115 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所甲組《通信數學（僅含線性代數、機率）》

本題考驗機率論中常見的隨機變數定義與其性質，特別是獨立性與機率質量函數的計算。

(a) 核心觀念：幾何分布的獨立性。
首先，我們需要定義 $X$ 和 $Y$ 所代表的事件。
$X$ 是首次成功所需的試驗次數。這符合幾何分布 $Geom(p)$ 的定義，其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=x) = (1-p)^{x-1} p$, for $x = 1, 2, 3, \dots$

$Y$ 是從第一次成功到第二次成功所需的試驗次數。由於每次伯努利試驗都是獨立的，並且試驗的「成功」與否不取決於之前的試驗次數，因此 $Y$ 的分佈也遵循幾何分布 $Geom(p)$。其 PMF 為：
$P(Y=y) = (1-p)^{y-1} p$, for $y = 1, 2, 3, \dots$

我們要證明事件 $\{X = x\}$ 和 $\{Y = y\}$ 是獨立的。根據獨立性的定義，我們需要證明 $P(\{X = x\} \cap \{Y = y\}) = P(X = x) P(Y = y)$。

事件 $\{X = x\} \cap \{Y = y\}$ 表示：

1. 前 $x-1$ 次試驗均為失敗，第 $x$ 次試驗為成功（這是事件 $\{X = x\}$ 的發生）。
2. 從第 $x$ 次試驗（第一次成功）開始，經過 $y-1$ 次試驗均為失敗，第 $x+y$ 次試驗為第二次成功。

由於所有的伯努利試驗都是獨立的，我們可以將這些事件的機率相乘：
$P(\{X = x\} \cap \{Y = y\}) = P(\text{first } x-1 \text{ failures, then success at trial } x, \text{ then } y-1 \text{ failures, then success at trial } x+y)$
$= \underbrace{(1-p) \dots (1-p)}_{x-1 \text{ times}} \cdot p \cdot \underbrace{(1-p) \dots (1-p)}_{y-1 \text{ times}} \cdot p$
$= (1-p)^{x-1} p (1-p)^{y-1} p$
$= (1-p)^{(x-1)+(y-1)} p^2$

現在，我們計算 $P(X=x) P(Y=y)$:
$P(X=x) P(Y=y) = \left( (1-p)^{x-1} p \right) \left( (1-p)^{y-1} p \right)$
$= (1-p)^{x-1} (1-p)^{y-1} p \cdot p$
$= (1-p)^{(x-1)+(y-1)} p^2$

比較兩者，我們發現 $P(\{X = x\} \cap \{Y = y\}) = P(X = x) P(Y = y)$。
因此，對於任何兩個正整數 $x$ 和 $y$，事件 $\{X = x\}$ 和 $\{Y = y\}$ 是獨立的。

【答案】證明過程如上。

(b) 核心觀念：隨機變數的和的機率分佈。
我們需要找到隨機變數 $Z = X + Y$ 的機率質量函數 (PMF)。
$Z$ 代表從開始到第二次成功所需的總試驗次數。
$X$ 是第一次成功所需的試驗次數。
$Y$ 是從第一次成功到第二次成功所需的試驗次數。
所以 $Z = X+Y$ 是從開始進行試驗到第二次成功所需的總試驗次數。

$X$ 的取值範圍是 $1, 2, 3, \dots$
$Y$ 的取值範圍是 $1, 2, 3, \dots$
因此，$Z = X+Y$ 的最小取值是 $1+1=2$。
$Z$ 的取值範圍是 $2, 3, 4, \dots$

本題考驗多變量機率，特別是均勻分佈在一個區域上的聯合機率密度函數的計算，以及相關區域的機率計算。

首先，我們需要確定點 $(X, Y)$ 的取樣區域。該區域是單位圓的上半部，不包含圓周，即 $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1, y > 0\}$。

(a) 核心觀念：區域上的均勻分佈。
當一個點 $(X, Y)$ 在一個區域 $D$ 上均勻隨機選取時，其聯合機率密度函數 (Joint PDF) $f_{X,Y}(x, y)$ 在區域 $D$ 內為常數 $c$，在區域 $D$ 外為 0。
這個常數 $c$ 可以通過機率密度函數在整個空間上的積分等於 1 來確定：
$\iint_{\mathbb{R}^2} f_{X,Y}(x, y) \,dx\,dy = 1$

在本題中，積分範圍是區域 $D$。
$\iint_{D} c \,dx\,dy = 1$
$c \iint_{D} \,dx\,dy = 1$

積分 $\iint_{D} \,dx\,dy$ 代表區域 $D$ 的面積。
區域 $D$ 是單位圓的上半部（不含圓周）。單位圓的半徑是 1。
單位圓的面積是 $\pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$。
上半圓的面積是 $\frac{1}{2} \pi$。

所以，區域 $D$ 的面積為 $\frac{\pi}{2}$。
$c \cdot \frac{\pi}{2} = 1$
$c = \frac{2}{\pi}$

因此，聯合機率密度函數 $f_{X,Y}(x, y)$ 為：
$f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \frac{2}{\pi} & \text{if } x^2 + y^2 < 1, y > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

【答案】$f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \frac{2}{\pi} & \text{if } x^2 + y^2 < 1, y > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

(b) 核心觀念：機率計算與幾何面積。
我們需要計算點 $(X, Y)$ 落入由頂點 $(-1,0), (0, 1), (1,0)$ 組成的三角形區域的機率。
設這個三角形區域為 $T$。
三角形 $T$ 的頂點是 $A=(-1,0)$, $B=(0,1)$, $C=(1,0)$。
這個三角形的底邊在 $x$-軸上，長度為 $1 - (-1) = 2$。
三角形的高是從頂點 $B=(0,1)$ 到 $x$-軸的距離，即 1。
三角形 $T$ 的面積為 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$。

我們要計算的機率是 $P((X,Y) \in T)$。
由於 $(X, Y)$ 是在區域 $D$ (上半圓) 上均勻分佈的，這個機率等於區域 $T$ 與區域 $D$ 的交集部分佔區域 $D$ 總面積的比例。
$P((X,Y) \in T) = \frac{\text{Area}(T \cap D)}{\text{Area}(D)}$

首先，我們需要確定區域 $T$ 與區域 $D$ 的交集 $T \cap D$ 是什麼。
區域 $D$ 是 $x^2 + y^2 < 1, y > 0$。
區域 $T$ 是由頂點 $(-1,0), (0, 1), (1,0)$ 組成的三角形。
三角形的邊界方程：

• 邊 $AB$ (從 $(-1,0)$ 到 $(0,1)$)：斜率 $m = \frac{1-0}{0-(-1)} = 1$。方程為 $y - 0 = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x+1$。
• 邊 $BC$ (從 $(0,1)$ 到 $(1,0)$)：斜率 $m = \frac{0-1}{1-0} = -1$。方程為 $y - 1 = -1(x - 0) \Rightarrow y = -x+1$。
• 邊 $AC$ (從 $(-1,0)$ 到 $(1,0)$)：在 $x$-軸上，$y=0$。

區域 $T$ 可以描述為：$y \ge 0$, $y \le x+1$, 且 $y \le -x+1$。
這三個不等式結合起來，也意味著 $-1 \le x \le 1$。

現在考慮 $T \cap D$。
區域 $D$ 的條件是 $x^2 + y^2 < 1$ 且 $y > 0$。
區域 $T$ 的條件是 $y \ge 0, y \le x+1, y \le -x+1$。

本題考驗線性代數中的基本概念，包括矩陣的可逆性、線性算子、奇異值分解以及矩陣對角化。

(a) 核心觀念：矩陣乘積的可逆性與交換性。
若兩個 $n \times n$ 矩陣 $A$ 和 $B$ 的乘積 $AB$ 是可逆的，則表示 $\det(AB) \neq 0$。
由於 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$，所以 $\det(A)\det(B) \neq 0$。
這意味著 $\det(A) \neq 0$ 且 $\det(B) \neq 0$。
若 $\det(A) \neq 0$ 且 $\det(B) \neq 0$，則矩陣 $A$ 和 $B$ 本身都是可逆的。

現在考慮 $BA$。
$\det(BA) = \det(B)\det(A)$。
因為 $\det(A) \neq 0$ 且 $\det(B) \neq 0$，所以 $\det(BA) \neq 0$。
因此，矩陣 $BA$ 也是可逆的。
這是一個經典的定理：若 $AB$ 可逆，則 $A$ 和 $B$ 都可逆，且 $BA$ 也可逆。

【答案】T

(b) 核心觀念：線性算子的性質。
一個算子 $L: V \to V$ 是線性的，如果對於任意的向量 $u, v \in V$ 和任意的純量 $c$，都滿足：

1. $L(u+v) = L(u) + L(v)$ (加法保持)
2. $L(cu) = cL(u)$ (純量乘法保持)

給定兩個線性算子 $T$ 和 $S$ 在向量空間 $V$ 上。我們需要判斷 $T^2 + 3S$ 是否為線性算子。
$T^2$ 表示 $T \circ T$，即 $T(T(v))$。由於 $T$ 是線性的，從 $V$ 到 $V$ 的映射，則 $T^2$ 也是一個線性算子。
證明 $T^2$ 的線性：

• $T^2(u+v) = T(T(u+v)) = T(T(u)+T(v))$ (因為 $T$ 線性)
  $= T(T(u)) + T(T(v))$ (因為 $T$ 線性)
  $= T^2(u) + T^2(v)$
• $T^2(cu) = T(T(cu)) = T(cT(u))$ (因為 $T$ 線性)
  $= cT(T(u))$ (因為 $T$ 線性)
  $= cT^2(u)$
  所以 $T^2$ 是線性的。

$3S$ 表示將向量 $v$ 映射到 $3S(v)$。
證明 $3S$ 的線性：

• $(3S)(u+v) = 3S(u+v) = 3(S(u)+S(v))$ (因為 $S$ 線性)
  $= 3S(u) + 3S(v)$
  $= (3S)(u) + (3S)(v)$
• $(3S)(cu) = 3S(cu) = 3(cS(u))$ (因為 $S$ 線性)
  $= c(3S(u))$
  $= c(3S)(u)$
  所以 $3S$ 是線性的。

現在考慮 $T^2 + 3S$。令 $L = T^2 + 3S$。
對於任意的 $u, v \in V$ 和純量 $c$:

• $L(u+v) = (T^2 + 3S)(u+v)$
  $= T^2(u+v) + 3S(u+v)$
  $= T^2(u) + T^2(v) + 3S(u) + 3S(v)$ (因為 $T^2$ 和 $3S$ 皆線性)
  $= (T^2(u) + 3S(u)) + (T^2(v) + 3S(v))$
  $= L(u) + L(v)$
• $L(cu) = (T^2 + 3S)(cu)$
  $= T^2(cu) + 3S(cu)$

本題考驗線性代數中正定矩陣的性質。

核心觀念：正定矩陣的定義與可逆性。
一個 $n \times n$ 的實對稱矩陣（或複數埃爾米特矩陣）$A$ 被稱為正定 (positive-definite) 的，如果對於任意的非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ (或 $x \in \mathbb{C}^n$)，都有 $x^T A x > 0$ (或 $x^* A x > 0$)。

我們要證明正定矩陣 $A$ 必然是可逆的。
我們可以使用反證法。假設 $A$ 是正定的，但 $A$ 是不可逆的。

如果 $A$ 是不可逆的，那麼存在一個非零向量 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ (或 $x_0 \in \mathbb{C}^n$)，使得 $Ax_0 = 0$。
這個方程 $Ax_0 = 0$ 表示向量 $x_0$ 是矩陣 $A$ 的零空間 (null space) 中的一個向量。

現在，我們考慮正定矩陣的定義。根據定義，對於任意的非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$。
我們取 $x = x_0$。由於我們假設 $x_0$ 是非零向量，根據正定性的定義，我們應該有：

核心觀念

本題考查：

1. 複數的模長與共軛；
2. Cauchy–Schwarz 不等式：

$$\left|\sum_{k=1}^n x_k\overline{y_k}\right|^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^2\right) \left(\sum_{k=1}^n|y_k|^2\right);$$

3. 複數不可直接定義大小關係。對複數而言，$z\leq w$ 一般沒有意義，必須先取絕對值，或明確比較實部。

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解題方法

先判斷各選項是否符合複數不等式的正確形式。

對於 (a)，其左右兩側皆為非負實數，可以直接比較。令

$x_k=|a_k|^2,\qquad y_k=|b_k|^2.$

則

$$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \left(\sum_{k=1}^n y_k\right) -\sum_{k=1}^n x_ky_k = \sum_{i\neq j}x_i y_j\geq 0.$$

因此

$$\sum_{k=1}^n |a_k|^2|b_k|^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n |a_k|^2\right) \left(\sum_{k=1}^n |b_k|^2\right).$$

由於

$|a_k b_k|^2=|a_k|^2|b_k|^2,$

故 (a) 成立。

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選項分析

(a) 正確

如上所示，

$$\sum_{k=1}^{n} |a_k b_k|^2 = \sum_{k=1}^{n}|a_k|^2|b_k|^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n}|a_k|^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n}|b_k|^2\right).$$

此不等式的左右兩側都是實數，且恆成立。

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(b) 錯誤

左側

$\sum_{k=1}^{n}a_k\bar b_k$

一般是複數，不能直接與右側的非負實數使用 $\leq$ 比較。

正確的 Cauchy–Schwarz 複數形式應為