108 年 國立中正大學機械工程學系碩士班甲組《應用力學》

此題考驗在極座標下，如何計算質點的加速度分量。

核心觀念：
在極座標 $(r, \theta)$ 下，質點的位置向量為 $\mathbf{r} = r \mathbf{e}_r$。
速度向量為 $\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r \dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$。
加速度向量為 $\mathbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \mathbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \mathbf{e}_\theta$。
其中 $\mathbf{e}_r$ 為徑向單位向量，$\mathbf{e}_\theta$ 為橫向（切向）單位向量。
徑向加速度分量 $a_r = \ddot{r} - r \dot{\theta}^2$。
橫向加速度分量 $a_\theta = r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$。

已知條件：
螺線導軌方程式為 $r = 0.4\theta$。
特定時刻 $\theta = \pi/3$ rad。
角速度 $\dot{\theta} = 3$ rad/s (為常數)。
由於 $\dot{\theta}$ 為常數，故角加速度 $\ddot{\theta} = 0$ rad/s$^2$。

解題步驟：

1. 計算徑向位置 $r$：
   $r = 0.4\theta = 0.4 \times (\pi/3) = 0.4\pi/3$ m。

核心觀念

本題考查：

• 光滑固定桿對 collar 的接觸力必垂直於桿。
• collar A 固定於連桿 AB，因此 A 處除法向力外，還能傳遞力偶。
• B、C 為銷接點，需分別對連桿 AB、BC 作受力分析。
• 靜力平衡條件：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$$

由圖可知，桿 BC 與水平夾角為 $30^\circ$，長度為 $2\ \text{m}$；$600\ \text{N}$ 作用於其中點，且方向垂直於 BC。

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解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。由於固定桿與水平夾角為 $45^\circ$，A 處法向反力方向為右上 $45^\circ$。

令 A 處反力的水平、鉛直分量皆為 $Q$：

$$A_x=A_y=Q$$

因此 A 處反力大小為

$$R_A=\sqrt{Q^2+Q^2}=\sqrt{2}Q$$

1. 連桿 AB

750 N 作用點距離 A 為 $1.25\ \text{m}$，B 距離 A 為 $2.5\ \text{m}$。

對 AB 取平衡：

$$\sum F_x=0 \quad\Rightarrow\quad B_{AB,x}=-Q$$ $$\sum F_y=0 \quad\Rightarrow\quad B_{AB,y}=750-Q$$

因此，連桿 BC 在 B 點所受之力為反向：

$$B_{BC,x}=Q,\qquad B_{BC,y}=Q-750$$

A 處固定 collar 同時具有反力矩 $M_A$。

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2. 連桿 BC

600 N 垂直於 BC，因此其分量為

$$F_{600,x}=600\cos(-60^\circ)=300\ \text{N}$$ $$F_{600,y}=600\sin(-60^\circ)=-300\sqrt{3}\ \text{N}$$

對 BC 取 B 點力矩。C 點相對於 B 的位置向量為

$$\mathbf r_{BC} = (2\cos30^\circ,\ 2\sin30^\circ) = (\sqrt3,\ 1)\ \text{m}$$

600 N 作用點相對於 B 的位置向量為

$$\mathbf r_F = \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)\text{m}$$

C 點反力由力平衡得：

$$C_x=-(Q+300)$$ $$C_y=-(Q-750-300\sqrt3) =750+300\sqrt3-Q$$

對 B 點取力矩：

$$\sum M_B=0$$ $$\sqrt3 C_y-C_x-600=0$$

代入 $C_x,C_y$：

核心觀念

本題使用質點系統的機械能守恆：

• 重力位能減少，轉換為球體動能。
• 彈簧伸長量改變，使彈簧位能增加。
• 樞紐 $A$ 的反力對系統不做功。
• 桿 $AB$ 無質量，因此只需計算球體 $C$ 的動能。

由圖可知：

$$AD=0.3\ \text{m},\qquad AB=0.3+0.15=0.45\ \text{m}$$

且 $AE=0.4\ \text{m}$。

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解題方法

1. 求彈簧原長

初始時 $\theta=0^\circ$，點 $D$ 與 $A$ 等高，因此

$$ED_1=\sqrt{AE^2+AD^2} =\sqrt{0.4^2+0.3^2} =0.5\ \text{m}$$

初始彈簧張力為 $100\ \text{N}$，由虎克定律：

$$T_1=kx_1$$ $$x_1=\frac{T_1}{k} =\frac{100}{500} =0.2\ \text{m}$$

所以彈簧原長為

$$L_0=ED_1-x_1=0.5-0.2=0.3\ \text{m}$$

2. 求 $\theta=90^\circ$ 時的彈簧長度

當桿垂直向下時，$D$ 位於 $A$ 下方 $0.3\ \text{m}$，因此

核心觀念

本題考查：

• 靜摩擦力判斷物體是否開始運動。
• 動摩擦力作用下的牛頓第二定律。
• 變力作用下，利用加速度積分求速度。
• 圖中滑輪 $A$ 固定於木塊，纜繩兩側張力皆為 $T$，因此木塊受到的水平拉力為

$$F_{\text{拉}}=2T$$

木塊質量為 $m=500\ \text{kg}$，且地面為水平面，因此

$$N=mg$$

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解題方法

取 $g=9.81\ \text{m/s}^2$。

靜摩擦力最大值為

$$f_{s,\max}=\mu_s N =0.5(500)(9.81) =2452.5\ \text{N}$$

動摩擦力為

$$f_k=\mu_k N =0.4(500)(9.81) =1962\ \text{N}$$

圖中張力變化為

$$T=200t^2 \quad (0\leq t\leq 3)$$

且 $t=3\ \text{s}$ 後保持

$$T=1800\ \text{N}$$

1. 判斷木塊開始運動的時間

木塊尚未運動時，靜摩擦力會自行調整。開始滑動的臨界條件為

$$2T=f_{s,\max}$$

因此

$$2(200t_0^2)=2452.5$$ $$t_0=\sqrt{\frac{2452.5}{400}} =2.476\ \text{s}$$

所以木塊在 $t=2.476\ \text{s}$ 前保持靜止，初速度為零。

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2. $t_0\leq t\leq 3$ 的速度

木塊開始運動後，改用動摩擦力。由牛頓第二定律：

$$\sum F_x=ma$$ $$2T-f_k=ma$$

代入 $T=200t^2$：