108 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《結構學》

核心觀念

本題考查預力桿件的幾何非線性分析。因為 $T\gg P$，各桿件受力後的軸力仍近似維持為 $T$，但桿件方向會隨節點位移改變，因此必須依照變形後的幾何位置列垂直力平衡式。

由圖一(b)：

• $AB=L$
• $BC=L$
• $CD=2L$
• $B$ 點受向下集中力 $4P$
• $C$ 點受向下集中力 $2P$
• $A、D$ 點固定，故位移為零

令 $v_B、v_C$ 均代表向下位移。

解題方法

由小變形假設，桿件傾角的正弦可用斜率表示：

$\sin\theta \simeq \tan\theta$

於 $B$ 點列垂直力平衡

$AB$ 桿件對 $B$ 點提供向上的分力：

$T\frac{v_B}{L}$

$BC$ 桿件對 $B$ 點的向上分力，需考慮 $B、C$ 兩點的相對位移：

$T\frac{v_B-v_C}{L}$

因此：

$T\frac{v_B}{L}+T\frac{v_B-v_C}{L}=4P$

整理得：

$$2v_B-v_C=\frac{4PL}{T} \tag{1}$$

於 $C$ 點列垂直力平衡

$BC$ 桿件對 $C$ 點的向上分力為：

$T\frac{v_C-v_B}{L}$

$CD$ 桿件長度為 $2L$，對 $C$ 點提供向上的分力：

核心觀念

本題採用「反曲點法（portal method）」分析口字型剛構架。反曲點處彎矩為零，因此各構材可分段以靜力平衡求得端彎矩。

設：

• 構架跨距與柱高均為 $L$
• 水平側力為 $P$
• 樑反曲點距左端為 $x$
• 柱反曲點距柱底為 $y$

柱的層間剪力依門架法分配為：

$$V_{AC}=V_{BD}=\frac{P}{2}$$

因此每根柱的底端與頂端彎矩大小分別為：

$$M_{\text{柱底}} =\frac{P}{2}y$$ $$M_{\text{柱頂}} =\frac{P}{2}(L-y)$$

樑端彎矩由梁柱接點的節點力矩平衡取得，其大小等於相鄰柱頂彎矩。

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解題方法

彎矩圖繪製原則如下：

1. 柱在距底部 $y$ 處通過反曲點，該處彎矩為零。
2. 樑在距左端 $x$ 處通過反曲點，該處彎矩為零。
3. 反曲點兩側彎矩圖均為直線。
4. 彎矩圖正負號依構架受側推時的彎曲方向標示；左右柱及上下樑的彎矩方向相反。

由於題目掃描圖中第二題的構架受力圖未顯示，以下以水平層剪力為 $P$、單層單跨且柱剪力平均分配為合理假設作答。

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(a) $x=y=\dfrac{L}{2}$

柱端彎矩

$$M_{\text{柱底}} =\frac{P}{2}\cdot\frac{L}{2} =\frac{PL}{4}$$ $$M_{\text{柱頂}} =\frac{P}{2}\left(L-\frac{L}{2}\right) =\frac{PL}{4}$$

所以左右兩柱的彎矩圖均為反對稱三角形：

• 柱底彎矩：$\dfrac{PL}{4}$
• 柱中點反曲
• 柱頂彎矩：$\dfrac{PL}{4}$

樑端彎矩

由樑柱接點力矩平衡：

$$M_{\text{樑左端}}=M_{\text{樑右端}}=\frac{PL}{4}$$

樑反曲點位於中央：

$$x=\frac{L}{2}$$

因此樑的彎矩圖為兩端大小相等、中央為零的折線圖，左右兩半彎矩方向相反。

(a) 彎矩圖摘要

$$\boxed{ M_{AC,\text{底}} =M_{AC,\text{頂}} =M_{BD,\text{底}} =M_{BD,\text{頂}} =\frac{PL}{4} }$$

樑與柱的反曲點均在構件中央，彎矩圖呈對稱分布。

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(b) $x=\dfrac{3L}{5}$，$y=\dfrac{2L}{3}$

柱端彎矩

柱底彎矩為：

$$M_{\text{柱底}} =\frac{P}{2}\cdot\frac{2L}{3} =\frac{PL}{3}$$

柱頂彎矩為：

核心觀念

圖三可讀得：

• $AB=10\ \text{m}$，受均佈載重 $w=16\ \text{kN/m}$。
• $BC=10\ \text{m}$，中央受集中力 $P=48\ \text{kN}$。
• $BD=BE=5\ \text{m}$。
• 除 $AB$ 外，各桿件彎曲剛度為 $EI$；$AB$ 的斷面二次矩為 $2I$，故其剛度為 $2EI$。
• 僅有 $B$ 點轉角 $\theta_B$ 為自由度，其餘端點轉角及各點位移皆為零。

以下採桿端彎矩「由桿件起點端看為順時針為正」。

固定端彎矩為

$$M_{AB}^{F}=-\frac{wL_{AB}^{2}}{12} =-\frac{16(10)^2}{12} =-133.333\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{BA}^{F}=+133.333\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

集中力作用於 $BC$ 中點，因此

$$M_{BC}^{F}=-\frac{PL_{BC}}{8} =-\frac{48(10)}{8} =-60\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{CB}^{F}=+60\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

$BD$、$BE$ 無外加載重，固定端彎矩皆為零。

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（a）傾角變位法

1. 各桿件桿端彎矩方程式

傾角變位法公式為

$$M_{ij}=M_{ij}^{F} +\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j)$$

因除 $B$ 點外皆固定：

桿件 $AB$

$$M_{BA}=133.333+ \frac{2(2EI)}{10}(2\theta_B) =133.333+0.8EI\theta_B$$ $$M_{AB}=-133.333+ \frac{2(2EI)}{10}\theta_B =-133.333+0.4EI\theta_B$$

桿件 $BC$

$$M_{BC}=-60+ \frac{2EI}{10}(2\theta_B) =-60+0.4EI\theta_B$$ $$M_{CB}=60+ \frac{2EI}{10}\theta_B =60+0.2EI\theta_B$$

桿件 $BD$、$BE$

兩桿長度皆為 $5\ \text{m}$：

$$M_{BD}=\frac{2EI}{5}(2\theta_B) =0.8EI\theta_B$$ $$M_{BE}=0.8EI\theta_B$$

遠端彎矩為

$$M_{DB}=M_{EB} =\frac{2EI}{5}\theta_B =0.4EI\theta_B$$

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2. $B$ 點彎矩平衡

在 $B$ 點無外加節點力矩，因此

$$M_{BA}+M_{BC}+M_{BD}+M_{BE}=0$$

代入：

$$133.333-60+ (0.8+0.4+0.8+0.8)EI\theta_B=0$$ $$73.333+2.8EI\theta_B=0$$

因此

$$EI\theta_B=-26.1905$$

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3. 計算各桿端彎矩

代回各式：

$$M_{BA}=133.333+0.8(-26.1905) =112.381$$ $$M_{AB}=-133.333+0.4(-26.1905) =-143.810$$ $$M_{BC}=-60+0.4(-26.1905) =-70.476$$ $$M_{CB}=60+0.2(-26.1905) =54.762$$ $$M_{BD}=M_{BE}=0.8(-26.1905) =-20.952$$ $$M_{DB}=M_{EB}=0.4(-26.1905) =-10.476$$

核心觀念

本題以勁度矩陣法建立

$$[K]\{D\}=\{P\}$$

三個自由度依圖四(b)定義為

$$\{D\}= \begin{Bmatrix} d_1\\ d_2\\ d_3 \end{Bmatrix}$$

其中：

• $d_1$：E 點向右水平位移，且 B、D 點水平位移相同。
• $d_2$：B 點順時針旋轉角。
• $d_3$：D 點順時針旋轉角。

各桿件忽略軸向變形，因此水平桿件的節點垂直位移均為零。E 點為鉸接，故 E 點不傳遞彎矩。

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各桿件勁度矩陣

以下均以 $EI$ 為各桿件彎曲剛度。

桿件 1：AB

桿長為 $L$，A 點固定，B 點具有 $d_1,d_2$：

$$[K]^{(1)} = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12 & 6L\\ 6L & 4L^2 \end{bmatrix}$$

其自由度排列為

$$\{D\}^{(1)}= \begin{Bmatrix} d_1\\d_2 \end{Bmatrix}$$

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桿件 2：CD

桿長為 $L$，C 點固定，D 點具有 $d_1,d_3$：

$$[K]^{(2)} = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12 & 6L\\ 6L & 4L^2 \end{bmatrix}$$

其自由度排列為

$$\{D\}^{(2)}= \begin{Bmatrix} d_1\\d_3 \end{Bmatrix}$$

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桿件 3：E 點至上方固定端

桿長為 $L$，E 點為鉸接，上端固定。鉸接端不傳遞彎矩，將端部旋轉自由度消去後，E 點水平位移的等效勁度為

$$[K]^{(3)} = \begin{bmatrix} \dfrac{3EI}{L^3} \end{bmatrix}$$

其自由度為 $d_1$。

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桿件 4：BD

桿長為 $L$，B、D 兩端垂直位移均為零，只剩兩端旋轉自由度：

$$[K]^{(4)} = \frac{EI}{L} \begin{bmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{bmatrix}$$

其自由度排列為

$$\{D\}^{(4)} = \begin{Bmatrix} d_2\\d_3 \end{Bmatrix}$$

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桿件 5：DE

桿長為 $0.75L$，D 點具有旋轉 $d_3$，E 點為鉸接。

桿件兩端旋轉勁度矩陣原為

$$\frac{EI}{0.75L} \begin{bmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{bmatrix}$$

由於 E 點為鉸接，需施加

$$M_E=0$$

消去 E 點旋轉自由度後，D 點的等效旋轉勁度為