109 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所甲組《通信數學》

本題考驗隨機變數的轉換與均勻分佈的機率密度函數。

首先，定義題目中的相關變數：
距離 $d = 180$ miles。
速度 $v$ miles/hour，其分佈為均勻分佈在 $[30, 60]$ 之間。
時間 $t$ hours。

速度 $v$ 的機率密度函數 (pdf) 為：
$f_v(v) = \begin{cases} \frac{1}{60-30} & \text{if } 30 \le v \le 60 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{30} & \text{if } 30 \le v \le 60 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

時間 $t$ 與速度 $v$ 的關係為 $t = \frac{d}{v}$。由於距離 $d$ 是常數，我們可以將時間 $t$ 表示為速度 $v$ 的函數：$t(v) = \frac{180}{v}$。

我們需要找到時間 $t$ 的機率密度函數 $f_t(t)$。首先，確定 $t$ 的取值範圍。
當 $v = 30$ miles/hour 時，$t = \frac{180}{30} = 6$ hours。
當 $v = 60$ miles/hour 時，$t = \frac{180}{60} = 3$ hours。
因此，時間 $t$ 的取值範圍為 $[3, 6]$ hours。

我們可以使用隨機變數轉換的方法來找到 $f_t(t)$。
首先，計算 $t$ 的累積分佈函數 (CDF)，記為 $F_t(t) = P(T \le t)$。
$F_t(t) = P(\frac{180}{V} \le t)$
因為 $t$ 是正值，且 $V$ 也是正值，我們可以將不等式改寫為：
$P(180 \le V \cdot t)$
$P(\frac{180}{t} \le V)$

現在，我們需要根據 $t$ 的範圍來計算這個機率。
對於 $3 \le t \le 6$：
$P(\frac{180}{t} \le V)$

觀察到 $\frac{180}{t}$ 的範圍。
當 $t=3$ 時，$\frac{180}{3} = 60$。
當 $t=6$ 時，$\frac{180}{6} = 30$。

本題考驗高斯積分 (Gaussian Integral) 的應用，並結合機率論的概念。

題目要求計算的積分是：
$I = \int_{-\infty}^{\infty} (y - 3)^2 e^{-4(y-2)^2} dy$

提示我們使用機率論的知識。這暗示我們可以將積分解釋為一個機率分佈的期望值。
標準的高斯函數 (或稱常態分佈的 pdf) 的形式為：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
其期望值為 $E[X] = \mu$，變異數為 $Var(X) = \sigma^2$。

觀察積分中的指數項 $e^{-4(y-2)^2}$。我們可以將其與高斯函數的指數項 $\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}$ 進行比較。
令 $-4(y-2)^2 = -\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}$。
顯然，$\mu = 2$。
則 $-4 = -\frac{1}{2\sigma^2}$。
$8 = \frac{1}{\sigma^2}$。
$\sigma^2 = \frac{1}{8}$。
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。

因此，積分中的 $e^{-4(y-2)^2}$ 項與一個平均值為 $\mu=2$ 且變異數為 $\sigma^2=\frac{1}{8}$ 的高斯分佈有關。
考慮一個隨機變數 $Y$ 具有機率密度函數 $f_Y(y)$。
如果 $f_Y(y) = C e^{-4(y-2)^2}$，其中 $C$ 是歸一化常數。
高斯函數的歸一化常數是 $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1/8)}} = \frac{1}{\sqrt{\pi/4}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$。
所以，一個 pdf 為 $f_Y(y) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-4(y-2)^2}$ 的隨機變數 $Y$ 的期望值是 $E[Y] = \mu = 2$。

原積分可以寫成：
$I = \int_{-\infty}^{\infty} (y - 3)^2 e^{-4(y-2)^2} dy$

我們可以將 $(y-3)^2$ 重新表示成與 $(y-2)$ 的關係：
$(y - 3)^2 = ((y - 2) - 1)^2 = (y - 2)^2 - 2(y - 2) + 1$

將此代入積分：
$I = \int_{-\infty}^{\infty} [(y - 2)^2 - 2(y - 2) + 1] e^{-4(y-2)^2} dy$
$I = \int_{-\infty}^{\infty} (y - 2)^2 e^{-4(y-2)^2} dy - 2 \int_{-\infty}^{\infty} (y - 2) e^{-4(y-2)^2} dy + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-4(y-2)^2} dy$

現在我們逐項計算這三個積分。

第一項：$\int_{-\infty}^{\infty} (y - 2)^2 e^{-4(y-2)^2} dy$
這可以看作是隨機變數 $Y$ (其 pdf 為 $\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-4(y-2)^2}$) 的 $E[(Y-2)^2]$。
$E[(Y-2)^2]$ 就是 $Y$ 的變異數 $Var(Y) = \sigma^2$。
我們已經計算出 $\sigma^2 = \frac{1}{8}$。
所以，$\int_{-\infty}^{\infty} (y - 2)^2 \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-4(y-2)^2} dy = \frac{1}{8}$。

核心觀念

本題考查可逆矩陣、冪零矩陣、矩陣乘積的秩，以及實矩陣的複數特徵值與特徵向量。

• 矩陣 $M$ 可逆，表示存在 $M^{-1}$ 使得 $MM^{-1}=I$。但這不代表 $M+I$ 也可逆。
• 若 $A^2=O$，則 $A$ 稱為冪零矩陣；這個條件不會直接推出 $A=O$。
• 任意兩個矩陣 $X,Y$ 的乘積滿足 $\operatorname{rank}(XY)\leq \operatorname{rank}(X)$，也滿足 $\operatorname{rank}(XY)\leq \operatorname{rank}(Y)$。
• 實矩陣的特徵值與特徵向量，可在複數範圍內討論；因此實矩陣可能有非實數特徵值與複數特徵向量。

解題方法

逐一檢查敘述是否對所有符合條件的矩陣成立。判斷全稱敘述時，找出一個反例即可證明敘述錯誤；秩的不等式則直接套用矩陣乘積的秩性質。

選項分析

(a) 錯誤。

取 $M=-I$。此時 $M$ 可逆，因為 $M^{-1}=-I$；但

$$M+I=-I+I=O,$$

零矩陣不可逆。因此，$M$ 可逆並不足以保證 $M+I$ 可逆。更一般地說，若 $M$ 有特徵值 $-1$，則 $M+I$ 會有特徵值 $0$，因而不可逆。

(b) 錯誤。

取

$$A= \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

$A$ 不是零矩陣，但

本題考驗線性代數中關於對稱矩陣的性質、可逆性、特徵值以及線性變換的定義。

Part (a): Show that $I + A^2$ is always an invertible matrix.

核心觀念：一個矩陣可逆的充要條件是其行列式不為零，或者其特徵值均不為零。由於 $I+A^2$ 是對稱矩陣，其特徵值均為實數。我們要證明 $I+A^2$ 的所有特徵值均為正實數。

已知 A 是一個 $n \times n$ 的實數對稱矩陣，即 $A^T = A$。
對於任何實數向量 $x \in \mathbb{R}^n$, $x \neq 0$，考慮二次型 $x^T A^2 x$。
$x^T A^2 x = x^T A A x$
由於 A 是對稱矩陣，我們可以將 A 寫成 $A = PDP^T$，其中 P 是正交矩陣，D 是對角矩陣，其對角線元素是 A 的特徵值 $\lambda_i$。
所以，$A^2 = (PDP^T)(PDP^T) = PD(P^T P)DP^T = PDIDP^T = PD^2 P^T$。
$D^2$ 是一個對角矩陣，其對角線元素是 $\lambda_i^2$。
因此，$x^T A^2 x = x^T (PD^2 P^T) x$。
令 $y = P^T x$。由於 P 是正交矩陣， $P^T$ 也是正交矩陣，所以 $y \neq 0$。
$x^T A^2 x = (P^T x)^T D^2 (P^T x) = y^T D^2 y$。
$y^T D^2 y = \sum_{i=1}^n d_i^2 y_i^2$，其中 $d_i = \lambda_i^2$ 是 $D^2$ 的對角線元素。
由於 A 是實數矩陣，其特徵值 $\lambda_i$ 是實數。因此 $\lambda_i^2 \ge 0$。
所以，$d_i = \lambda_i^2 \ge 0$。
因此，$x^T A^2 x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 y_i^2 \ge 0$。

現在考慮 $I + A^2$。
對於任何非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$, 我們要證明 $x^T (I + A^2) x \neq 0$。
$x^T (I + A^2) x = x^T I x + x^T A^2 x = x^T x + x^T A^2 x$。
$x^T x = \|x\|^2$ 是所有元素的平方和，對於 $x \neq 0$, $x^T x > 0$。
我們已經證明 $x^T A^2 x \ge 0$。
所以，$x^T (I + A^2) x = \|x\|^2 + x^T A^2 x > 0$ (因為 $\|x\|^2 > 0$ 且 $x^T A^2 x \ge 0$)。

這意味著對於任何非零向量 $x$, $(I + A^2)x$ 與 $x$ 的內積是正的。
一個更直接的方法是考慮特徵值。
設 $\lambda$ 是 A 的一個特徵值，對應的特徵向量為 $v \neq 0$。
由於 A 是對稱矩陣，$\lambda$ 是實數。
$Av = \lambda v$。
$A^2 v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda (Av) = \lambda (\lambda v) = \lambda^2 v$。
所以，$\lambda^2$ 是 $A^2$ 的一個特徵值，對應的特徵向量是 $v$。
由於 $\lambda$ 是實數，$\lambda^2 \ge 0$。

現在考慮矩陣 $I + A^2$ 的特徵值。
$(I + A^2)v = Iv + A^2 v = v + \lambda^2 v = (1 + \lambda^2) v$。
所以，$1 + \lambda^2$ 是 $I + A^2$ 的一個特徵值。