： $$k_{13}^{(3)} = k_{31}^{(3)} = -\frac{6EI}{L^2} = -\frac{6EIL}{L^3}$$
• 桿件貢獻矩陣（對應 $d_1, d_2, d_3$）： $$[k^{(3)}] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12 & 0 & -6L \\ 0 & 0 & 0 \\ -6L & 0 & 4L^2 \end{bmatrix}$$

4. 桿件 ④（梁 BD）

• 邊界條件：左端 B 為鉸接，右端 D 為剛接。
• 自由度對應：兩端垂直位移為零，弦轉角為零；軸向變形忽略不產生彎曲。故僅右端承受轉角 $d_2$。
• 勁度係數：
  遠端鉸接之近端旋轉剛度為： $$k_{22}^{(4)} = \frac{3EI}{L} = \frac{3EIL^2}{L^3}$$
• 桿件貢獻矩陣（對應 $d_1, d_2, d_3$）： $$[k^{(4)}] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3L^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

5. 桿件 ⑤（梁 DF）

• 邊界條件：兩端剛接。
• 自由度對應：左端轉角 $d_2$ 與右端轉角 $d_3$（無弦轉角）。
• 勁度係數：
  • 左端旋轉勁度：$k_{22}^{(5)} = \frac{4EI}{L} = \frac{4EIL^2}{L^3}$
  • 右端旋轉勁度：$k_{33}^{(5)} = \frac{4EI}{L} = \frac{4EIL^2}{L^3}$
  • 兩端旋轉傳遞項：$k_{23}^{(5)} = k_{32}^{(5)} = \frac{2EI}{L} = \frac{2EIL^2}{L^3}$
• 桿件貢獻矩陣（對應 $d_1, d_2, d_3$）：