113 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《結構學》

核心觀念

本題考查半剛性接頭（Semi-Rigid Joint）樑之變形分析與位移疊加原理（Superposition Principle），主要涉及以下結構學定理與觀念：

1. 靜定結構之內力分析：外載重在懸臂樑各截面（含彈簧接合處）所引致之彎矩，可由靜力平衡方程式直接求得。
2. 彈簧接頭相對轉角（轉角差）定義：
   $\Delta\theta = \frac{M_s}{k_\theta}$
   其中 $M_s$ 為接頭所承受之彎矩，$k_\theta$ 為接頭螺旋彈簧之旋轉勁度。
3. 位移疊加原理與虛功法（單位力法）：
   受載樑於任意點之總位移，可視為「樑本身彎曲連續變形所致之位移」加上「各彈簧接頭集中相對轉角所引致之位移」的線性疊加。

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解題方法

由題圖可知，整體結構為固定端在 $A$、自由端在 $D$、總跨長為 $3L$ 的懸臂樑。三根樑元素長度皆為 $L$、抗彎剛度皆為 $EI$；接合彈簧分別設置於 $B$ 點（距自由端 $D$ 為 $2L$）與 $C$ 點（距自由端 $D$ 為 $L$）。自由端 $D$ 承受向下之集中載重 $P$。

步驟一：計算連續情況之自由端位移

當 $k_\theta \to \infty$ 時，接頭無轉角差（$\Delta\theta = 0$），系統退化為純懸臂連續樑，自由端 $D$ 之垂直位移為：
$v_{D, \text{continuous}} = \frac{P(3L)^3}{3EI} = \frac{27PL^3}{3EI} = \frac{9PL^3}{EI}$

步驟二：計算各接合處之彎矩與相對轉角

由自由端 $D$ 往左取自由體圖進行靜力平衡分析：

1. $C$ 點接頭（距載重作用點 $D$ 之臂長為 $L$）：
   $M_C = P \cdot L$
   則 $C$ 點彈簧產生之轉角差為：
   $\Delta\theta_C = \frac{M_C}{k_\theta} = \frac{PL}{k_\theta}$
2. $B$ 點接頭（距載重作用點 $D$ 之臂長為 $2L$）：
   $M_B = P \cdot (2L) = 2PL$
   則 $B$ 點彈簧產生之轉角差為：
   $\Delta\theta_B = \frac{M_B}{k_\theta} = \frac{2PL}{k_\theta}$

步驟三：計算個別接頭轉角對 $D$ 點位移之貢獻

接頭處之局部轉動會帶動其右側的樑段產生剛體轉動：

1. $C$ 點彈簧對 $D$ 點位移之貢獻 $\Delta v_{D, C}$：
   $C$ 點以右至 $D$ 點長度為 $L$，剛體旋轉致使 $D$ 點產生的垂直位移為：
   $\Delta v_{D, C} = \Delta\theta_C \cdot L = \left(\frac{PL}{k_\theta}\right) L = \frac{PL^2}{k_\theta}$
2. $B$ 點彈簧對 $D$ 點位移之貢獻 $\Delta v_{D, B}$：
   $B$ 點以右至 $D$ 點長度為 $2L$，剛體旋轉致使 $D$ 點產生的垂直位移為：

核心觀念

本題屬於靜不定結構分析（含彈性支承與支承沉陷）。
結構由懸臂梁 $AC$（長度 $L$，抗彎剛度 $EI$）與端點處的垂直彈性受壓桿件（可視為彈簧）$CD$ 組成。
分析所依據的核心理論為：

1. 力法（柔度法 / 諧和變形法，Method of Consistent Deformations）：將 $CD$ 桿件所受軸力設為贅力 $R$（取壓力向上抵抗梁端位移），以變形諧和條件建立方程式。
2. 懸臂梁撓度公式與疊加原理（Superposition Principle）：
   • 梁在中間點 $B$（$x = L/2$）承受集中載重 $P$ 向下時，自由端 $C$ 之向下垂直變形 $v_{C,P}$。
   • 梁在端點 $C$（$x = L$）承受向上反力 $R$ 時，自由端 $C$ 之向上垂直變形 $v_{C,R}$。
3. 軸向桿件變形與支承沉陷之幾何諧和關係：
   $CD$ 桿件的軸向剛度為 $k = \frac{EA}{L} = 57\frac{EI}{L^3}$。桿件之縮短量 $\Delta_{CD}$ 滿足幾何變形諧和： $$\Delta_{CD} = v_C - v_D = \frac{R}{k}$$ 其中 $v_C$ 為梁端 $C$ 點向下位移，$v_D$ 為支承 $D$ 之向下沉陷量，$R$ 為桿件受壓之軸力。

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解題方法

1. 懸臂梁在單獨外力作用下的位移計算

設懸臂梁 $AC$ 固定端為 $A$（$x = 0$），自由端為 $C$（$x = L$），點 $B$ 位於中點（$x = L/2$）。

• 外載重 $P$ 引起的自由端 $C$ 向下撓度 $v_{C,P}$：
  在 $B$ 點處受集中載重 $P$ 作用：

  • $B$ 點撓度： $$v_B = \frac{P(L/2)^3}{3EI} = \frac{PL^3}{24EI}$$
  • $B$ 點轉角： $$\theta_B = \frac{P(L/2)^2}{2EI} = \frac{PL^2}{8EI}$$
  • 由於 $BC$ 段無載重，維持剛體直線旋轉，故自由端 $C$ 之向下位移為： $$v_{C,P} = v_B + \theta_B \cdot \left(\frac{L}{2}\right) = \frac{PL^3}{24EI} + \frac{PL^2}{8EI}\left(\frac{L}{2}\right) = \left(\frac{2}{48} + \frac{3}{48}\right)\frac{PL^3}{EI} = \frac{5}{48}\frac{PL^3}{EI}$$

• 贅力 $R$ 引起的自由端 $C$ 向上撓度 $v_{C,R}$：
  設 $CD$ 桿件受壓力 $R$，則對梁端 $C$ 提供向上的支撐力 $R$：

  $$v_{C,R} = \frac{RL^3}{3EI}$$

因此，梁端點 $C$ 的實際向下位移為：

$$v_C = v_{C,P} - v_{C,R} = \frac{5}{48}\frac{PL^3}{EI} - \frac{RL^3}{3EI}$$

2. 桿件軸向變形與諧和變形方程式

$CD$ 桿件彈性剛度 $k = 57\frac{EI}{L^3}$，其受壓縮短量為：

$$\Delta_{CD} = \frac{R}{k} = \frac{R}{57\frac{EI}{L^3}} = \frac{RL^3}{57EI}$$

由位移諧和條件，桿件縮短量等於兩端相對位移：

$$v_C - v_D = \Delta_{CD} = \frac{R}{k}$$

將 $v_C$ 代入：

$$\frac{5}{48}\frac{PL^3}{EI} - \frac{RL^3}{3EI} - v_D = \frac{RL^3}{57EI}$$

整理移項得：

$$R\left(\frac{1}{57} + \frac{1}{3}\right)\frac{L^3}{EI} = \frac{5}{48}\frac{PL^3}{EI} - v_D$$

計算左式括號：

$$\frac{1}{57} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 19}{57} = \frac{20}{57}$$

因此通用支配方程式為：

$$\frac{20}{57}\frac{RL^3}{EI} = \frac{5}{48}\frac{PL^3}{EI} - v_D$$

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(a) 支承 $D$ 無沉陷（$v_D = 0$）

將 $v_D = 0$ 代入支配方程式：

$$\frac{20}{57}\frac{RL^3}{EI} = \frac{5}{48}\frac{PL^3}{EI}$$

解出 $CD$ 桿件軸力 $R$：

核心觀念

本題屬於軸力桿件系統的彈塑性（極限）分析，考查結構在逐步加載過程中的非線性變形行為與極限承載力。核心觀念與定理包含：

1. 小變形幾何相容條件（Kinematic Compatibility）：對稱結構在對稱垂直載重作用下，節點 $A$ 僅產生垂直向下位移 $\Delta$。各斜桿之軸向伸長量 $\delta$ 與垂直位移 $\Delta$ 之幾何關係為：
   $\delta = \Delta \cos\theta$
2. 桿件本構關係（彈塑性無硬化，Elasto-Plastic）：
   • 彈性階段：軸力 $N = k \cdot \delta$（$k = \frac{EA}{L}$ 為軸向勁度）。
   • 降伏／達到極限後：軸力維持在拉力強度 $N_{\max}$，切線勁度降為 $0$。
3. 節點平衡方程式（Equilibrium）：垂直方向靜力平衡：
   $\sum F_y = 0 \implies P = N_{AC} + 2 N_{AB} \cos 30^\circ$
4. 結構勁度與降伏先後順序判定：比較各桿件達到其拉力強度時所需的節點垂直位移 $\Delta$，位移需求較小者先降伏；桿件降伏後結構勁度降低，直到所有桿件皆進入塑性平台，整體結構切線勁度變為零，達到極限強度 $P_{\mathrm{ult}}$。

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解題方法與詳細推導

步驟一：定義幾何與變形關係

設節點 $A$ 受到外力 $P$ 作用產生垂直向下位移 $\Delta$（單位：$\text{mm}$）。
由對稱性可知，節點 $A$ 無水平位移。各桿之軸向伸長量分別為：

• 中間垂直桿 $AC$（$\theta = 0^\circ$）：
  $\delta_{AC} = \Delta$
• 兩側斜桿 $AB$ 與 $AD$（與垂直夾角 $\theta = 30^\circ$）：
  $\delta_{AB} = \delta_{AD} = \Delta \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\Delta$

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步驟二：各桿達到拉力強度所需之臨界位移

已知條件：

• 桿件 $AB, AD$：軸向勁度 $k_{AB} = 20\text{ kN/mm}$，拉力強度 $N_{AB,\max} = 70\text{ kN}$。
• 桿件 $AC$：軸向勁度 $k_{AC} = 30\text{ kN/mm}$，拉力強度 $N_{AC,\max} = 96\text{ kN}$。

計算各桿達到拉力強度所需的節點垂直位移：

1. 桿件 $AC$ 達到拉力強度時的位移 $\Delta_{y,AC}$：
   $N_{AC} = k_{AC} \cdot \delta_{AC} = 30 \Delta = 96\text{ kN}$
   $\Delta_{y,AC} = \frac{96}{30} = 3.2\text{ mm}$

2. 桿件 $AB, AD$ 達到拉力強度時的位移 $\Delta_{y,AB}$：
   $N_{AB} = k_{AB} \cdot \delta_{AB} = 20 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\Delta\right) = 10\sqrt{3}\Delta = 70\text{ kN}$
   $\Delta_{y,AB} = \frac{70}{10\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4.0415\text{ mm}$

比較可知：$\Delta_{y,AC} = 3.2\text{ mm} < \Delta_{y,AB} \approx 4.0415\text{ mm}$，故中間垂直桿 $AC$ 先達到拉力強度。

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步驟三：分階段推導 $P-\Delta$ 關係

第一階段：全彈性階段（$0 \le \Delta \le 3.2\text{ mm}$）

三根桿件皆處於彈性狀態：
$N_{AC} = 30\Delta$
$N_{AB} = N_{AD} = 10\sqrt{3}\Delta$

由節點 $A$ 之垂直平衡：
$P = N_{AC} + 2 N_{AB} \cos 30^\circ$
$P = 30\Delta + 2(10\sqrt{3}\Delta)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30\Delta + 30\Delta = 60\Delta$

• 此階段結構之整體勁度：
  $K_1 = \frac{dP}{d\Delta} = 60\text{ kN/mm}$
• 第一轉折點（點 1，桿件 $AC$ 達到極限）：
  $\Delta_1 = 3.2\text{ mm}$
  $P_1 = 60 \times 3.2 = 192\text{ kN}$

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第二階段：桿 $AC$ 降伏、斜桿彈性階段（$3.2\text{ mm} \le \Delta \le \frac{7\sqrt{3}}{3}\text{ mm}$）

桿件 $AC$ 軸力維持為 $N_{AC} = 96\text{ kN}$（勁度為 0）；斜桿 $AB, AD$ 仍為彈性：
$N_{AB} = N_{AD} = 10\sqrt{3}\Delta$

由節點 $A$ 之垂直平衡：
$P = N_{AC} + 2 N_{AB} \cos 30^\circ = 96 + 2(10\sqrt{3}\Delta)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 96 + 30\Delta$

• 此階段結構之切線勁度：
  $K_2 = \frac{dP}{d\Delta} = 30\text{ kN/mm}$
• 第二轉折點（點 2，桿件 $AB, AD$ 亦達到極限）：

核心觀念

本題為可側移構架，須同時考慮節點轉角與柱的弦轉角。圖中 $B$ 為內鉸，因此

$$M_{BA}=M_{BC}=0$$

且柱 $AB$ 與梁 $BC$ 在 $B$ 端的轉角各自獨立。$C$ 為剛接，故梁柱共用轉角 $\theta_C$，並滿足節點彎矩平衡。

桿端彎矩與轉角皆以順時針為正，傾角變位公式為

$$M_{ij}=M_{ij}^{F} +\frac{2(EI)_{ij}}{\ell_{ij}} \left(2\theta_i+\theta_j-3\psi_{ij}\right)$$

其中 $\psi_{ij}$ 為桿件弦轉角，$M_{ij}^{F}$ 為固定端彎矩。

解題方法

一、設定變位與桿件剛度

依圖四，兩柱高度與梁跨長均為 $10\,\mathrm{m}$；兩柱抗彎剛度為 $EI$，梁 $BC$ 為 $1.333EI$。梁中央受向下 $160\,\mathrm{kN}$，$C$ 點受向右 $100\,\mathrm{kN}$。

忽略桿件軸向變形，令構架向右側移 $\Delta$。兩柱的順時針弦轉角均為

$$\psi=\frac{\Delta}{10}$$

梁 $BC$ 兩端無相對垂直位移，故 $\psi_{BC}=0$；固定端則有 $\theta_A=\theta_D=0$。

以下長度以公尺代入，並令

$$K=\frac{EI}{10}$$

二、建立兩柱的桿端彎矩

令柱 $AB$ 上端轉角為 $\theta_B^{(AB)}$。由 $B$ 端鉸接：

$$M_{BA}=2K\left(2\theta_B^{(AB)}-3\psi\right)=0$$

因此

$$\theta_B^{(AB)}=\frac32\psi$$

代入 $A$ 端公式：

$$M_{AB} =2K\left(\theta_B^{(AB)}-3\psi\right) =-3K\psi$$

右柱 $CD$ 的桿端彎矩為

$$\begin{aligned} M_{CD}&=2K(2\theta_C-3\psi) =4K\theta_C-6K\psi,\\ M_{DC}&=2K(\theta_C-3\psi) =2K\theta_C-6K\psi. \end{aligned}$$

三、建立梁的桿端彎矩，消去鉸端轉角

梁中央集中載重的固定端彎矩為

$$M_{BC}^{F}=-\frac{PL}{8}=-200\,\mathrm{kN\cdot m}, \qquad M_{CB}^{F}=+\frac{PL}{8}=+200\,\mathrm{kN\cdot m}$$

令梁在 $B$ 端的轉角為 $\theta_B^{(BC)}$，則

核心觀念

本題考查梁結構在荷載、剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）之間的微分與積分幾何關係，以及靜定結構（含內部鉸接點）的靜力平衡分析：

1. 負載與剪力之關係： $$\frac{dV}{dx} = -w(x) \quad \implies \quad V_2 - V_1 = -\int_{x_1}^{x_2} w(x)\,dx$$
   • 剪力圖斜率即為分布負載集度（向下為正負載對應負斜率）。
   • 若剪力圖產生突變（Jump），表示該處有垂直集中外力，突變量 $\Delta V = P_{\text{向上}} - P_{\text{向下}}$。
2. 剪力與彎矩之關係： $$\frac{dM}{dx} = V(x) \quad \implies \quad M_2 - M_1 = \int_{x_1}^{x_2} V(x)\,dx$$
   • 彎矩圖斜率即為該斷面之剪力值。
   • 兩點間之彎矩差等於剪力圖在該區間之面積。
3. 內部鉸接（Internal Hinge）之邊界條件：
   • 鉸接點無法承受彎矩，故鉸接點處彎矩必為零，即 $M_B = 0$、$M_D = 0$。

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解題方法

第一部分：由剪力圖反求梁所受之外力與支承反力

以 $A$ 點為坐標原點 $x = 0$：

1. $A$ 點（固定端支承，位於 $x = 0\text{ m}$）：

   • 剪力由 $0$ 突升至 $+30\text{ kN}$，表示 $A$ 端有向上的垂直反力： $$R_A = 30\text{ kN} \quad (\uparrow)$$

2. $AB$ 區間（$0 \le x \le 4\text{ m}$）：

   • 剪力由 $+30\text{ kN}$ 線性遞減至 $+6\text{ kN}$： $$\frac{dV}{dx} = \frac{6 - 30}{4} = -6\text{ kN/m}$$
   • 因 $\frac{dV}{dx} = -w$，故該區間承受均勻向下分布載重： $$w_{AB} = 6\text{ kN/m} \quad (\downarrow)$$

3. $B$ 點（內部鉸，位於 $x = 4\text{ m}$）：

   • 剪力無突變（$V(4^-) = V(4^+) = +6\text{ kN}$），無垂直集中載重。

4. $BC$ 區間（$4 \le x \le 6\text{ m}$）：

   • 剪力保持常數 $+6\text{ kN}$，斜率為零，無分布載重。

5. $C$ 點（位於 $x = 6\text{ m}$）：

   • 剪力由 $+6\text{ kN}$ 突降至 $-6\text{ kN}$，突變量： $$\Delta V = -6 - (+6) = -12\text{ kN}$$
   • 表示 $C$ 點受一向下的集中外力： $$P_C = 12\text{ kN} \quad (\downarrow)$$

6. $CD$ 區間（$6 \le x \le 8\text{ m}$）：

   • 剪力保持常數 $-6\text{ kN}$，斜率為零，無分布載重。

7. $D$ 點（內部鉸，位於 $x = 8\text{ m}$）：

   • 剪力由 $-6\text{ kN}$ 突降至 $-12\text{ kN}$，突變量： $$\Delta V = -12 - (-6) = -6\text{ kN}$$
   • 表示 $D$ 點受一向下的集中外力： $$P_D = 6\text{ kN} \quad (\downarrow)$$

8. $DE$ 區間（$8 \le x \le 12\text{ m}$）：

   • 剪力保持常數 $-12\text{ kN}$，斜率為零，無分布載重。

9. $E$ 點（固定端支承，位於 $x = 12\text{ m}$）：

   • 剪力由 $-12\text{ kN}$ 回升至 $0$，表示 $E$ 端有向上的垂直反力： $$R_E = 12\text{ kN} \quad (\uparrow)$$

10. 支承端固定端彎矩反力之求解：

    • 利用內部鉸彎矩為零的條件（$M_B = 0$）：
      • $A$ 到 $B$ 的剪力圖面積： $$\Delta M_{AB} = \int_0^4 V\,dx = \frac{30 + 6}{2} \times 4 = 72\text{ kN}\cdot\text{m}$$
      • 依積分關係 $M_B - M_A = 72$，因 $M_B = 0$： $$M_A = -72\text{ kN}\cdot\text{m}$$
      • 負彎矩表示上側受拉，對應 $A$ 端固定端反力矩為逆時針方向 $72\text{ kN}\cdot\text{m}$。
    • 利用內部鉸彎矩為零的條件（$M_D = 0$）：
      • $D$ 到 $E$ 的剪力圖面積： $$\Delta M_{DE} = \int_8^{12} V\,dx = (-12) \times 4 = -48\text{ kN}\cdot\text{m}$$
      • 依積分關係 $M_E - M_D = -48$，因 $M_D = 0$： $$M_E = -48\text{ kN}\cdot\text{m}$$
      • 負彎矩表示上側受拉，對應 $E$ 端固定端反力矩為順時針方向 $48\text{ kN}\cdot\text{m}$。

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第二部分：繪製梁所受外力圖

將求得之外力與反力完整標示於梁上：

• $A$ 端支承反力：垂直向上反力 $R_A = 30\text{ kN}$，逆時針反力矩 $M_A = 72\text{ kN}\cdot\text{m}$。
• $AB$ 段：均勻向下分布載重 $w = 6\text{ kN/m}$（長度 $4\text{ m}$）。
• $C$ 點：向下集中載重 $P_C = 12\text{ kN}$。
• $D$ 點：向下集中載重 $P_D = 6\text{ kN}$。
• $E$ 端支承反力：垂直向上反力 $R_E = 12\text{ kN}$，順時針反力矩 $M_E = 48\text{ kN}\cdot\text{m}$。