109 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《材料力學（B）》

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第 1 題20 分

The rigid bars AB and BC of Fig. 1 are connected at Point B using a hinge connection and supported using a hinge, a linear elastic spring with a spring constant of β\beta, and a roller at Points A, B, and C, respectively, as shown in Fig. 1. The spring constants of the two rotational springs at Points A and B are both βr\beta_r. The lengths of Bars AB and BC are both L/2L/2. The structure is subjected to a vertical axial load P. Find the critical axial load PcrP_{cr} of the structure.

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核心觀念

本題考查「兩剛桿柱的彈性支承屈曲」，使用總位能的二階變分判定臨界載重：

  • 軸向壓力 PP 造成幾何勁度，降低結構穩定性。
  • A 點轉動彈簧、B 點轉動彈性接頭及 B 點平移彈簧提供穩定勁度。
  • C 點滾輪靠垂直導壁，故 C 點水平位移為零。

令

a=L2a=\frac{L}{2}

並令 AB、BC 由鉛直方向產生的小轉角分別為 θ1\theta_1、θ2\theta_2。

解題方法

1. 幾何約束

B 點水平位移為

uB=asin⁡θ1≈aθ1u_B=a\sin\theta_1\approx a\theta_1

C 點水平位移為

uC=a(sin⁡θ1+sin⁡θ2)u_C=a(\sin\theta_1+\sin\theta_2)

由 C 點滾輪約束 uC=0u_C=0，在線性化條件下得到

θ1+θ2=0\theta_1+\theta_2=0

因此令

θ1=θ,θ2=−θ\theta_1=\theta,\qquad \theta_2=-\theta

B 點平移彈簧的變形量為

uB=aθu_B=a\theta

B 點兩剛桿間的相對轉角為

θ2−θ1=−2θ\theta_2-\theta_1=-2\theta

其大小為 2θ2\theta。

2. 彈簧應變能

A 點轉動彈簧的能量：

UA=12βRθ2U_A=\frac{1}{2}\beta_R\theta^2

B 點轉動彈性接頭的能量：

UB(R)=12βR(θ2−θ1)2=12βR(2θ)2=2βRθ2U_B^{(R)} =\frac{1}{2}\beta_R(\theta_2-\theta_1)^2 =\frac{1}{2}\beta_R(2\theta)^2 =2\beta_R\theta^2

B 點線性彈簧的能量：

UB(T)=12β(aθ)2=12βa2θ2U_B^{(T)} =\frac{1}{2}\beta(a\theta)^2 =\frac{1}{2}\beta a^2\theta^2

故總彈簧能量為

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第 2 題30 分

The cantilever beam of Fig. 2-1 has a total length of 4 meters and is loaded by a uniformly distributed load with an intensity of q N/m. The beam is supported at the mid-span point B by a linear rotational spring with a spring constant krk_r of 5×1065 \times 10^6 N-m, which can provide a resisting moment MB=krθBM_B = k_r \theta_B when subjected to a rotational angle of θB\theta_B. The cross section of the beam is shown in Fig. 2-2 and composed of a wood section of 150 mm x 250 mm and two brass plates both with a cross section of 150 mm x 50 mm. The two brass plates are at the top and bottom of the beam. The moduli of elasticity E of the wood and brass in the beam are 15 and 100 GPa, respectively. Ignore the self-weight of the beam.

(1) Determine the magnitudes and directions of the reactions at Points A and B, namely, MAM_A, RAR_A, and MBM_B. Express the answers as a function of q.
(2) Assume the allowable normal stresses σ\sigma of the wood and brass in the beam are 10 and 70 MPa, respectively. Find the maximum value of q so that the stresses in the beam are all allowable.

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核心觀念

本題考查：

  • 複合材料梁的彎曲剛度 EIEI
  • 轉動彈簧的力矩—轉角關係
  • 梁的撓曲線與轉角相容條件
  • 複合梁彎曲應力公式

轉動彈簧位於 BB 點，只提供抵抗力矩，不提供垂直反力。

一、複合梁的彎曲剛度

截面上下對稱，因此中性軸位於整體截面中央。

木材：

Iw=150(250)312=1.953125×108 mm4I_w=\frac{150(250)^3}{12} =1.953125\times10^8\ {\rm mm^4}

每片黃銅板的形心距中性軸：

d=125+502=150 mmd=125+\frac{50}{2}=150\ {\rm mm}

每片黃銅板對中性軸的慣性矩為

Ib=150(50)312+(150×50)(150)2I_b=\frac{150(50)^3}{12} +(150\times50)(150)^2 Ib=1.703125×108 mm4I_b=1.703125\times10^8\ {\rm mm^4}

因此

EI=EwIw+2EbIbEI=E_wI_w+2E_bI_b

取 Ew=15,000 N/mm2E_w=15,000\ {\rm N/mm^2}、Eb=100,000 N/mm2E_b=100,000\ {\rm N/mm^2}：

EI=3.69921875×1013 N mm2EI=3.69921875\times10^{13}\ {\rm N\,mm^2}

或

EI=3.69921875×107 N m2EI=3.69921875\times10^7\ {\rm N\,m^2}

二、轉動彈簧力矩 MBM_B

令順時針轉角為正。均佈載重 qq 作用於全長 L=4 mL=4\ {\rm m}，而

a=AB=2 ma=AB=2\ {\rm m}

若沒有彈簧，BB 點轉角為

θB,q=1EI∫0aq(L−x)22 dx\theta_{B,q} =\frac{1}{EI}\int_0^a \frac{q(L-x)^2}{2}\,dx

因此

θB,q=q2EI∫02(4−x)2 dx=28q3EI\theta_{B,q} =\frac{q}{2EI}\int_0^2(4-x)^2\,dx =\frac{28q}{3EI}

彈簧力矩 MBM_B 方向與梁的順時針轉動相反，因此其對 BB 點轉角的影響為

θB,M=−MBaEI=−2MBEI\theta_{B,M}=-\frac{M_Ba}{EI} =-\frac{2M_B}{EI}

故實際轉角為

θB=28q3EI−2MBEI\theta_B=\frac{28q}{3EI}-\frac{2M_B}{EI}

由轉動彈簧關係

MB=krθBM_B=k_r\theta_B

其中 kr=5×106 N mk_r=5\times10^6\ {\rm N\,m}，所以

MB=5×106(28q3EI−2MBEI)M_B =5\times10^6 \left( \frac{28q}{3EI}-\frac{2M_B}{EI} \right)

整理得

MB=28kr3(EI+2kr)qM_B=\frac{28k_r}{3(EI+2k_r)}q

代入數值：

MB=0.9931q N m\boxed{M_B=0.9931q\ {\rm N\,m}}

方向為逆時針，用以抵抗均佈載重造成的順時針轉角。

三、支承反力 RAR_A 與 MAM_A

整體垂直力平衡：

RA−q(4)=0R_A-q(4)=0

因此

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第 3 題25 分

The L-shape pipe of Fig. 3 is placed in the vertical x-y plane and subjected to a horizontal force P at Point B in the -z direction. A single strain gauge is attached at Point A, which is on the outer surface of the pipe (see Fig. 3). The strain gauge is attached at an angle of 60° to the longitudinal direction of the pipe and gives a reading of −100×10−6-100 \times 10^{-6}. The pipe has an outer diameter of 60 mm and an inner diameter of 30mm and made of a material with a modulus of elasticity E of 200 GPa and a shear modulus of elasticity G of 75 GPa. Determine (1) the horizontal force P, and (2) the principal stresses at Point A.

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核心觀念

本題考查：

  1. 偏心橫向力造成的內力矩。
  2. 圓管截面的扭轉剪應力：
    τ=TcJ\tau=\frac{Tc}{J}
  3. 應變計方向與軸向夾角所對應的平面應變轉換。
  4. 純剪應力狀態下的主應力。

由圖可知，AA 位於垂直管段的外表面，且位於截面 xx 軸正向位置；應變計與管軸方向夾角為 60∘60^\circ。

解題方法

1. 截面 AA 的扭矩

由 AA 到力作用點 BB 的水平距離為 0.45 m0.45\ \text{m}，力 PP 沿 −z-z 方向，因此對垂直管段軸線 yy 所產生的扭矩為

T=P(0.45)T=P(0.45)

垂直段長度 0.75 m0.75\ \text{m} 所造成的是繞 xx 軸的彎矩。由於 AA 位於 xx 軸上，該彎矩在 AA 點不產生軸向正應力；而圓管外表面在該位置的橫向剪應力亦為零。因此，AA 點主要為扭轉造成的 yzyz 平面剪應力。

2. 圓管極慣性矩

外徑與內徑分別為

do=60 mm,di=30 mmd_o=60\ \text{mm},\qquad d_i=30\ \text{mm}

外半徑為

c=do2=30 mm=0.03 mc=\frac{d_o}{2}=30\ \text{mm}=0.03\ \text{m}

圓管的極慣性矩：

J=π32(do4−di4)J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right)

代入公尺單位：

J=π32(0.064−0.034)=1.194×10−6 m4J=\frac{\pi}{32} \left(0.06^4-0.03^4\right) =1.194\times10^{-6}\ \text{m}^4

3. 利用應變計讀值求剪應力

應變計與管軸方向夾角為

θ=60∘\theta=60^\circ

在 AA 點軸向正應變為零，因此應變計讀值為剪應變轉換所得：

εg=γyzsin⁡θcos⁡θ\varepsilon_g =\gamma_{yz}\sin\theta\cos\theta

又

γyz=τG\gamma_{yz}=\frac{\tau}{G}

所以

−100×10−6=τ75×109(sin⁡60∘)(cos⁡60∘)-100\times10^{-6} = \frac{\tau}{75\times10^9} (\sin60^\circ)(\cos60^\circ)

因為

sin⁡60∘cos⁡60∘=34\sin60^\circ\cos60^\circ =\frac{\sqrt3}{4}

故

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第 4 題25 分

The symmetric three-rod truss of Fig. 4 is subjected to a force P at Point C. The three circular rods have the same cross sectional area of 10 cm² and are all made of elastic-perfectly plastic steel with a modulus of elasticity of 200 GPa and a yielding stress of 200 MPa. The length of Rods AC and BC are both 2 meters.

(1) If P = 200 kN, what is the displacement at Point C?
(2) If P = 300 kN, what is the displacement at Point C?
(3) If P is applied to the truss with its magnitude slowly increased from 0 to 300 kN, and then unloaded from 300 kN to 0, what is the residual displacement at Point C and what are the residual forces in Rods AC and DC?

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核心觀念

本題考查：

  • 對稱桁架的節點平衡。
  • 桿件軸向變形與剛度：
    δ=NLEA\delta=\frac{NL}{EA}
  • 彈－完全塑性材料：降伏後軸力維持在
    Fy=σyAF_y=\sigma_y A
  • 卸載後的塑性永久變形與殘餘應力。

令點 CC 向下位移為 Δ\Delta，斜桿 AC、BCAC、BC 的軸力皆為 TT，中央桿 DCDC 的軸力為 NDN_D，拉力取正。

幾何與材料參數

由圖中 AC=BC=2 mAC=BC=2\text{ m}，且斜桿與水平夾角為 30∘30^\circ：

LDC=2sin⁡30∘=1 mL_{DC}=2\sin30^\circ=1\text{ m}

截面積：

A=10 cm2=1.0×10−3 m2A=10\text{ cm}^2=1.0\times10^{-3}\text{ m}^2 EA=(200×109)(1.0×10−3)=2.0×108 N=2.0×105 kNEA=(200\times10^9)(1.0\times10^{-3}) =2.0\times10^8\text{ N} =2.0\times10^5\text{ kN}

降伏軸力：

Fy=σyA=(200 MPa)(10 cm2)=200 kNF_y=\sigma_y A =(200\text{ MPa})(10\text{ cm}^2) =200\text{ kN}

解題方法

點 CC 向下位移 Δ\Delta 時，斜桿伸長量為

δAC=δBC=Δsin⁡30∘=Δ2\delta_{AC}=\delta_{BC}=\Delta\sin30^\circ=\frac{\Delta}{2}

因此每一根斜桿的軸力為

T=EA2⋅Δ2=EA4ΔT=\frac{EA}{2}\cdot\frac{\Delta}{2} =\frac{EA}{4}\Delta

中央桿 DCDC 的伸長量為 Δ\Delta，在彈性階段：

ND=EA1Δ=EAΔN_D=\frac{EA}{1}\Delta=EA\Delta

點 CC 的垂直平衡為

P=2Tsin⁡30∘+ND=T+NDP=2T\sin30^\circ+N_D=T+N_D

(1) P=200 kNP=200\text{ kN} 時的位移

三根桿均尚未降伏時，

P=EA4Δ+EAΔ=54EAΔP=\frac{EA}{4}\Delta+EA\Delta =\frac54EA\Delta

故

Δ=20054(2.0×105)=8.0×10−4 m\Delta =\frac{200}{\frac54(2.0\times10^5)} =8.0\times10^{-4}\text{ m}

因此

Δ=0.8 mm，向下\boxed{\Delta=0.8\text{ mm，向下}}

此時各桿軸力為

T=EA4Δ=40 kNT=\frac{EA}{4}\Delta=40\text{ kN} ND=EAΔ=160 kNN_D=EA\Delta=160\text{ kN}

均小於 200 kN200\text{ kN}，故彈性假設成立。

(2) P=300 kNP=300\text{ kN} 時的位移

中央桿 DCDC 最先降伏。其降伏位移為

Δy=FyEA=2002.0×105=1.0 mm\Delta_y=\frac{F_y}{EA} =\frac{200}{2.0\times10^5} =1.0\text{ mm}

此時斜桿軸力為

Ty=EA4(0.001)=50 kNT_y=\frac{EA}{4}(0.001)=50\text{ kN}

總荷重為

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