113 年 國立成功大學太空系統工程研究所碩士班《普通物理學》

此題考驗對物體在重力場中運動的慣性與運動獨立性的理解。

核心觀念：
在忽略空氣阻力的情況下，物體在重力場中的運動只受到重力作用。水平方向的運動與垂直方向的運動是獨立的。當一個物體被拋出後，其水平方向的速度保持恆定（若無水平外力），而垂直方向則進行自由落體運動。

解題過程：
題目描述一個轟炸機在飛行中投下一枚炸彈，地面上的觀察者觀察轟炸機和炸彈的運動軌跡。假設忽略空氣阻力。

• 轟炸機的運動： 轟炸機在投彈前，應當是水平飛行（或有一定速度的飛行）。投彈後，轟炸機本身由於慣性，會繼續沿著其投彈前的速度方向前進。
• 炸彈的運動： 炸彈被投下時，它同時具有轟炸機原有的水平速度和由於重力產生的垂直向下速度。因此，炸彈的運動軌跡實際上是其水平運動（與轟炸機相同）和垂直自由落體運動的疊加。

我們分析選項：

• (a) 軌跡圖示： 顯示炸彈的軌跡是向下彎曲的拋物線，且在任何時刻，炸彈的水平位置都與轟炸機相同。這是因為炸彈在被投下時，其水平速度與轟炸機相同，且在忽略空氣阻力時，此水平速度保持不變。同時，炸彈開始向下加速，形成自由落體運動。這兩種運動的疊加，就是一個拋物線軌跡。

此題考驗對克卜勒行星運動三大定律的記憶與理解。

核心觀念：
克卜勒三大定律是描述行星繞太陽運動的經驗定律，它們奠定了牛頓萬有引力定律的基礎。

克卜勒三大定律的敘述：

1. 第一定律（橢圓軌道定律）： 所有的行星繞太陽的軌道都是橢圓，而太陽位於這些橢圓的兩個焦點之一上。
   • 敘述： 每個行星都沿著一個橢圓軌道繞太陽運行，而太陽則位於該橢圓軌道的一個焦點上。
2. 第二定律（面積定律）： 在相等的時間內，連接行星與太陽的直線所掃過的面積相等。
   • 敘述： 行星與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。

核心觀念

本題考查萬有引力與圓形軌道：

• 萬有引力提供圓周運動所需的向心力：

  $\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

• 圓形軌道速度：

  $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

• 圓形軌道週期：

  $T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

• 重力位能：

  $U=-\frac{GMm}{r}$

• 圓形軌道的總機械能：

  $E_{\text{orbit}}=-\frac{GMm}{2r}$

• 地球自轉會使衛星在發射前已具有自轉速度。為使所需能量最小，應在赤道向東發射，使地球自轉速度最大程度地提供初始動能。

已知

$$m=400\ \text{kg},\quad R=6370\ \text{km}=6.370\times10^6\ \text{m}$$ $$h=700\ \text{km}=7.00\times10^5\ \text{m}$$

因此軌道半徑為

$$r=R+h=7.070\times10^6\ \text{m}$$

地球的重力參數為

$$GM=(6.67\times10^{-11})(6.0\times10^{24}) =4.002\times10^{14}\ \text{m}^3\text{s}^{-2}$$

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解題方法

先由萬有引力提供向心力求出圓形軌道速度，再利用圓周長除以速度求週期。第（c）問則使用「末態總能量減初態總能量」，並扣除地球自轉已提供的初始動能。

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（a）完成一圈所需時間

圓形軌道速度為

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}} =\sqrt{\frac{4.002\times10^{14}}{7.070\times10^6}}$$ $$v\approx 7.52\times10^3\ \text{m/s}$$

因此週期

$$T=\frac{2\pi r}{v}$$ $$T=\frac{2\pi(7.070\times10^6)} {7.52\times10^3} \approx 5.91\times10^3\ \text{s}$$

換算成分鐘：

$$T\approx \frac{5.91\times10^3}{60} \approx 98.4\ \text{min}$$

所以 FORMOSAT-5 約需

$$\boxed{5.91\times10^3\ \text{s}\approx98.4\ \text{分鐘}}$$

完成一圈。

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（b）FORMOSAT-5 的速度

由圓形軌道條件：

$$\boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{r}}}$$

代入數值：

$$v=\sqrt{\frac{4.002\times10^{14}} {7.070\times10^6}} \approx 7.52\times10^3\ \text{m/s}$$

因此

$$\boxed{v\approx7.52\ \text{km/s}}$$

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（c）考慮地球自轉時所需的最小能量

初態能量

衛星位於地球表面赤道，並向東發射時，地球自轉可提供最大的初始切向速度。

地球自轉角速度為

$$\omega=\frac{2\pi}{T_E}$$

取一天

$$T_E=8.64\times10^4\ \text{s}$$

則赤道表面因自轉所具有的速度為

$$v_{\text{rot}}=\omega R =\frac{2\pi R}{T_E}$$ $$v_{\text{rot}} =\frac{2\pi(6.370\times10^6)} {8.64\times10^4} \approx 4.63\times10^2\ \text{m/s}$$

核心觀念

本題利用兩個基本關係：

1. 光子的動量為

$$p=\frac{E}{c}$$

因此，單位時間通過的光能量，也就是功率 $P$，所攜帶的動量流率為

$$\frac{P}{c}$$

2. 太陽對太空船的萬有引力為

$$F_g=\frac{GM_\odot m}{r^2}$$

其中 $M_\odot$ 為太陽質量，$m$ 為太空船質量，$r$ 為太空船與太陽中心的距離。

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(a) 帆面應選擇吸收式還是反射式？

應選擇反射式太陽帆。

若帆面完全吸收光線，光子的動量由原本的 $p$ 變成 $0$，帆面獲得的動量改變量為

$$\Delta p=p$$

因此吸收式帆面的輻射壓為

$$p_{\text{abs}}=\frac{I}{c}$$

其中 $I$ 為太陽光的能流密度。

若帆面將光線完全反射，假設光線垂直入射，光子動量方向反轉，由 $+p$ 變成 $-p$，動量改變量為

$$\Delta p=2p$$

因此反射式帆面的輻射壓為

$$p_{\text{ref}}=\frac{2I}{c}$$

反射式帆面受到的推力是吸收式的兩倍，在帆面質量相同時能提供較大的加速度，故應採用反射式設計。

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(b) 所需太陽帆面積

解題方法

設太陽帆面積為 $A$，太空船質量為

$$m=1.00\times 10^4\ \text{kg}$$

太陽總功率為

$$P_\odot=3.9\times10^{26}\ \text{W}$$

採用完全反射帆面，並假設陽光垂直入射。

距離太陽 $r$ 處的太陽光能流密度為

$$I=\frac{P_\odot}{4\pi r^2}$$

反射式帆面的輻射壓為

$$p_{\text{rad}}=\frac{2I}{c} =\frac{2}{c}\frac{P_\odot}{4\pi r^2}$$

因此太陽光對帆面產生的推力為

$$F_{\text{rad}} =p_{\text{rad}}A =\frac{2P_\odot A}{4\pi r^2c} =\frac{P_\odot A}{2\pi r^2c}$$

要使太空船恰好抵抗太陽引力，需滿足

$$F_{\text{rad}}=F_g$$

所以

$$\frac{P_\odot A}{2\pi r^2c} = \frac{GM_\odot m}{r^2}$$

消去 $r^2$ 後得到

$$A=\frac{2\pi cGM_\odot m}{P_\odot}$$

代入

$$G=6.67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$$