113 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丙組《動力學》

本題考查極座標下的速度與加速度表示式。

(a) 根據題目給定的速度向量 $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta$，其分量即為沿著 $\vec{e}_r$ 和 $\vec{e}_\theta$ 方向的分量。
徑向速度 $v_r$ 是速度向量在 $\vec{e}_r$ 方向的分量，因此 $v_r = \dot{r}$。
角向速度 $v_\theta$ 是速度向量在 $\vec{e}_\theta$ 方向的分量，因此 $v_\theta = r\dot{\theta}$。

【答案】 $v_r = \dot{r}$， $v_\theta = r\dot{\theta}$。

(b) 根據題目給定的加速度向量 $\vec{a} = \ddot{r}\vec{e}_r + a_\theta\vec{e}_\theta$，我們需要找到 $a_r$ 和 $a_\theta$。
加速度向量是速度向量對時間的微分：
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta)$

在極座標系中，單位向量 $\vec{e}_r$ 和 $\vec{e}_\theta$ 也是隨時間變化的：
$\frac{d\vec{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\vec{e}_\theta$
$\frac{d\vec{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\vec{e}_r$

對速度向量微分：
$\vec{a} = \frac{d}{dt}(\dot{r}\vec{e}_r) + \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}\vec{e}_\theta)$

核心觀念

本題考查萬有引力的反平方定律、圓形軌道速度，以及極座標下的速度與加速度分量。依圖示，推力方向與 $\vec e_\theta$ 的夾角為 $\phi$，且推力朝向具有正的 $\vec e_r$、$\vec e_\theta$ 分量。

令地球的重力參數為

$$\mu = GM = g_0 R_E^2$$

其中 $M$ 為地球質量、$G$ 為萬有引力常數。

解題方法

(a) 距離 $r$ 處的重力向量

重力大小遵守反平方定律。利用地表重力加速度 $g_0 = GM/R_E^2$，可得

$$F_g = \frac{GMm}{r^2} = \frac{m g_0 R_E^2}{r^2}$$

重力指向地心，與徑向外單位向量 $\vec e_r$ 相反，因此

$$\boxed{\vec F_g = -\frac{m g_0 R_E^2}{r^2}\,\vec e_r}$$

(b) 進入半徑 $r_f$ 圓形軌道所需速度

圓形軌道上，重力提供向心力。令軌道速率為 $v_f$：

$$\frac{m v_f^2}{r_f} = \frac{m g_0 R_E^2}{r_f^2}$$

解出速率：

$$v_f = \sqrt{\frac{g_0 R_E^2}{r_f}}$$

圓形軌道速度沿切線方向；依圖示方向取 $\vec e_\theta$，所以

$$\boxed{\vec v_f = \sqrt{\frac{g_0 R_E^2}{r_f}}\,\vec e_\theta}$$

(c) $\vec e_r$ 與 $\vec e_\theta$ 方向的運動方程

極座標下，火箭的位置向量為 $\vec r=r\vec e_r$，其加速度為

$$\vec a = \left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\vec e_r + \left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\vec e_\theta$$

核心觀念

本題使用：

1. 機械能守恆

$T_1+V_1=T_2+V_2$

接觸面無滑動，因此靜摩擦力不作功。

2. 剛體平面運動
   求各桿件質心速度與角速度。

3. 滾動約束

$v_{\text{disk}}=r\omega_{\text{disk}}$

圖中兩根桿長均為 $3\ \text{ft}$，兩桿及兩圓盤均左右對稱；桿端銷接於圓盤中心，圓盤半徑為 $0.5\ \text{ft}$。

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運動學關係

令兩圓盤中心距離的一半為 $x$，則由幾何關係：

$x=3\cos\theta$

當 $\theta=0^\circ$ 時，

$\dot{x}=-3\sin\theta\,\dot{\theta}=0$

因此在所求瞬間：

$v_A=v_C=0$

由於圓盤無滑動，

$\omega_{\text{disk}}=\frac{v_{\text{disk}}}{r}=0$

所以兩圓盤在 $\theta=0^\circ$ 瞬間皆無平移速度與角速度。

桿中點到圓盤中心的距離為 $1.5\ \text{ft}$，因此桿質心高度為

$y_G=0.5+1.5\sin\theta$

在 $\theta=0^\circ$ 時，桿質心速度為垂直方向：

$v_G=1.5|\dot{\theta}|$

桿的角速度大小為

$\omega_{\text{bar}}=|\dot{\theta}|$

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能量方程

每根桿的質量為

$m_b=\frac{10}{32.2}\ \text{slug}$

每根桿的質心轉動慣量：

$I_G=\frac{1}{12}m_b(3)^2=0.75m_b$

兩圓盤在初、末瞬間皆無動能，因此只需考慮兩根桿。

桿由初始角度 $\theta_0$ 下降至 $\theta=0^\circ$，兩根桿總重力位能減少量為

$$\Delta V =2(10)(1.5\sin\theta_0) =30\sin\theta_0\ \text{ft}\cdot\text{lb}$$

末狀態兩根桿的總動能為

$$T =2\left[ \frac12m_b(1.5\dot{\theta})^2 +\frac12I_G\dot{\theta}^2 \right]$$

代入 $I_G=0.75m_b$：

$$T =2\left[ \frac12m_b(2.25\dot{\theta}^2) +\frac12(0.75m_b)\dot{\theta}^2 \right]$$

$T=3m_b\dot{\theta}^2$

由能量守恆：

$3m_b\dot{\theta}^2=30\sin\theta_0$

核心觀念

本題考查：

• 等加速度直線運動：

  $v^2=v_0^2+2as$

• 牛頓第二定律：

  $\sum F_x=ma$

• 鉛直方向無加速度：

  $N_A+N_B=W$

• 對質心 $G$ 取力矩。由圖可知：

  $AG=30\ \text{m},\qquad GB=7.5\ \text{m}$

  質心高度為 $5\ \text{m}$，引擎推力作用線高度為 $4\ \text{m}$，因此推力作用線低於質心：

  $e=5-4=1\ \text{m}$

已知

$m=160\ \text{Mg}=160000\ \text{kg}$

$W=mg=160000(9.81)=1.5696\times10^6\ \text{N}$

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(a) 從靜止加速至 $300\ \text{km/h}$

1. 求加速度

$v=300\left(\frac{1000}{3600}\right)=83.333\ \text{m/s}$

由

$v^2=v_0^2+2as$

得

$$a=\frac{83.333^2}{2(2000)} =0.4340\ \text{m/s}^2$$

2. 求每具引擎推力 $T$

四具引擎的總推力為 $4T$，水平方向套用牛頓第二定律：

$4T=ma$

因此

$$T=\frac{ma}{4} =\frac{160000(0.4340)}{4}$$ $$T=1.736\times10^4\ \text{N} =17.36\ \text{kN}$$

3. 求鼻輪法向反力 $N_A$

對質心 $G$ 取力矩。加速時推力向右，且作用線位於質心下方 $1\ \text{m}$，其力矩為逆時針。

$\sum M_G=0$

$-30N_A+7.5N_B+4T(1)=0$

又因鉛直方向無加速度：

$N_A+N_B=W$

$N_B=W-N_A$

代入得

$-30N_A+7.5(W-N_A)+4T=0$

$37.5N_A=7.5W+4T$

$N_A=\frac{7.5W+4T}{37.5}$

$$N_A =\frac{7.5(1.5696\times10^6)+6.9444\times10^4}{37.5}$$

$N_A=3.158\times10^5\ \text{N}$

因此

$N_A\approx315.8\ \text{kN}$

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(b) 由 $200\ \text{km/h}$ 減速至 $60\ \text{km/h}$

1. 求減速度

初速與末速為