108 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《熱力學》

本題考查熱力學第一定律在定質系統（control mass）上的應用，以及焓、內能與比容的關係。

根據熱力學第一定律，對於一個定質系統，能量守恆可表示為：
$\Delta U = Q - W$

在定質系統中，焓 $h$ 的定義為 $h = u + Pv$，其中 $u$ 為比內能（specific internal energy），$P$ 為壓力，$v$ 為比容（specific volume）。
題目給定條件：
壓力 $P = 6 \, \text{MPa} = 6000 \, \text{kPa}$
溫度 $T = 400^\circ\text{C}$
比容 $v = 0.047 \, \text{m}^3/\text{kg}$
比焓 $h = 3174 \, \text{kJ/kg}$

核心觀念

本題考查可逆卡諾熱泵與冷凍機的性能係數，以及房屋熱負荷計算。

房屋牆壁與天花板的熱傳量為

$$\dot Q=2500\Delta T\quad (\text{kJ/h})$$

其中 $\Delta T$ 為室內外溫差，溫差使用攝氏或絕對溫標皆相同。

可逆熱泵的性能係數為

$$COP_{HP}=\frac{\dot Q_H}{\dot W} =\frac{T_H}{T_H-T_L}$$

可逆冷凍機的性能係數為

$$COP_R=\frac{\dot Q_L}{\dot W} =\frac{T_L}{T_H-T_L}$$

其中性能係數中的 $T_H$、$T_L$ 必須使用絕對溫度 K。

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解題方法

冬季時，熱泵需將熱量送入房屋，供熱量即為房屋向外散失的熱量。由可逆卡諾熱泵求得最小輸入功率。

夏季時，熱泵反轉成冷凍機，需將房屋內的熱量排至室外。以冬季所得的相同功率，配合可逆冷凍機公式，求出最大室外溫度。

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(a) 冬季所需的最小功率

室內溫度：

$$T_H=20+273.15=293.15\ \text{K}$$

室外溫度：

$$T_L=0+273.15=273.15\ \text{K}$$

室內外溫差為

$$\Delta T=20-0=20^\circ\text{C}$$

房屋每小時散失的熱量為

$$\dot Q_H=2500(20) =50000\ \text{kJ/h}$$

可逆熱泵的性能係數：

$$COP_{HP} =\frac{293.15}{293.15-273.15} =\frac{293.15}{20} =14.6575$$

因此輸入功率為

$$\dot W_{\min} =\frac{\dot Q_H}{COP_{HP}} =\frac{50000}{14.6575} =3411.7\ \text{kJ/h}$$

換算成 kW：

$$\dot W_{\min} =\frac{3411.7}{3600} =0.948\ \text{kW}$$

所以冬季熱泵所需的最小驅動功率為

$$\boxed{\dot W_{\min}\approx 0.948\ \text{kW}}$$

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(b) 夏季可維持的最高室外溫度

夏季室內溫度為

$$T_L=27+273.15=300.15\ \text{K}$$

設室外最高溫度為 $T_H$。此時房屋的冷房負荷為

$$\dot Q_L=2500(T_H-300.15)$$

令

核心觀念

液膜的表面張力會抵抗表面積增加。對具有兩個表面的液膜，增加的總表面積為單一表面面積變化的兩倍，因此移動滑動線所需的功為

$$W=\sigma\Delta A_{\text{總}}$$

其中 $\sigma$ 為表面張力。

解題方法

滑動線長度為 $40\ \text{mm}$，向外移動 $10\ \text{mm}$，所以單一表面的面積增加量為

$$\Delta A_{\text{單面}} =(40\ \text{mm})(10\ \text{mm}) =400\ \text{mm}^2 =4.0\times10^{-4}\ \text{m}^2$$

液膜有兩個表面，故總面積增加量為

本題考查能量轉換效率與燃料消耗的計算。

核心觀念：

1. 功率 (Power)：單位時間內能量轉換的速率。 $1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}$，因此 $1 \, \text{MW} = 10^6 \, \text{W} = 10^6 \, \text{J/s}$。
2. 效率 (Efficiency, $\eta$)：輸出能量與輸入能量的比例。$\eta = \frac{\text{Useful Output Energy}}{\text{Total Input Energy}}$。
3. 能量 (Energy)：功的單位，通常用焦耳 (J) 或千焦耳 (kJ)。
4. 熱值 (Heating Value)：燃料燃燒時釋放的能量，單位通常是 kJ/kg 或 MJ/kg。

題目給定條件：
發電廠輸出功率 $\dot{W}_{out} = 10 \, \text{MW}$。
發電廠效率 $\eta = 38\% = 0.38$。
煤的熱值 $E_{coal/kg} = 30,000 \, \text{kJ/kg}$。
運行時間 $t = 1 \, \text{hour}$。

解題步驟：

1. 計算 1 小時內發電廠輸出的總能量
   功率是能量對時間的導數。因此，總能量是功率乘以時間。
   首先將功率轉換為 kW，方便與熱值單位 kJ 配合。
   $\dot{W}_{out} = 10 \, \text{MW} = 10 \times 10^3 \, \text{kW} = 10,000 \, \text{kW}$。
   運行時間 $t = 1 \, \text{hour} = 3600 \, \text{seconds}$。
   輸出的總能量 $W_{out,total} = \dot{W}_{out} \times t$。
   $W_{out,total} = 10,000 \, \text{kW} \times 3600 \, \text{s} = 10,000 \, \text{kJ/s} \times 3600 \, \text{s} = 36,000,000 \, \text{kJ}$。
   $W_{out,total} = 3.6 \times 10^7 \, \text{kJ}$。

2. 計算 1 小時內發電廠所需的總輸入能量
   根據效率的定義：$\eta = \frac{W_{out,total}}{W_{in,total}}$。
   所以，總輸入能量 $W_{in,total} = \frac{W_{out,total}}{\eta}$。

核心觀念

本題為典型的**穩態穩流（SSSF）絕熱渦輪機（Turbine）**綜合分析題，結合了熱力學第一定律、熱力學第二定律以及可用能（Exergy / 㶲）分析。

1. 熱力學第一定律（能量守恆）：
   忽略動能與位能變化，且無散熱（絕熱 $\dot{Q}=0$），單位質量流體的實際輸出功（Actual Work）為：
   $w_a = h_1 - h_2$

2. 熱力學第二定律與可用能破壞（Exergy Destruction, $e_d$）：
   根據 Gouy-Stodola 定理，單位質量的可用能破壞率（即不可逆性 $i$）與熵生成量（Entropy Generation, $s_{gen}$）成正比：
   $e_d = T_0 s_{gen}$
   對於絕熱單入口單出口系統，熵平衡方程式為：
   $s_{gen} = s_2 - s_1 \implies e_d = T_0 (s_2 - s_1)$
   由此可由已知環境溫度 $T_0$ 與 $e_d$ 求得出口實際狀態的熵 $s_2$。

3. 等熵渦輪機效率（Isentropic Turbine Efficiency, $\eta_t$）：
   定義為「實際輸出功」與「等熵膨脹至相同出口壓力下的理想功」之比值：
   $\eta_t = \frac{w_a}{w_s} = \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}}$

4. 可用能渦輪機效率（Exergetic / Second-Law Turbine Efficiency, $\epsilon$）：
   定義為「回收之可用能（輸出功）」與「消耗之流動可用能（Flow Exergy Decrease）」之比值：
   $\epsilon = \frac{w_a}{e_{f1} - e_{f2}} = \frac{w_a}{(h_1 - h_2) - T_0(s_1 - s_2)} = \frac{w_a}{w_a + e_d}$

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解題方法

步驟 1：查定入口狀態 1（State 1）的熱力性質

已知 $P_1 = 5\text{ MPa} = 50\text{ bar}$，$T_1 = 600^\circ\text{C}$。
查過熱水蒸氣表（Superheated Water Vapor Table）：

• 焓值：$h_1 = 3666.5\text{ kJ/kg}$
• 熵值：$s_1 = 7.2589\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

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步驟 2：求理想等熵出口狀態 $2s$（Isentropic State $2s$）

在理想等熵過程下，$s_{2s} = s_1 = 7.2589\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$，出口壓力 $P_2 = 50\text{ kPa} = 0.5\text{ bar}$。
查 $P_2 = 50\text{ kPa}$ 之飽和水蒸氣表：

• $h_f = 340.49\text{ kJ/kg}$，$h_{fg} = 2305.4\text{ kJ/kg}$，$h_g = 2645.9\text{ kJ/kg}$
• $s_f = 1.0910\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$，$s_{fg} = 6.5029\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$，$s_g = 7.5939\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

因 $s_f < s_{2s} < s_g$，狀態 $2s$ 處於汽液共存區（兩相區）：

• 等熵乾度 $x_{2s}$：
  $x_{2s} = \frac{s_{2s} - s_f}{s_{fg}} = \frac{7.2589 - 1.0910}{6.5029} \approx 0.9485$
• 等熵出口焓值 $h_{2s}$：
  $h_{2s} = h_f + x_{2s} h_{fg} = 340.49 + 0.9485 \times 2305.4 = 2527.16\text{ kJ/kg}$
• 理想等熵輸出功 $w_s$：

本題考查理想布雷頓冷凍循環（Ideal Brayton Refrigeration Cycle）。此循環與 Brayton power cycle 類似，但目的為製冷，其組成包括壓縮機（Compressor）、熱交換器（Heat Exchanger）或稱冷卻器（Cooler）、渦輪機（Turbine）和加熱器（Heater）或稱蒸發器（Evaporator）。然而，題目描述的是「空氣」作為工質，壓縮機之後進入渦輪機，這更像是 Brayton power cycle 的配置。若為冷凍循環，通常是壓縮機後的氣體經過熱交換器後，再進入渦輪機膨脹做功，並藉由渦輪機的功來降低壓縮機的功。

我們假設題目描述的是一個 Brayton cycle，其目的為冷凍（即 Brayton refrigeration cycle）。在這種循環中，壓縮機的功消耗較大，而渦輪機的功輸出較小。壓縮機將空氣從低壓加熱加壓至高壓，然後高壓空氣在渦輪機中膨脹，溫度降低，並對外做功（或驅動壓縮機）。

此處的「ideal Brayton refrigeration cycle」可能指的是 Brayton power cycle 的配置，但其目的為冷凍，這表示渦輪機的輸出功主要用於驅動壓縮機。

已知條件：
工質：空氣 (視為理想氣體)
壓縮機入口 (狀態 1): $P_1 = 140 \, \text{kPa}$, $T_1 = 270 \, \text{K}$
壓縮機出口壓力 $P_2 = 420 \, \text{kPa}$
渦輪機入口 (狀態 3): $T_3 = 320 \, \text{K}$
渦輪機入口體積流量 $\dot{V}_3 = 0.4 \, \text{m}^3/\text{s}$

假設此為理想 Brayton Cycle，過程為：
1-2：空氣在壓縮機中絕熱可逆壓縮（等熵壓縮）。
2-3：高壓空氣在定壓下被冷卻，溫度從 $T_2$ 降至 $T_3$。
3-4：空氣在渦輪機中絕熱可逆膨脹（等熵膨脹）。
4-1：低壓空氣在定壓下被加熱，溫度從 $T_4$ 升至 $T_1$。

然而，題目給的條件是「At the turbine inlet, the temperature is 320 K」。這表示狀態 3 的溫度是 $320 \, \text{K}$。
通常，在 Brayton power cycle 中，狀態 2 是壓縮機出口，狀態 3 是渦輪機入口。
若為冷凍循環，則壓縮機出口 (狀態 2) 的空氣經過一個冷卻器 (Cooler)，溫度降低到狀態 3，然後進入渦輪機。
所以，壓縮機出口壓力 $P_2 = 420 \, \text{kPa}$。
渦輪機入口溫度 $T_3 = 320 \, \text{K}$。

假設理想氣體性質：空氣的比熱比 $\gamma = 1.4$，氣體常數 $R = 0.287 \, \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$。

(a) T-s 圖繪製
1. 狀態 1: $(P_1, T_1) = (140 \, \text{kPa}, 270 \, \text{K})$。
2. 狀態 2: $(P_2, T_2)$。壓縮機是等熵壓縮，所以 $s_2 = s_1$。 $P_2 = 420 \, \text{kPa}$。
$T_2 = T_1 (P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma} = 270 \, \text{K} \times (420/140)^{(1.4-1)/1.4} = 270 \, \text{K} \times 3^{0.4/1.4} = 270 \times 3^{0.2857} \approx 270 \times 1.401 = 378.3 \, \text{K}$。
所以狀態 2 為 $(420 \, \text{kPa}, 378.3 \, \text{K})$。
3. 狀態 3: $(P_3, T_3)$。題目說「At the turbine inlet, the temperature is 320 K」。
在 Brayton cycle 中，渦輪機入口壓力 $P_3$ 通常與壓縮機出口壓力 $P_2$ 相同，即 $P_3 = P_2 = 420 \, \text{kPa}$。
所以狀態 3 為 $(420 \, \text{kPa}, 320 \, \text{K})$。
注意： $T_3 < T_2$。這表示在壓縮機出口和渦輪機入口之間有一個冷卻過程（定壓冷卻）。
4. 狀態 4: $(P_4, T_4)$。渦輪機是等熵膨脹，從狀態 3 到壓力 $P_4$。
在 Brayton cycle 中，$P_4 = P_1 = 140 \, \text{kPa}$。
$T_4 = T_3 (P_4/P_3)^{(\gamma-1)/\gamma} = 320 \, \text{K} \times (140/420)^{(1.4-1)/1.4} = 320 \times (1/3)^{0.2857} \approx 320 \times 0.6996 = 223.9 \, \text{K}$。
所以狀態 4 為 $(140 \, \text{kPa}, 223.9 \, \text{K})$。

**T-s 圖繪製**:
*   過程 1-2：垂直線上移（等熵壓縮），從 $(s_1, T_1)$ 到 $(s_2, T_2)$。
*   過程 2-3：沿著 $P=420 \, \text{kPa}$ 的等壓線向左下方移動（定壓冷卻），從 $(s_2, T_2)$ 到 $(s_3, T_3)$。由於溫度降低，熵也降低。
*   過程 3-4：垂直線向下移（等熵膨脹），從 $(s_3, T_3)$ 到 $(s_4, T_4)$。
*   過程 4-1：沿著 $P=140 \, \text{kPa}$ 的等壓線向右上方移動（定壓加熱），從 $(s_4, T_4)$ 到 $(s_1, T_1)$。

繪製時，注意等壓線在 T-s 圖上的斜率。
$T ds = dh - v dp$
$T ds = c_p dT - v dp$
對於定壓過程 ($dp=0$)， $T ds = c_p dT$。
$ds = (c_p/T) dT$。
在 T-s 圖上，壓力越高，等壓線越陡峭。所以 1-2 的壓力線比 4-1 的壓力線陡。
2-3 的過程是定壓冷卻，熵會降低。
3-4 的過程是等熵膨脹，熵不變。
4-1 的過程是定壓加熱，熵會增加。

本題考查熱力學基本關係式，包括 Tds 方程式、焓的定義以及馬克士關係式（Maxwell relations），要求推導特定偏導數並應用於理想氣體。

核心觀念：

1. Tds 方程式：$Tds = du + Pdv$ (適用於定質系統，單一成分)
   由焓的定義 $h = u + Pv$，微分得 $dh = du + Pdv + vdP$。
   所以 $du = dh - Pdv - vdP$。
   代入 Tds 方程式：$Tds = (dh - Pdv - vdP) + Pdv = dh - vdP$。
   這就是題目給定的第一個關係式：$Tds = dh - vdp$。
2. 馬克士關係式 (Maxwell Relations)：由熱力學勢能（如 Helmholtz 自由能 $A=u-Ts$, Gibbs 自由能 $G=h-Ts$）的二階偏導數混合求導的相等性推導出來。它們將熵的偏導數與壓力、體積、溫度的偏導數聯繫起來。
3. 理想氣體狀態方程式：$Pv = RT$。

(a) 推導 $\left(\frac{\partial h}{\partial v}\right)_T$
我們從 $Tds = dh - vdp$ 開始。
我們想要得到 $\left(\frac{\partial h}{\partial v}\right)_T$。這意味著我們需要一個包含 $dh$ 和 $dv$ 的關係式，並且在推導過程中需要維持 $T$ 為常數。
從 $Tds = dh - vdp$，我們可以寫成 $dh = Tds + vdp$。
現在我們需要將 $ds$ 和 $dp$ 用 $dv$ 和 $dT$ 來表示（因為我們想得到關於 $v$ 和 $T$ 的偏導數）。
我們知道 $ds$ 的全微分可以表示為 $ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v dT + \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T dv$。
我們也知道 $dp$ 的全微分可以表示為 $dp = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v dT + \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T dv$。

將 $ds$ 的表示式代入 $dh = Tds + vdp$:
$dh = T \left[ \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v dT + \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T dv \right] + v \left[ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v dT + \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T dv \right]$
$dh = \left[ T \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v + v \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \right] dT + \left[ T \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T + v \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T \right] dv$

現在，我們想得到 $\left(\frac{\partial h}{\partial v}\right)_T$。這意味著我們需要將上式寫成 $dh = (\dots) dT + (\dots) dv$ 的形式，然後取 $dT=0$ 的情況下的係數。
從上述 $dh$ 的表達式，我們可以清楚地看到：
$\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_v = T \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v + v \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v$
$\left(\frac{\partial h}{\partial v}\right)_T = T \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T + v \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_T$

我們需要利用馬克士關係式來簡化這個表達式。
其中一個馬克士關係式是：$\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v$。
將此代入 $\left(\frac{\partial h}{\partial v}\right)_T$ 的表達式：