108 年 國立中正大學機械工程學系碩士班乙組《動力學》

核心觀念

汽車在水平曲線道路上運動，輪胎受到道路作用的水平合力可分解為：

• 切線方向力：造成汽車減速，對應切向加速度 $a_t$。
• 法線方向力：造成曲線運動，對應法向加速度
  $a_n=\frac{v^2}{\rho}$

由於切向與法向彼此垂直，水平合力大小為

$$F=m\sqrt{a_t^2+a_n^2}$$

圖中 $A$、$B$ 間路程為 $s=200\ \text{m}$。

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解題方法

先將速度換算為 SI 制：

$$v_A=100\frac{\text{km}}{\text{h}} =27.778\ \text{m/s}$$ $$v_B=50\frac{\text{km}}{\text{h}} =13.889\ \text{m/s}$$

因為汽車以均勻速率減少，可視為切向加速度為常數。利用

$$v_B^2=v_A^2+2a_t s$$

得到

$$a_t=\frac{v_B^2-v_A^2}{2s} =\frac{(13.889)^2-(27.778)^2}{2(200)} =-1.447\ \text{m/s}^2$$

負號表示汽車在減速；其大小為

$$|a_t|=1.447\ \text{m/s}^2$$

位置 $A$

法向加速度為

$$a_{nA}=\frac{v_A^2}{\rho_A} =\frac{(27.778)^2}{200} =3.858\ \text{m/s}^2$$

因此道路對輪胎的水平合力為

本題考查動態學中的摩擦力應用，特別是牛頓第二運動定律在直線運動上的應用。

核心觀念：
當物體在有摩擦力的平面上運動時，摩擦力會阻礙其運動，導致物體減速。根據牛頓第二運動定律，物體所受的合力等於其質量乘以加速度。

解題步驟：

1. 受力分析：
   箱子受到重力（向下）、支持力（向上）和動摩擦力（與運動方向相反）。
   垂直方向上，箱子沒有加速度，因此支持力 $N$ 等於重力 $mg$。
   $N = mg = 100 \text{ kg} \times 9.81 \text{ m/s}^2 = 981 \text{ N}$。
   水平方向上，箱子受到動摩擦力 $f_k$。
   $f_k = \mu_k N = 0.4 \times 981 \text{ N} = 392.4 \text{ N}$。

2. 應用牛頓第二運動定律：
   箱子在水平方向上只受到摩擦力，這個力是阻礙運動的。
   作用在箱子上的合力 $F_{net} = -f_k$ (假設向右為正方向)。
   根據牛頓第二運動定律：$F_{net} = ma$
   $-f_k = ma$
   $-392.4 \text{ N} = 100 \text{ kg} \times a$
   $a = \frac{-392.4 \text{ N}}{100 \text{ kg}} = -3.924 \text{ m/s}^2$。
   加速度是負值，表示箱子在減速。

3. 計算停止所需時間：
   已知初速度 $v_0 = 10 \text{ m/s}$，末速度 $v = 0 \text{ m/s}$，加速度 $a = -3.924 \text{ m/s}^2$。

核心觀念

本題考查平面剛體相對速度關係：

$$\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}$$

由於 $C$ 為固定鉸鏈，且瞬間連桿 $CB$ 為鉛直，因此點 $B$ 的速度必須垂直於 $CB$，即為水平方向。

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正方向。

解題方法

由題圖可得

$$\vec r_{A/O}=(-60\mathbf i+80\mathbf j)\ \text{mm}$$

且

$$\vec r_{B/A}=(240\mathbf i+100\mathbf j)\ \text{mm}$$

因為

$$\vec r_{B/C}=180\mathbf j\ \text{mm}$$

控制連桿 $OA$ 的角速度為

$$\vec\omega_0=20\mathbf k\ \text{rad/s}$$

所以點 $A$ 的速度為

$$\vec v_A=\vec\omega_0\times\vec r_{A/O}$$ $$\vec v_A =20\mathbf k\times(-60\mathbf i+80\mathbf j) =(-1600\mathbf i-1200\mathbf j)\ \text{mm/s}$$

設連桿 $AB$、$BC$ 的角速度分別為 $\omega_{AB}$、$\omega_{BC}$。

由連桿 $AB$ 求 $\vec v_B$

核心觀念

本題考查：

• 純滾動條件：$\omega=\dfrac{v}{r}$
• 平移與轉動動能
• 功—能原理或等效質量法
• 線性風阻力：$f=bv$

四個車輪皆相同，且車輪轉動慣量皆為 $I$。

解題方法

將車體與四個車輪視為整體。車體總質量為 $M$，其平移動能為

$$T_{\text{trans}}=\frac{1}{2}Mv^2.$$

純滾動條件給出

$$\omega=\frac{v}{r}.$$

四個車輪的總轉動動能為

$$T_{\text{rot}} =4\left(\frac{1}{2}I\omega^2\right) =4\left(\frac{1}{2}I\frac{v^2}{r^2}\right) =\frac{2I}{r^2}v^2.$$

因此系統總動能為

$$T=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\left(\frac{4I}{r^2}\right)v^2 =\frac{1}{2}\left(M+\frac{4I}{r^2}\right)v^2.$$

可定義考慮車輪轉動後的等效質量：

$$M_{\text{eq}}=M+\frac{4I}{r^2}.$$

風阻力方向與運動方向相反，大小為

$$f=bv.$$

由功—能原理，

$$\frac{dT}{dt}=-fv=-bv^2.$$

代入總動能：

$$\frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2}\left(M+\frac{4I}{r^2}\right)v^2 \right] =-bv^2.$$

整理得

$$\left(M+\frac{4I}{r^2}\right)v\frac{dv}{dt} =-bv^2.$$

當 $v\neq 0$ 時，約去一個 $v$：

$$\boxed{ \left(M+\frac{4I}{r^2}\right)\frac{dv}{dt}+bv=0 }$$

這就是以車速 $v$ 表示的運動方程式。

(a) 車速解

令

本題考查單擺的運動分析，特別是小角度擺動時的簡諧運動。

核心觀念：

1. 轉動動力學：合力矩等於轉動慣量乘以角加速度 ($\sum \tau = I \alpha$)。
2. 小角度近似：對於小角度 $\theta$，$\sin \theta \approx \theta$。
3. 簡諧運動 (SHM)：運動方程形式為 $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega_n^2 \theta = 0$，其中 $\omega_n$ 是圓頻率。
4. 週期公式：對於簡諧運動，週期 $T = \frac{2\pi}{\omega_n}$。

解題步驟：

(a) 運動方程

1. 受力分析與力矩計算：
   擺錘（輪胎）繞固定點 O 擺動。

   • 重力 $mg$ 作用在質心 G。
   • 繩子或連桿的張力（或拉力）沿著 OG 方向，但它通過懸掛點 O，所以對 O 點的力矩為零。
   • 重力 $mg$ 對 O 點產生的力矩是唯一的力矩來源。
     當擺錘偏離豎直位置一個角度 $\theta$ 時，重力 $mg$ 可以分解為沿著 OG 方向的分量和垂直於 OG 方向的分量。
     垂直於 OG 方向的分量為 $mg \sin \theta$。這個力臂是 $l$ (從 O 到 G 的距離)。
     這個重力的分量產生一個回復力矩，試圖將擺錘拉回平衡位置。
     力矩 $\tau = -(mg \sin \theta) \times l$。負號表示力矩的方向與 $\theta$ 的增加方向相反（當 $\theta$ 為正時，力矩是順時針，試圖減小 $\theta$）。

2. 應用轉動動力學方程：
   $\sum \tau = I \alpha$
   $-mgl \sin \theta = I \alpha$
   其中 $I$ 是擺錘繞 O 點的總轉動慣量。題目給的是輪胎的轉動慣量 $I$。我們需要確認這個 $I$ 是指繞質心 G 的轉動慣量，還是繞 O 點的轉動慣量。
   圖上標示 $m, I$ 在 G 點下方，通常是指繞質心 G 的轉動慣量。
   如果 $I$ 是繞質心 G 的轉動慣量，那麼根據平行軸定理，繞 O 點的轉動慣量 $I_{O}$ 為：
   $I_O = I_G + m l^2$。
   所以，方程變為：
   $-mgl \sin \theta = (I_G + m l^2) \alpha$。
   其中 $\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$。

3. 小角度近似：
   對於小角度 $\theta$ (單位為弧度)，$\sin \theta \approx \theta$。
   $-mgl \theta = (I_G + m l^2) \frac{d^2\theta}{dt^2}$。