109 年 國立臺灣大學土木系碩士班結構組（一般生）《工程數學（A）》

核心觀念

本題涵蓋線性代數的核心基礎運算與結構分析：

1. 矩陣的秩（Rank）：基本列運算化為列梯型矩陣（Row Echelon Form），非零列的數目即為矩陣的秩，亦即線性獨立的行向量（或列向量）數量。
2. 行列式（Determinant）與可逆性（Invertibility）：若矩陣有兩列相同，則其行列式必為 $0$。根據可逆矩陣定理，$\det(A) = 0 \iff A$ 不可逆（$A^{-1}$ 不存在）。
3. 特徵值與特徵向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：由特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 求出特徵值 $\lambda$；再解齊次線性聯立方程 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 找出對應的特徵向量。
4. 對角化（Diagonalization）：$n \times n$ 實對稱矩陣（Real Symmetric Matrix）必可正交對角化，亦即可找到可逆矩陣 $P$ 使 $P^{-1}AP = D$（其中 $D$ 為對角矩陣）。
5. 矩陣次方（Matrix Powers）：利用對角化表示式 $A = PDP^{-1}$，可得 $A^k = P D^k P^{-1}$；或觀察區塊矩陣（Block Matrix）與幕等性質簡化高次方運算。

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解題方法與關鍵步驟

給定矩陣：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(a) 求 $A$ 的秩（Rank）

對矩陣 $A$ 進行列運算（Row Operations）：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1 \to R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

列梯型矩陣中有 $2$ 個非零列，因此：

$$\text{rank}(A) = 2$$

(b) 計算 $A$ 的行列式 $\det(A)$

因為矩陣 $A$ 的第 1 列與第 2 列完全相同（即列向量線性相依），由行列式性質可知：

$$\det(A) = 0$$

亦可由第 3 列進行拉普拉斯展開驗證：

$$\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 0$$

(c) 判斷 $A^{-1}$ 是否存在，若存在求之

由可逆矩陣定理可知：方陣可逆的充要條件為 $\det(A) \neq 0$（或 $\text{rank}(A) = 3$）。
因為 $\det(A) = 0$，故：

$$A^{-1} \text{ 不存在（不存在反矩陣）}$$

(d) 求 $A$ 的特徵值與特徵向量

1. 求特徵值：
解特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$：

$$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0$$

對第 3 列展開：

$$(1 - \lambda) \cdot \left[ (1 - \lambda)^2 - 1 \right] = 0$$ $$(1 - \lambda) \cdot (\lambda^2 - 2\lambda) = 0$$ $$-\lambda(1 - \lambda)(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$$

解得特徵值為：

$$\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 1, \quad \lambda_3 = 2$$

2. 求對應的特徵向量：

• 當 $\lambda_1 = 0$ 時，解 $(A - 0I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_3 = 0 \end{cases}$$

取自由變數 $x_2 = 1$，得特徵向量：

$$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (\text{或任意非零純量倍數})$$

• 當 $\lambda_2 = 1$ 時，解 $(A - 1I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} x_2 = 0 \\ x_1 = 0 \end{cases}$$

$x_3$ 為自由變數，取 $x_3 = 1$，得特徵向量：

$$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad (\text{或任意非零純量倍數})$$

• 當 $\lambda_3 = 2$ 時，解 $(A - 2I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} -x_1 + x_2 = 0 \\ -x_3 = 0 \end{cases}$$

取自由變數 $x_2 = 1$，得特徵向量：

核心觀念

判斷向量場是否可能是旋度或梯度，可先使用恆等式 $\nabla\cdot(\nabla\times G)=0$ 與 $\nabla\times(\nabla\phi)=0$。曲面積分可用參數化直接計算；Stokes 定理則可將旋度的通量改寫為邊界線積分。

解題方法

依原卷頁圖，題目給定 $F(x,y,z)=(0,-z^2,yz)$，曲面為單位球面上 $x\ge 0$ 的半球；(c) 要求直接計算曲面積分，(d) 再以 Stokes 定理驗算。

逐小題解析

(a) 判斷是否存在 $\nabla\times G=F$

若 $F=\nabla\times G$，則必須滿足 $\nabla\cdot F=0$。計算：

$$\nabla\cdot F =\frac{\partial 0}{\partial x} +\frac{\partial(-z^2)}{\partial y} +\frac{\partial(yz)}{\partial z} =y.$$

因為 $y$ 在整個三維空間並非恆等於 $0$，所以 $F$ 不可能是某個向量場的旋度。因此不存在所求的 $G$。

(b) 判斷 $F$ 是否為梯度場

若 $F=\nabla\phi$，則必須有 $\nabla\times F=0$。計算：

$$\nabla\times F = \left( \frac{\partial(yz)}{\partial y}-\frac{\partial(-z^2)}{\partial z}, \frac{\partial 0}{\partial z}-\frac{\partial(yz)}{\partial x}, \frac{\partial(-z^2)}{\partial x}-\frac{\partial 0}{\partial y} \right) =(3z,0,0).$$

此旋度在 $z\ne 0$ 時不為零，因此 $F$ 不是梯度向量場。

(c) 不用積分定理直接計算曲面積分

採用球面參數化：

$$\mathbf r(\phi,\theta) =(\cos\phi,\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta), \qquad 0\le\phi\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le\theta\le2\pi.$$

這個範圍涵蓋 $x=\cos\phi\ge0$ 的半球。取向外法向，向量面積元素為

核心觀念

本題考查二階常係數非齊次微分方程

$$y''+4y=g(t)$$

配合零初始條件 $y(0)=y'(0)=0$ 的解法。

齊次方程

$$y''+4y=0$$

的通解為

$$y_h=C_1\cos 2t+C_2\sin 2t.$$

另外，零初始條件下可使用卷積公式

$$y(t)=\int_0^t \frac{\sin 2(t-\tau)}{2}g(\tau)\,d\tau.$$

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(a) $g(t)=\sin^2t$

先利用降冪公式：

$$\sin^2t=\frac{1-\cos 2t}{2}.$$

因此方程式為

$$y''+4y=\frac12-\frac12\cos 2t.$$

常數項 $\frac12$ 所對應的特解為

$$y_{p1}=\frac18.$$

因為 $\cos 2t$ 與齊次解共振，需取含 $t$ 的特解。由

$$\left(D^2+4\right)(t\sin 2t)=4\cos 2t,$$

可得

$$y_{p2}=-\frac18t\sin 2t.$$

所以通解為

$$y=C_1\cos 2t+C_2\sin 2t+\frac18-\frac18t\sin 2t.$$

代入 $y(0)=0$：

$$C_1+\frac18=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1=-\frac18.$$

微分得

$$y'=-2C_1\sin 2t+2C_2\cos 2t -\frac18\sin 2t-\frac14t\cos 2t.$$

代入 $y'(0)=0$：

$$2C_2=0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=0.$$

因此

$$\boxed{ y(t)=\frac{1-\cos 2t-t\sin 2t}{8} }$$

其中 $t\sin 2t$ 項即為共振造成的成長項。

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(b) 分段外力

題目中的外力可寫成階梯函數形式：

$$g(t)=(t-1)u(t-1)-(t-2)u(t-2),$$

其中 $u(t-a)$ 為單位階梯函數。

先求「零初始條件下，外力為 $t$」的基本響應 $F(t)$：

$$F''+4F=t,\qquad F(0)=F'(0)=0.$$

取特解 $F_p=t/4$，故

$$F(t)=\frac{t}{4}+C_1\cos 2t+C_2\sin 2t.$$