112 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丙組《動力學》

此題考驗質點在彎道及圓周運動中的受力分析與動力學方程式應用。

首先，將給定的速度單位換算成公尺/秒。
$v = 350 \text{ km/h} = 350 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{3500}{36} \text{ m/s} = \frac{875}{9} \text{ m/s}$

(a) 飛機在水平轉彎時，其受力包含重力 $mg$（向下）、升力 $L$（垂直於機翼，通常假設與速度方向垂直，但在此題中，由於有 banking angle，升力是斜向上的）以及向心力（由升力的水平分量提供）。

我們可以將升力 $L$ 分解為水平分量 $L_h$ 和垂直分量 $L_v$。
$L_v = L \cos \theta$
$L_h = L \sin \theta$

由於飛機在水平飛行，垂直方向合力為零：
$L_v - mg = 0$
$L \cos \theta = mg$
$L = \frac{mg}{\cos \theta}$

將 $m = 5000 \text{ Kg}$，$g \approx 9.81 \text{ m/s}^2$（題目未給定 $g$，一般 Assume $g=9.81$ 或 $9.8$），$\theta = 30^\circ$ 代入：
$L = \frac{5000 \times 9.81}{\cos 30^\circ} = \frac{49050}{\sqrt{3}/2} = \frac{98100}{\sqrt{3}} \text{ N} \approx 56636 \text{ N}$

水平方向的合力提供向心力 $F_c = m \frac{v^2}{r}$：
$L_h = m \frac{v^2}{r}$
$L \sin \theta = m \frac{v^2}{r}$

將 $L = \frac{mg}{\cos \theta}$ 代入：
$\frac{mg}{\cos \theta} \sin \theta = m \frac{v^2}{r}$
$mg \tan \theta = m \frac{v^2}{r}$
$r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$

將 $v = \frac{875}{9} \text{ m/s}$，$g = 9.81 \text{ m/s}^2$，$\theta = 30^\circ$ 代入：
$r = \frac{(\frac{875}{9})^2}{9.81 \tan 30^\circ} = \frac{(\frac{875}{9})^2}{9.81 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \approx \frac{941.77}{9.81 \times 0.577} \approx \frac{941.77}{5.66} \approx 166.39 \text{ m}$

【答案】
升力 $L \approx 56636 \text{ N}$
圓周半徑 $r \approx 166.39 \text{ m}$

(b) 飛機的轉彎率（turning rate）是指單位時間內轉過的圓心角。
轉彎率 $\omega = \frac{v}{r}$

將 $v = \frac{875}{9} \text{ m/s}$，$r \approx 166.39 \text{ m}$ 代入：
$\omega = \frac{875/9}{166.39} \approx \frac{97.22}{166.39} \approx 0.584 \text{ rad/s}$

核心觀念

本題考查二維完全彈性碰撞，使用：

1. 動量守恆
2. 動能守恆
3. 向量內積判斷兩速度向量的夾角

設球 A 碰撞前速度為 $\mathbf{u}$，球 B 原先靜止。碰撞後球 A、B 的速度分別為 $\mathbf{v}_A$、$\mathbf{v}_B$。兩球質量相同，皆為 $m$。

題目所求的「碰撞後角度」是兩球離開方向之間的夾角。

解題方法

由於碰撞發生在水平面內，取水平面為二維座標系。碰撞前只有球 A 具有速度，因此初始動量為

$$\mathbf{P}_{\text{初}}=m\mathbf{u}$$

碰撞後總動量為

$$\mathbf{P}_{\text{末}}=m\mathbf{v}_A+m\mathbf{v}_B$$

由動量守恆：

$$m\mathbf{u}=m\mathbf{v}_A+m\mathbf{v}_B$$

約去質量 $m$，得

$$\mathbf{u}=\mathbf{v}_A+\mathbf{v}_B$$

完全彈性碰撞同時滿足動能守恆：

$$\frac{1}{2}m u^2 = \frac{1}{2}m v_A^2+\frac{1}{2}m v_B^2$$

約去 $\frac{1}{2}m$：

$$u^2=v_A^2+v_B^2$$

另一方面，將動量向量式平方：

$$u^2 = \left(\mathbf{v}_A+\mathbf{v}_B\right) \cdot \left(\mathbf{v}_A+\mathbf{v}_B\right)$$

展開得

$$u^2=v_A^2+v_B^2+2\mathbf{v}_A\cdot\mathbf{v}_B$$

核心觀念

質心 $G$ 沿圓弧運動時，其切向速度大小、軌跡半徑與角速度的關係為

$$v_G=\rho_G\omega$$

圖中 $G$ 的軌跡與道路相距 $0.5\,\text{m}$。道路為凹向上的圓弧，因此 $G$ 位於道路曲率中心一側，故質心軌跡半徑比道路半徑小 $0.5\,\text{m}$。

解題方法

(a) 先由 A 點的速度與角速度求出質心軌跡半徑：

$$\rho_G=\frac{v_A}{\omega_A} =\frac{10}{0.25} =40\,\text{m}$$

由圖示的 $0.5\,\text{m}$ 偏移量，道路曲率半徑為

$$\rho_{\text{road}}=\rho_G+0.5=40.5\,\text{m}$$

(b) 車輛沿同一圓弧行駛，質心軌跡半徑維持 $40\,\text{m}$。因此 B 點的角速度為

核心觀念

本題考查平面四連桿機構的速度與加速度分析。對任一剛體連桿，若 $P$、$Q$ 為其兩點，則

$$\mathbf v_P=\mathbf v_Q+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{P/Q}$$ $$\mathbf a_P=\mathbf a_Q+\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{P/Q} -\omega^2\mathbf r_{P/Q}$$

取逆時針為角速度、角加速度正方向。題目未另給 $\alpha_{OA}$，依標準解讀，輸入桿 $OA$ 以等角速度轉動，因此

$$\alpha_{OA}=0$$

幾何位置

由圖得

$$O=(0,0),\qquad C=(240,0)$$

因為 $CB$ 垂直且長度為 $200\text{ mm}$，

$$B=(240,200)$$

又已知

$$A=(-60,100)$$

因此

$$\mathbf r_{A/O}=(-60,100)\text{ mm}$$ $$\mathbf r_{B/C}=(0,200)\text{ mm}$$ $$\mathbf r_{B/A}=B-A=(300,100)\text{ mm}$$

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(a) 求連桿 $BC$ 的角速度

輸入桿 $OA$ 的角速度為

$$\omega_{OA}=10\text{ rad/s}$$

所以點 $A$ 的速度為

$$\mathbf v_A =\omega_{OA}\mathbf k\times\mathbf r_{A/O}$$ $$\mathbf v_A =10\mathbf k\times(-60\mathbf i+100\mathbf j) =(-1000\mathbf i-600\mathbf j)\text{ mm/s}$$

由於 $BC$ 當下垂直，點 $B$ 的速度為水平方向：

$$\mathbf v_B =\omega_{BC}\mathbf k\times(200\mathbf j) =-200\omega_{BC}\mathbf i$$

對連桿 $AB$ 使用相對速度公式：

$$\mathbf v_B =\mathbf v_A+\omega_{AB}\mathbf k\times\mathbf r_{B/A}$$ $$-200\omega_{BC}\mathbf i =(-1000\mathbf i-600\mathbf j) +\omega_{AB}(-100\mathbf i+300\mathbf j)$$

比較 $y$ 分量：

$$0=-600+300\omega_{AB}$$ $$\omega_{AB}=2\text{ rad/s}$$

比較 $x$ 分量：

$$-200\omega_{BC}=-1000-100(2)$$ $$-200\omega_{BC}=-1200$$

因此

$$\omega_{BC}=6\text{ rad/s}$$

方向為逆時針。

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(b) 求連桿 $BC$ 的角加速度