108 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丙組《動力學》

核心觀念

本題使用：

• 機械能守恆，求擺錘在 $\theta=60^\circ$ 時的速度。
• 法向（向心）方向的牛頓第二定律，求繩張力 $T$。
• 固定光滑銷釘兩側繩張力相等，再以向量合成求銷釘受力 $R$。

由圖可知：

$$AB=400\text{ mm}=0.4\text{ m},\qquad L=800\text{ mm}=0.8\text{ m}$$

繩子繞過 $B$ 後，擺錘繞 $B$ 運動，其有效半徑為

$$r=L-AB=0.8-0.4=0.4\text{ m}$$

解題方法

取 $A$ 的高度為基準。擺錘初始位置與 $A$ 同高；在 $\theta=60^\circ$ 時，擺錘位於 $B$ 下方

$$r\cos\theta=0.4\cos60^\circ=0.2\text{ m}$$

而 $B$ 位於 $A$ 下方 $0.4\text{ m}$，因此此時擺錘比初始位置低

$$h=0.4+0.2=0.6\text{ m}$$

銷釘光滑，繞繩過程不消耗機械能，故由能量守恆：

$$mgh=\frac12mv^2$$ $$v^2=2gh=2(9.81)(0.6)=11.772\text{ m}^2/\text{s}^2$$

核心觀念

物體初始靜止，因此任一點 $P$ 的初始加速度為

$$\mathbf a_P=\mathbf a_G+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf r_{P/G},$$

其中：

• $\mathbf a_G=\mathbf F/m$ 為質心平移加速度；
• $\boldsymbol{\alpha}$ 為繞質心的角加速度；
• $\mathbf r_{P/G}$ 為由質心 $G$ 指向 $P$ 的位置向量。

半圓形薄板的質心位於對稱軸上，距圓心

$$\bar y=\frac{4r}{3\pi}.$$

其對質心的質量慣性矩為

$$I_G=I_O-m\bar y^2 =m\left(\frac{r^2}{4}-\bar y^2\right),$$

因為半圓薄板對圓心 $O$ 的慣性矩為 $I_O=mr^2/4$。

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解題方法

依圖示取外力方向為 $+x$ 軸方向，且

$$B=(0,r),\qquad G=(0,\bar y).$$

因此

$$\mathbf r_{B/G}=(0,r-\bar y).$$

外力對質心的力矩為

$$\sum M_G =\mathbf r_{B/G}\times\mathbf F =-(r-\bar y)F\,\mathbf k.$$

故角加速度為

$$\boldsymbol{\alpha} =-\frac{(r-\bar y)F}{I_G}\mathbf k.$$

質心平移加速度為

$$\mathbf a_G=\frac{F}{m}\mathbf i.$$

設

$$P=(x_p,y_p),$$

則

$$\mathbf r_{P/G} =x_p\mathbf i+(y_p-\bar y)\mathbf j.$$

由叉積

本題考驗對衛星軌道力學的基本概念的理解，包括圓形軌道上的速度、週期和總能量的計算。題目提供了地球的相關參數和衛星的軌道參數。

核心觀念：

1. 萬有引力定律 (Newton's Law of Universal Gravitation): 兩個質點間的引力大小為 $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$。
2. 圓周運動的向心力： 在圓形軌道上，引力提供衛星所需的向心力。
3. 軌道力學參數： 軌道速度、軌道週期、軌道能量。
4. 地球引力參數 ($\mu$): $\mu = GM$，其中 G 是萬有引力常數，M 是中心天體質量。使用 $\mu$ 可以簡化計算。

解題步驟：

1. 確定軌道半徑 $r_{\text{orbit}}$：
衛星的軌道是圓形軌道，其軌道半徑是地球半徑加上軌道高度。

• 地球半徑 $R = 6378 \, \text{km}$。
• 衛星軌道高度 $z = 725 \, \text{km}$。
• 軌道半徑 $r_{\text{orbit}} = R + z = 6378 \, \text{km} + 725 \, \text{km} = 7103 \, \text{km}$。

2. 衛星的運行速度 $v$：
在圓形軌道上，地球對衛星的引力提供衛星做圓周運動所需的向心力。

• 引力 $F_g = G \frac{m_{\text{earth}} m_{\text{sat}}}{r_{\text{orbit}}^2}$。

• 向心力 $F_c = m_{\text{sat}} \frac{v^2}{r_{\text{orbit}}}$。

• 令 $F_g = F_c$：
  $G \frac{m_{\text{earth}} m_{\text{sat}}}{r_{\text{orbit}}^2} = m_{\text{sat}} \frac{v^2}{r_{\text{orbit}}}$

• 消去 $m_{\text{sat}}$ 和一個 $r_{\text{orbit}}$：
  $G \frac{m_{\text{earth}}}{r_{\text{orbit}}} = v^2$

• 或者，使用地球引力參數 $\mu_{\text{Earth}} = G m_{\text{earth}}$：
  $v^2 = \frac{\mu_{\text{Earth}}}{r_{\text{orbit}}}$

• 所以，衛星的速度為：
  $v = \sqrt{\frac{\mu_{\text{Earth}}}{r_{\text{orbit}}}}$

• 數值計算（選填）：

  • $\mu_{\text{Earth}} = 398600 \, \text{km}^3/\text{s}^2$。
  • $r_{\text{orbit}} = 7103 \, \text{km}$。
  • $v = \sqrt{\frac{398600 \, \text{km}^3/\text{s}^2}{7103 \, \text{km}}} = \sqrt{56.1164 \, \text{km}^2/\text{s}^2} \approx 7.491 \, \text{km/s}$。

3. 衛星的軌道週期 $T$：
軌道週期是指衛星繞地球公轉一圈所需的時間。

• 衛星在週期 $T$ 內運動的距離是軌道的周長 $2\pi r_{\text{orbit}}$。

• 週期 $T = \frac{\text{軌道周長}}{\text{速度}} = \frac{2\pi r_{\text{orbit}}}{v}$。

• 將 $v = \sqrt{\frac{\mu_{\text{Earth}}}{r_{\text{orbit}}}}$ 代入：
  $T = \frac{2\pi r_{\text{orbit}}}{\sqrt{\frac{\mu_{\text{Earth}}}{r_{\text{orbit}}}}} = 2\pi r_{\text{orbit}} \sqrt{\frac{r_{\text{orbit}}}{\mu_{\text{Earth}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{r_{\text{orbit}}^3}{\mu_{\text{Earth}}}}$。

• 數值計算（選填）：

核心觀念

本題考查旋轉剛體的角動量與陀螺效應。所用基本關係為

$$\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{H}}{dt}$$

其中 $\mathbf{M}$ 為外力矩，$\mathbf{H}$ 為角動量。對於剛體，

$$\mathbf{H}=\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$$

飛機轉彎時，螺旋槳的自轉軸方向也隨飛機以 $\omega_z$ 進行進動，因此自轉角動量方向持續改變，必須由螺旋槳軸提供陀螺力矩。

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解題方法

取飛機座標系：

• $x$ 軸：沿螺旋槳軸；
• $y$ 軸：側向；
• $z$ 軸：鉛直向上，也是水平轉彎的轉動軸。

假設 $\omega_p$ 沿 $+x$ 軸，$\omega_z$ 沿 $+z$ 軸。

當兩片螺旋槳葉片位於鉛直位置時，兩片葉片可視為一根沿 $z$ 軸的細長桿。因此其慣性矩為

$$I_x=I,\qquad I_y=I,\qquad I_z=0$$

其中 $I_z=0$ 是因為葉片的縱向慣性矩忽略不計。

螺旋槳的角速度主要為自轉角速度

$$\boldsymbol{\omega}_p=\omega_p\mathbf{e}_x$$

故其角動量為

$$\mathbf{H} =I_x\omega_p\mathbf{e}_x =I\omega_p\mathbf{e}_x$$

在穩定轉彎中，$\omega_p$ 與 $\omega_z$ 的大小均為常數，但 $x$ 軸方向隨飛機轉彎而改變。因此

$$\frac{d\mathbf{H}}{dt} = \boldsymbol{\omega}_z\times\mathbf{H}$$

代入

$$\boldsymbol{\omega}_z=\omega_z\mathbf{e}_z$$

得到

$$\mathbf{M} = \omega_z\mathbf{e}_z \times I\omega_p\mathbf{e}_x$$

由右手定則，

$$\mathbf{e}_z\times\mathbf{e}_x=\mathbf{e}_y$$

因此