108 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《流體力學》

本題主要考驗對白努利定律 (Bernoulli's Equation) 的應用，以及流量與壓力的計算。

核心觀念：

1. 白努利定律：適用於不可壓縮、無黏性、穩定流之理想流體。
2. 連續方程式 (Continuity Equation)：質量守恆的體現，對於不可壓縮流體而言，體積流量為定值。
3. 流量計算：體積流量 $Q = A \times V$。

解題步驟：
首先，我們需要建立一個從水箱到噴嘴出口的白努利方程式。我們將水箱內的液面（點 1）和噴嘴出口（點 3）作為分析的兩個截面。

已知條件：

• 水箱壓力 $P_1 = 50$ kPa (gage) $= 50 \times 10^3$ Pa
• 水箱液面高度（可視為 $z_1 = 0$，若以水箱液面為基準）
• 噴嘴出口處壓力 $P_3 = P_{atm} = 0$ kPa (gage)（因其排至大氣）
• 噴嘴出口高度（可設為 $z_3 = 0$，與水箱液面同高，或以噴嘴出口為基準，$z_3=0$）
• 水密度 $\rho = 1000$ kg/m³
• 水箱內流速 $V_1 \approx 0$ (因水箱面積遠大於噴嘴面積)
• 噴嘴直徑 $d = 0.01$ m，面積 $A_3 = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} (0.01)^2$ m²
• 水管直徑 $D = 0.02$ m，面積 $A_2 = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.02)^2$ m²

假設：

• 流體為不可壓縮、無黏性。
• 流動為穩定流。
• 水箱液面高度為參考基準 ($z_1 = 0$)，且噴嘴出口高度也設為參考基準 ($z_3 = 0$)。

(a) 計算流量 $Q$

應用白努利定律於點 1 (水箱液面) 和點 3 (噴嘴出口)：
$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_3}{\rho g} + \frac{V_3^2}{2g} + z_3$

代入已知條件：
$\frac{50 \times 10^3}{1000 \times 9.81} + \frac{0^2}{2g} + 0 = \frac{0}{\rho g} + \frac{V_3^2}{2g} + 0$

$\frac{50 \times 10^3}{9810} = \frac{V_3^2}{2 \times 9.81}$

$5.0968 \approx \frac{V_3^2}{19.62}$

$V_3^2 \approx 5.0968 \times 19.62 \approx 100.00$

$V_3 \approx \sqrt{100} = 10$ m/s

本題考驗對不可壓縮流體條件的理解與應用。不可壓縮流體的條件是體積流量在任何截面都保持恆定，這對於二維流場而言，意味著散度 (Divergence) 為零。

核心觀念：
不可壓縮流體條件 (Continuity Equation for incompressible flow)：
在二維笛卡爾座標系下，速度場 $\vec{V} = u\hat{i} + v\hat{j}$ 為不可壓縮流，必須滿足：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

解題步驟：
對於每一組給定的速度分量 $u$ 和 $v$，我們分別計算 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial y}$，然後將它們相加。如果和為零，則該流場是不可壓縮流；否則，則不是。

(a) $u = xt^2+2y$, $v = 2x - yt^2$
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xt^2+2y) = t^2$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - yt^2) = -t^2$
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = t^2 + (-t^2) = 0$
此流場滿足不可壓縮條件。

(b) $u = 4x+2y$, $v = 2x - y^2$
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4x+2y) = 4$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - y^2) = -2y$
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 4 - 2y$
此值不為零（除非 $y=2$），因此該流場不是不可壓縮流。

本題考驗對自由表面液體排出的瞬時流速與液面高度變化之關聯，以及如何利用微分方程求解液面高度隨時間的變化。

核心觀念：

1. 白努利定律在實際應用中的近似：噴嘴流速公式 $V = \sqrt{2gy}$ 是由白努利定律推導而來，假設噴嘴流速遠大於水箱液面流速，且壓力均為大氣壓。
2. 連續方程式：描述質量（或體積）守恆。對於不可壓縮流體，流入體積率等於流出體積率。
3. 微分方程的建立與求解：將連續方程式表示成關於液面高度 $y$ 和時間 $t$ 的微分方程，然後求解。

已知條件：

• 水箱直徑 $D = 50$ mm $= 0.05$ m，面積 $A_{tank} = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.05)^2$ m²。
• 底部出孔直徑 $d = 5$ mm $= 0.005$ m，面積 $A_{hole} = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} (0.005)^2$ m²。
• 出孔流速 $V_{out} = \sqrt{2gy}$。
• 初始液面高度 $y_0 = 0.4$ m。
• 求解時間 $t = 12$ s 時的液面高度 $y(12)$。

假設：

• 流體為不可壓縮。
• 流動為準穩態 (quasi-steady)，即在任意時刻，都可以應用白努利定律求得出流速度。
• 出孔處的流速為 $V_{out} = \sqrt{2gy}$，此為理想流速，未考慮流體黏滯性造成的流速損失（如收縮係數 $C_c$ 或流速係數 $C_v$）。

解題步驟：

1. 建立連續方程式：
   在任意時刻 $t$，水箱內的液面高度為 $y$。水箱內液面的下降速度為 $-\frac{dy}{dt}$（負號表示高度在減少）。
   水箱液面的流出體積率為 $A_{tank} \times (-\frac{dy}{dt})$。
   從底部小孔流出的體積率為 $A_{hole} \times V_{out}$。
   根據連續方程式（體積守恆）：
   $A_{tank} (-\frac{dy}{dt}) = A_{hole} V_{out}$

2. 代入已知公式：
   $A_{tank} = \frac{\pi}{4} (0.05)^2 = \frac{\pi}{4} (0.0025)$ m²
   $A_{hole} = \frac{\pi}{4} (0.005)^2 = \frac{\pi}{4} (0.000025)$ m²
   $V_{out} = \sqrt{2gy}$

   將上述代入連續方程式：
   $\frac{\pi}{4} (0.0025) (-\frac{dy}{dt}) = \frac{\pi}{4} (0.000025) \sqrt{2gy}$

   消去 $\frac{\pi}{4}$：
   $0.0025 (-\frac{dy}{dt}) = 0.000025 \sqrt{2gy}$

   整理得到關於 $y$ 和 $t$ 的微分方程：
   $-\frac{dy}{dt} = \frac{0.000025}{0.0025} \sqrt{2gy} = 0.01 \sqrt{2gy}$
   $\frac{dy}{dt} = -0.01 \sqrt{2g} \sqrt{y}$

3. 分離變數並積分：
   $\frac{dy}{\sqrt{y}} = -0.01 \sqrt{2g} dt$
   $\int_{y_0}^{y(t)} y^{-1/2} dy = \int_{0}^{t} -0.01 \sqrt{2g} dt$

   積分結果：
   $[2y^{1/2}]_{y_0}^{y(t)} = -0.01 \sqrt{2g} [t]_0^t$
   $2\sqrt{y(t)} - 2\sqrt{y_0} = -0.01 \sqrt{2g} t$

核心觀念

本題考查流體粒子的加速度。流體粒子的加速度為物質導數：

流動為穩態，因此：

故加速度完全由對流加速度造成。

解題方法

已知流線 $A-B$ 上的速度為

由於速度只有 $x$ 方向分量，且僅隨 $x$ 變化，因此：

先對速度大小微分：

代回加速度公式：

核心觀念

圓柱容器以固定角速度 $\omega$ 作剛體旋轉，液體達穩定旋轉後，壓力分布滿足

因此，半徑越大，離心效應使壓力越高；高度越高，重力使壓力越低。兩點間的壓力差為

題目給定 $p_A=p_B$，可利用離心壓力增量與重力壓力減量互相抵消。

解題方法

由圖讀得：

• 點 $A$ 到旋轉軸的距離：$r_A=0.5\ \text{m}$
• 點 $B$ 到旋轉軸的距離：$r_B=1.5\ \text{m}$
• 點 $B$ 比點 $A$ 高：$z_B-z_A=2\ \text{m}$

因為 $p_A=p_B$，令壓力差為零：

約去 $\rho$：

代入數值：

本題考驗對正激波 (Normal Shock) 後物性參數變化的概念性理解。正激波是超音速流動經過一個固定平面時產生的激波。

核心觀念：
正激波前後的流動是不可逆的，熵會增加。激波前後的參數變化遵循激波關係式 (Shock Relations)。

(a) 滯溫 (Stagnation Temperature, $T_0$) 的變化：
概念解釋：
滯溫代表流體絕熱膨脹或壓縮到零速度時的溫度。在激波前後，由於流動過程是不可逆的，會產生熱量，並且伴隨著壓力、密度等參數的劇烈變化。
對於正激波，雖然沒有做功，但由於流動的不可逆性，能量會轉換成熱能，導致滯溫升高。
在一個理想的絕熱過程中（可逆），滯溫應保持不變。但激波過程不是可逆的。
更嚴格地說，通過正激波，滯溫會略微升高。這是因為激波過程中的能量耗散（如黏滯性和熱傳導的影響，儘管對於理想氣體模型，重點是不可逆性）會導致內能增加，進而升高滯溫。
儘管如此，對於大多數工程應用，尤其是在 Mach 數不是極高時，滯溫的升高幅度相對較小。但理論上，它應該是升高的。

結論：滯溫升高。

(b) 馬赫數 (Mach Number, M) 的變化：
概念解釋：
馬赫數定義為流速與當地音速之比 ($M = V/a$)。
在激波前，流動是超音速的 ($M_1 > 1$)。