114 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（在職生）《結構學》

核心觀念

本題考核傾角變位法（Slope Deflection Method）應用於含斜柱非對稱構架之側移（Sidesway）分析，涉及以下結構力學核心理論：

1. 傾角變位基本公式：
   依標準符號規定（桿端順時針彎矩、順時針轉角、順時針桿件弦轉角均為正），等截面（$EI$ 為常數）之一般桿端彎矩方程式為： $$M_{ij} = (\text{FEM})_{ij} + \frac{2EI}{L_{ij}} \left( 2\theta_i + \theta_j - 3\psi_{ij} \right)$$
2. 軸向剛性（Inextensible Members）與運動機構學：
   忽略桿件軸向變形，利用幾何投影或梁 $BC$ 之瞬間轉動中心（Instantaneous Center of Rotation, IC），建立各桿弦轉角（Chord Rotation）$\psi_{AB}$、$\psi_{BC}$、$\psi_{CD}$ 與獨立側移自由度 $\Delta$ 的運動學關聯。
3. 側移平衡方程式（Sway / Shear Equation）：
   由於包含側移未知數 $\Delta$，除節點 $B$ 與 $C$ 之轉角力矩平衡條件（$\sum M_B = 0$、$\sum M_C = 0$）外，必須利用虛功原理（Principle of Virtual Displacements）或對梁之瞬心取力矩平衡，建立構架整體的剪力平衡方程式。

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解題方法

步驟一：幾何運動學分析（求各桿之弦轉角 $\psi$）

令水平向右為正 $x$、垂直向上為正 $y$；柱腳 $A$ 與 $D$ 為固定端，故 $\Delta_A = 0$、$\theta_A = 0$、$\Delta_D = 0$、$\theta_D = 0$。

1. 桿件 $CD$（垂直柱，長度 $L_{CD} = 6\text{ m}$）：

   • 柱端 $D$ 點固定。因桿件無軸向變形，節點 $C$ 無垂直位移（$\Delta_{Cy} = 0$）。
   • 設節點 $C$ 產生向右之水平位移 $\Delta$（$\Delta > 0$）。
   • 桿件 $CD$ 產生順時針弦轉角： $$\psi_{CD} = +\frac{\Delta}{L_{CD}} = +\frac{\Delta}{6}$$

2. 桿件 $BC$（水平梁，長度 $L_{BC} = 4\text{ m}$）：

   • 因無軸向變形，節點 $B$ 的水平位移等於節點 $C$ 的水平位移，即 $\Delta_{Bx} = \Delta_{Cx} = \Delta$。

3. 桿件 $AB$（斜柱，長度 $L_{AB} = 3\text{ m}$，仰角 $45^\circ$）：

   • 因無軸向變形，節點 $B$ 之位移向量 $\vec{\Delta}_B$ 必須垂直於桿件 $AB$。
   • 桿件 $AB$ 與水平線夾角為 $45^\circ$，垂直於桿件且具有向右位移分量 $\Delta_{Bx} = \Delta$ 的運動方向為「向右偏下 $45^\circ$」。
   • 因此，節點 $B$ 之垂直位移為向下： $$\Delta_{By} = -\Delta \cot 45^\circ = -\Delta$$
   • 節點 $B$ 相對 $A$ 之總位移量為： $$|\vec{\Delta}_B| = \sqrt{\Delta_{Bx}^2 + \Delta_{By}^2} = \sqrt{\Delta^2 + (-\Delta)^2} = \sqrt{2}\Delta$$
   • 節點 $B$ 相對柱腳 $A$ 沿順時針方向旋轉，故桿件 $AB$ 之順時針弦轉角為： $$\psi_{AB} = +\frac{|\vec{\Delta}_B|}{L_{AB}} = +\frac{\sqrt{2}\Delta}{3}$$

4. 桿件 $BC$ 之弦轉角 $\psi_{BC}$：

   • 梁端 $B$ 點垂直位移為 $-\Delta$（向下），梁端 $C$ 點垂直位移為 $0$。
   • 梁左端低、右端高，梁體相對初始水平位置產生逆時針旋轉。
   • 故桿件 $BC$ 之順時針弦轉角為負值： $$\psi_{BC} = -\frac{\Delta_{Cy} - \Delta_{By}}{L_{BC}} = -\frac{0 - (-\Delta)}{4} = -\frac{\Delta}{4}$$

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步驟二：固定端彎矩（FEM）計算

構架僅 $BC$ 桿承受均布載重 $w = 20\text{ kN/m}$，長度 $L_{BC} = 4\text{ m}$。其餘桿件無橫向載重。
依題意提示與標準符號規定（順時針為正）：

$$(\text{FEM})_{BC} = -\frac{w L_{BC}^2}{12} = -\frac{20 \times 4^2}{12} = -\frac{80}{3}\text{ kN}\cdot\text{m}$$ $$(\text{FEM})_{CB} = +\frac{w L_{BC}^2}{12} = +\frac{20 \times 4^2}{12} = +\frac{80}{3}\text{ kN}\cdot\text{m}$$ $$(\text{FEM})_{AB} = (\text{FEM})_{BA} = (\text{FEM})_{CD} = (\text{FEM})_{DC} = 0$$

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步驟三：列出傾角變位方程式

將固定端條件 $\theta_A = 0$、$\theta_D = 0$ 及各桿之幾何參數代入公式：

1. 桿件 $AB$（$L = 3\text{ m}$）：

   $$M_{AB} = \frac{2EI}{3}\left( \theta_B - 3\psi_{AB} \right) = \frac{2EI}{3}\theta_B - 2\sqrt{2}\frac{EI\Delta}{3}$$ $$M_{BA} = \frac{2EI}{3}\left( 2\theta_B - 3\psi_{AB} \right) = \frac{4EI}{3}\theta_B - 2\sqrt{2}\frac{EI\Delta}{3}$$

2. 桿件 $BC$（$L = 4\text{ m}$）：

   $$M_{BC} = -\frac{80}{3} + \frac{2EI}{4}\left( 2\theta_B + \theta_C - 3\psi_{BC} \right) = -\frac{80}{3} + EI\theta_B + \frac{EI}{2}\theta_C + \frac{3EI\Delta}{8}$$ $$M_{CB} = +\frac{80}{3} + \frac{2EI}{4}\left( \theta_B + 2\theta_C - 3\psi_{BC} \right) = +\frac{80}{3} + \frac{EI}{2}\theta_B + EI\theta_C + \frac{3EI\Delta}{8}$$

3. 桿件 $CD$（$L = 6\text{ m}$）：

   $$M_{CD} = \frac{2EI}{6}\left( 2\theta_C - 3\psi_{CD} \right) = \frac{2EI}{3}\theta_C - \frac{EI\Delta}{6}$$ $$M_{DC} = \frac{2EI}{6}\left( \theta_C - 3\psi_{CD} \right) = \frac{EI}{3}\theta_C - \frac{EI\Delta}{6}$$

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步驟四：建立平衡方程式

系統共有 3 個獨立未知數：$\theta_B$、$\theta_C$、$\Delta$。

1. 節點 $B$ 之力矩平衡： $$\sum M_B = 0 \implies M_{BA} + M_{BC} = 0$$ $$\left( \frac{4}{3} + 1 \right) EI\theta_B + 0.5 EI\theta_C + \left( \frac{3}{8} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) EI\Delta = \frac{80}{3}$$

核心觀念

以虛功法計算梁上 $C$ 點的垂直位移：

$$\delta_C=\int_0^L \frac{M(x)m(x)}{E I(x)}\,dx$$

其中 $M(x)$ 是實際荷載造成的彎矩，$m(x)$ 是在 $C$ 點施加單位向下力所造成的虛擬彎矩。圖中 $AB=3\text{ m}$、$BC=6\text{ m}$、$CD=3\text{ m}$，$BC$ 段的慣性矩為 $2I$。

解題方法

取 $A$ 為 $x=0$，向右為正。實際均布荷載總和為 $25\times6=150\text{ kN}$，作用於跨距中央，因此兩端反力相等：

$$R_A=R_D=75\text{ kN}$$

實際彎矩分段為：

$$M(x)= \begin{cases} 75x, & 0\le x\le3\\ 75x-\dfrac{25}{2}(x-3)^2, & 3\le x\le9\\ 75(12-x), & 9\le x\le12 \end{cases}$$

在 $C$ 點施加單位向下力，虛擬反力為 $R_A^{(v)}=\dfrac14$、$R_D^{(v)}=\dfrac34$，故虛擬彎矩為：

$$m(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{4}, & 0\le x\le9\\ \dfrac34(12-x), & 9\le x\le12 \end{cases}$$

材料與截面剛度換算如下：

$$I=300\times10^6\text{ mm}^4=3.0\times10^{-4}\text{ m}^4$$

核心觀念

本題利用彎矩影響線安排移動輪載的位置，使支承處的最大負彎矩與中央的最大正彎矩絕對值相等。

圖中的 $8\,\mathrm{m}$ 是橋面總長，兩端各有長度 $X$ 的懸臂，因此主跨長度為

$$L=AB=8\,\mathrm{m}-2X.$$

原圖未標示兩個 $P/2$ 輪載的間距；以下將輪距記為 $d$，給出參數解，並以 $d=2\,\mathrm{m}$ 作數值計算的補充假設。

解題方法

一、支承 $A$ 的最大負彎矩

只有位於左側懸臂上的輪載會對 $A$ 產生負彎矩。最大值出現在第一輪位於橋面最左端，第二輪距該端 $d$ 的位置。

• 當 $d\le X$，兩輪都在左側懸臂上，力臂分別為 $X$ 與 $X-d$。
• 當 $d\ge X$，僅第一輪對 $A$ 產生負彎矩。

因此

$$|M_A|_{\max} = \frac{P}{2} \begin{cases} 2X-d, & d\le X,\\ X, & d\ge X. \end{cases}$$

右側支承 $B$ 由對稱性具有相同的最大負彎矩。

二、中央 $C$ 的最大正彎矩

以橋面左端為座標原點，中央 $C$ 位於 $s=4\,\mathrm{m}$。在橋面上的單位集中載重，其中央彎矩影響線為

$$h_C(s)= \begin{cases} \dfrac{s-X}{2}, & 0\le s\le4\,\mathrm{m},\\[6pt] \dfrac{8\,\mathrm{m}-X-s}{2}, & 4\,\mathrm{m}\le s\le8\,\mathrm{m}. \end{cases}$$

中央影響線高度為 $L/4$，主跨內為正，兩端懸臂為負。

兩輪同時在橋上且分置於 $C$ 兩側時，設其至 $C$ 的距離為 $a$、$b$，則 $a+b=d$，所以

$$\begin{aligned} M_C &=\frac{P}{2} \left[ \left(\frac{L}{4}-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{L}{4}-\frac{b}{2}\right) \right]\\ &=\frac{P}{4}(L-d). \end{aligned}$$

因此，兩輪對中央彎矩的貢獻都必須計入；將兩輪對稱放在 $C$ 左右各 $d/2$，即為一個達到此值的配置。

移動載重也包含一輪尚未進橋、另一輪已在橋上的情形。當 $d\le4\,\mathrm{m}$，此配置的最大正彎矩為 $P(d-X)/4$；當 $d\ge4\,\mathrm{m}$，可讓一輪位於 $C$、另一輪在橋外。因此完整包絡值為

核心觀念

彈簧力由彈簧的伸縮量決定：$F_{sp}=k\delta$。圖中 A、C 端設有彈簧，B 為支承；題目並註明彈簧原本不伸縮。圖上未標示外力、外加力矩或支承位移。

解題方法

依圖示條件，梁沒有外部荷載或強制位移。無載彈性結構的平衡狀態沒有變形，因此 A、C 彈簧的伸縮量皆為零：

$$\delta_A=\delta_C=0$$

所以彈簧力為

$$F_{sp}=k\delta=0$$

由整體豎向力平衡，B 點支承反力也為零：

核心觀念

門架法以柱的反曲點約在柱高中點、梁的反曲點約在梁跨中點為假設。每層的柱剪力按外柱、內柱、外柱分配為 $V:2V:V$；柱端彎矩可由 $M=Vh/2$ 求得。梁跨中設反曲點後，梁端彎矩會形成豎向剪力，進而決定柱的軸力與基底豎向反力。

以下取向右、向上及逆時針為正。圖中兩個水平力均為 $20\ \text{kN}$，右向作用；梁跨長 $8\ \text{m}$，下、上層柱高分別為 $6\ \text{m}$、$5\ \text{m}$。

解題方法

先由每層的水平力合計求層剪力，再按門架法分配給三根柱：

• 上層層剪力為 $20\ \text{kN}$，外柱各承受 $5\ \text{kN}$，內柱承受 $10\ \text{kN}$。
• 下層層剪力為 $40\ \text{kN}$，外柱各承受 $10\ \text{kN}$，內柱承受 $20\ \text{kN}$。

因此，各柱基底的水平反力與下層柱剪力方向相反：

$$A_x=-10\ \text{kN},\qquad B_x=-20\ \text{kN}$$

以各柱的下層柱剪力乘以下層柱高的一半，可得基底彎矩：

$$M_A=10\left(\frac{6}{2}\right)=30\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_B=20\left(\frac{6}{2}\right)=60\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

兩者方向皆為逆時針。

接著用柱端彎矩求梁端彎矩與梁剪力。上層柱高為 $5\ \text{m}$，柱端彎矩為：

$$M_{\text{上層外柱}}=5\left(\frac{5}{2}\right)=12.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{\text{上層內柱}}=10\left(\frac{5}{2}\right)=25\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

屋頂每一跨的梁端彎矩大小為 $12.5\ \text{kN}\cdot\text{m}$。因梁跨中為反曲點，梁端彎矩形成的豎向剪力大小為