112 年 國立中正大學機械工程學系碩士班丙組《熱力學》

本題考驗理想氣體在多變過程中的熱力學基本計算，包含體積、功、內能變化及熱傳量。

核心觀念：

1. 理想氣體狀態方程式：$PV = mRT$
2. 多變過程（多方過程）：$PV^n = \text{constant}$，功的計算公式為 $W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-n}$。
3. 熱力學第一定律：$\Delta U = Q - W$。
4. 理想氣體內能變化：$\Delta U = m \Delta u = m c_v \Delta T$。
5. 功的定義：$W = \int P dV$。

解題步驟：

已知條件：
質量 $m = 2 \, \text{kg}$
初始壓力 $P_1 = 100 \, \text{kPa}$
初始溫度 $T_1 = 27^\circ\text{C} = 27 + 273.15 = 300.15 \, \text{K}$ (為方便計算，可近似為 $300 \, \text{K}$，題目提供的表格也以 $300 \, \text{K}$ 為基準)
最終壓力 $P_2 = 500 \, \text{kPa}$
過程關係式：$PV^{1.4} = \text{constant}$，故多方過程指數 $n = 1.4$。
氣體常數 $R = 0.287 \, \text{kJ/kgK}$。

表格給出 $300 \, \text{K}$ 時，空氣的內能 $u_1 = 214 \, \text{kJ/kg}$。
由於是多方過程，溫度會變化，我們需要先計算最終溫度 $T_2$。
對於多方過程 $PV^n = \text{constant}$，理想氣體有關係式：
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$

(a) 計算初始體積 $V_1$
由理想氣體狀態方程式 $P_1V_1 = mRT_1$：
$V_1 = \frac{mRT_1}{P_1} = \frac{(2 \, \text{kg})(0.287 \, \text{kJ/kgK})(300.15 \, \text{K})}{100 \, \text{kPa}}$
$V_1 \approx \frac{(2)(0.287)(300)}{100} \, \text{m}^3 = 1.722 \, \text{m}^3$

【答案】$V_1 \approx 1.722 \, \text{m}^3$

(b) 計算最終體積 $V_2$
利用多方過程的關係式 $P_1V_1^n = P_2V_2^n$：
$V_2 = V_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1}{n}} = V_1 \left(\frac{100}{500}\right)^{\frac{1}{1.4}} = V_1 (0.2)^{1/1.4}$
$V_2 \approx 1.722 \, \text{m}^3 \times (0.2)^{0.7143} \approx 1.722 \, \text{m}^3 \times 0.3368 \approx 0.579 \, \text{m}^3$

【答案】$V_2 \approx 0.579 \, \text{m}^3$

(c) 計算過程中的功輸入 $W$
對於多方過程，功的計算公式為 $W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-n}$。
這裡的 $W$ 是系統對外作的功，由於是壓縮過程，系統對外作的功為負，即功輸入為正。
$W = \frac{(500 \, \text{kPa})(0.579 \, \text{m}^3) - (100 \, \text{kPa})(1.722 \, \text{m}^3)}{1-1.4}$
$W = \frac{289.5 \, \text{kJ} - 172.2 \, \text{kJ}}{-0.4} = \frac{117.3 \, \text{kJ}}{-0.4} = -293.25 \, \text{kJ}$

核心觀念

本題考查封閉系統的第一定律：

其中：

• $Q>0$：熱量傳入系統
• $W>0$：系統對外作功
• 忽略動能與位能變化

因此，內能變化取決於「輸入熱量」與「系統對外作功」的差值。

(a) 系統 A

活塞可以自由移動，因此加熱後系統膨脹並對外作功。題目給定：

由於此處為系統對外作功，故可寫成 $W>Q>0$。套用第一定律：

因為 $W>Q$，所以：

因此，系統 A 的內能減少。

選項分析

• increases（增加）：錯誤。若內能增加，必須有 $Q>W$。
• decreases（減少）：正確。因為系統對外作功大於所吸收的熱量，故 $Q-W<0$。
• remains the same（維持不變）：錯誤。只有在 $Q=W$ 時，才有 $\Delta U=0$。

(b) 系統 B

本題考驗史特靈循環（Stirling cycle）的熱力學分析，包含熱效率、功量計算及功率計算。

核心觀念：

1. 史特靈循環：由兩個等溫過程（Isothermal）和兩個等容過程（Isochoric）組成。
2. 熱效率：$\eta_{\text{th}} = \frac{W_{\text{net}}}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H}$，對於理想史特靈循環，其熱效率等於卡諾效率 $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$。
3. 功的計算：各個過程的功之和。
   • 等溫過程：$W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
   • 等容過程：$W = 0$
4. 功率：功率等於功乘以頻率（或轉速）。$P = W \times f$。

解題步驟：

已知條件：
最大體積 $V_{max} = 500 \, \text{cm}^3 = 500 \times 10^{-6} \, \text{m}^3$
最小體積 $V_{min} = 300 \, \text{cm}^3 = 300 \times 10^{-6} \, \text{m}^3$
加熱溫度 $T_h = 800^\circ\text{C} = 800 + 273.15 = 1073.15 \, \text{K}$
冷卻溫度 $T_c = 27^\circ\text{C} = 27 + 273.15 = 300.15 \, \text{K}$
初始狀態：壓力 $P_c = 10 \, \text{bar} = 10 \times 10^5 \, \text{Pa}$，溫度 $T_c = 300.15 \, \text{K}$，體積 $V_{min} = 300 \times 10^{-6} \, \text{m}^3$。
氣體常數 $R = 8.314 \, \text{J/(mol·K)}$。

首先，我們需要知道史特靈循環中氣體的物質的量 (moles)。
由理想氣體狀態方程式 $PV = nRT$：
$n = \frac{P_c V_{min}}{RT_c} = \frac{(10 \times 10^5 \, \text{Pa})(300 \times 10^{-6} \, \text{m}^3)}{(8.314 \, \text{J/(mol·K)})(300.15 \, \text{K})}$
$n = \frac{300 \, \text{J}}{2497.7 \, \text{J/mol}} \approx 0.1201 \, \text{mol}$

史特靈循環的四個過程：

1. 等溫膨脹 (Isothermal Expansion) 從 $V_{min}$ 到 $V_{max}$ 在 $T_h$。
2. 等容冷卻 (Isochoric Cooling) 從 $T_h$ 到 $T_c$ 在 $V_{max}$。
3. 等溫壓縮 (Isothermal Compression) 從 $V_{max}$ 到 $V_{min}$ 在 $T_c$。
4. 等容加熱 (Isochoric Heating) 從 $T_c$ 到 $T_h$ 在 $V_{min}$。

(a) 計算熱效率
對於理想史特靈循環，其熱效率與卡諾循環相同，僅取決於高溫熱源和低溫熱源的溫度。
$\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}$
$\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{300.15 \, \text{K}}{1073.15 \, \text{K}} = 1 - 0.2797 = 0.7203$
$\eta_{\text{th}} \approx 72.03\%$

【答案】$\eta_{\text{th}} \approx 72.03\%$

(b) 計算指示功 (Indicated Work)
指示功是單一循環內系統對外所做的淨功 $W_{\text{net}}$。

本題考驗熵產生與不可逆性的概念，特別是在不同溫差下熱量傳遞的比較。

核心觀念：

1. 熵的定義：$dS = \frac{\delta Q}{T}$。
2. 熵產生：對於一個系統和其周遭所構成的孤立系統，其總熵的變化為 $\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{system}} + \Delta S_{\text{surroundings}} \ge 0$。熵產生的部分是 $\Delta S_{\text{generation}} = \Delta S_{\text{total}}$。
3. 不可逆性：熵產生越大，過程越不可逆。
4. 熱傳遞過程的熵變化：當熱量 $Q$ 從溫度 $T_H$ 傳遞到溫度 $T_C$ 時，系統（熱源）的熵變化為 $-\frac{Q}{T_H}$，周遭（冷源）的熵變化為 $+\frac{Q}{T_C}$。總熵變化（熵產生）為 $\Delta S_{\text{gen}} = \frac{Q}{T_C} - \frac{Q}{T_H}$。

解題步驟：

已知條件：
情況一：熱源溫度 $T_{H1} = 800^\circ\text{C} = 800 + 273.15 = 1073.15 \, \text{K}$，傳遞熱量 $Q_1 = 2000 \, \text{kJ}$，冷源溫度 $T_{C1} = 500^\circ\text{C} = 500 + 273.15 = 773.15 \, \text{K}$。
情況二：熱源溫度 $T_{H2} = 800^\circ\text{C} = 1073.15 \, \text{K}$，傳遞熱量 $Q_2 = 2000 \, \text{kJ}$，冷源溫度 $T_{C2} = 600^\circ\text{C} = 600 + 273.15 = 873.15 \, \text{K}$。
請注意，題目描述「A heat source at 800 °C loses 2000 kJ of heat to a sink at 500 °C and loses 2000 kJ of heat to a sink at 600 °C」。這裡的「heat source at 800 °C」是同一個熱源，但它分別與兩個不同的冷源進行熱傳遞。我們需要分別計算這兩種情況下的熵產生。

(a) 計算過程中產生的熵

情況一：熱源 $T_{H1} = 1073.15 \, \text{K}$ 傳熱給冷源 $T_{C1} = 773.15 \, \text{K}$
熱源的熵變化：$\Delta S_{source1} = -\frac{Q_1}{T_{H1}} = -\frac{2000 \, \text{kJ}}{1073.15 \, \text{K}}$
冷源的熵變化：$\Delta S_{sink1} = +\frac{Q_1}{T_{C1}} = +\frac{2000 \, \text{kJ}}{773.15 \, \text{K}}$
總熵產生（情況一）：$\Delta S_{gen1} = \Delta S_{sink1} + \Delta S_{source1} = \frac{Q_1}{T_{C1}} - \frac{Q_1}{T_{H1}}$
$\Delta S_{gen1} = \frac{2000 \, \text{kJ}}{773.15 \, \text{K}} - \frac{2000 \, \text{kJ}}{1073.15 \, \text{K}}$