112 年 國立中正大學機械工程學系碩士班乙組《自動控制》

此題主要在考驗對於標準二階系統時域響應特徵與其極點位置的關聯性。

標準二階系統的轉移函數為 $G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$。
其閉迴系統的極點位於 $s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$。

已知極點為 $s = -3 \pm 6j$。
比較極點的實部與虛部，我們可以得到：
實部：$-\zeta\omega_n = -3 \implies \zeta\omega_n = 3$
虛部：$\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 6$

由 $\zeta\omega_n = 3$，我們可以將上式改寫為：
$\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = \omega_n\sqrt{1-\frac{9}{\omega_n^2}} = \sqrt{\omega_n^2 - 9} = 6$
平方得：$\omega_n^2 - 9 = 36$
$\omega_n^2 = 45$
$\omega_n = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.708$ rad/s

接著計算阻尼比 $\zeta$：
$\zeta = \frac{3}{\omega_n} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447$

峰值時間 $T_p$ 的公式為 $T_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$。
注意到 $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 就是極點的虛部，即 6。
所以，$T_p = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$ 秒。

百分比超調量 (Percent Overshoot, PO) 的公式為 $PO = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\%$。

此題要求根據給定的物理系統圖，推導其運動方程式、繪製自由體圖，並求出其傳遞函數，以及判斷是否為二階系統並計算其自然頻率與阻尼比。

1. 自由體圖 (Free Body Diagrams, FBDs)

系統包含一個質量 $M$ 和一個彈簧 $K$，以及一個阻尼器 $f_v$。
作用在質量 $M$ 上的力有：

• 外力 $f(t)$：方向朝右。
• 彈簧力 $F_K$：由彈簧產生，其大小與位移 $x(t)$ 成正比，方向與位移相反。若 $x(t)>0$（向右），則彈簧力向左；若 $x(t)<0$（向左），則彈簧力向右。所以 $F_K = Kx(t)$，方向為 $-Kx(t)$。
• 阻尼力 $F_{fv}$：由阻尼器產生，其大小與速度 $\dot{x}(t)$ 成正比，方向與速度相反。若 $\dot{x}(t)>0$（向右），則阻尼力向左；若 $\dot{x}(t)<0$（向左），則阻尼力向右。所以 $F_{fv} = f_v\dot{x}(t)$，方向為 $-f_v\dot{x}(t)$。

質量 $M$ 的自由體圖：
畫一個代表質量 $M$ 的方塊。

• 箭頭標示外力 $f(t)$ 指向方塊的右側。
• 箭頭標示彈簧力 $Kx(t)$ 指向方塊的左側。
• 箭頭標示阻尼力 $f_v\dot{x}(t)$ 指向方塊的左側。

2. 動態方程式 (Dynamic Equations)

根據牛頓第二運動定律 ($\sum F = Ma$)，作用在質量 $M$ 上的合力等於質量乘以加速度 $\ddot{x}(t)$。
$\sum F = f(t) - Kx(t) - f_v\dot{x}(t) = M\ddot{x}(t)$

整理後得到質量的運動方程式：
$M\ddot{x}(t) + f_v\dot{x}(t) + Kx(t) = f(t)$

3. 拉氏轉換域 (Laplace Domain)

對上述動態方程式進行拉氏轉換，假設初始條件為零 ($x(0)=0, \dot{x}(0)=0$)：
$L\{M\ddot{x}(t)\} + L\{f_v\dot{x}(t)\} + L\{Kx(t)\} = L\{f(t)\}$
$Ms^2X(s) + f_vsX(s) + KX(s) = F(s)$

將 $X(s)$ 提出：
$(Ms^2 + f_vs + K)X(s) = F(s)$

4. 傳遞函數 (Transfer Function)

傳遞函數定義為輸出量的拉氏轉換與輸入量的拉氏轉換之比，即 $G(s) = \frac{X(s)}{F(s)}$。
$G(s) = \frac{1}{Ms^2 + f_vs + K}$

5. 二階系統判斷、自然頻率與阻尼比

此題考驗對穩態誤差常數的理解，特別是加速度誤差常數 $K_a$，以及如何利用其條件來求解系統參數。

對於一個標準的單位負回授系統，其開迴迴路傳遞函數為 $G(s)$。
系統的閉迴傳遞函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}$。
系統的輸出 $Y(s)$ 與參考輸入 $R(s)$ 的關係為 $Y(s) = T(s)R(s)$。
系統的誤差 $E(s)$ 與參考輸入 $R(s)$ 的關係為 $E(s) = R(s) - Y(s) = \frac{1}{1+G(s)}R(s)$。

穩態誤差 $e_{ss}$ 的計算與參考輸入 $R(s)$ 的形式有關：

• 若 $R(s) = \frac{A}{s}$ (單位斜坡響應)，則 $e_{ss} = \lim_{s\to 0} sE(s) = \lim_{s\to 0} s\frac{1}{1+G(s)} \frac{A}{s} = \frac{A}{1+\lim_{s\to 0} G(s)}$。此時 $\lim_{s\to 0} G(s)$ 被稱為位置誤差常數 $K_p$。
• 若 $R(s) = \frac{A}{s^2}$ (單位加速度響應)，則 $e_{ss} = \lim_{s\to 0} sE(s) = \lim_{s\to 0} s\frac{1}{1+G(s)} \frac{A}{s^2} = \lim_{s\to 0} \frac{A}{s(1+G(s))} = \frac{A}{\lim_{s\to 0} sG(s)}$。此時 $\lim_{s\to 0} sG(s)$ 被稱為速度誤差常數 $K_v$。
• 若 $R(s) = \frac{A}{s^3}$ (單位加速度響應)，則 $e_{ss} = \lim_{s\to 0} sE(s) = \lim_{s\to 0} s\frac{1}{1+G(s)} \frac{A}{s^3} = \frac{A}{\lim_{s\to 0} s^2G(s)}$。此時 $\lim_{s\to 0} s^2G(s)$ 被稱為加速度誤差常數 $K_a$。

題目要求加速度誤差常數 $K_a = 50$。
我們需要計算 $K_a = \lim_{s\to 0} s^2G(s)$。

此題考驗根軌跡 (Root Locus) 的繪製與分析能力，以及非線性系統（飽和）穩定性的判斷。

首先，給定的開迴路傳遞函數為 $G(s) = \frac{s}{s^2 +1}$。
閉迴系統的特性方程式為 $1 + kG(s) = 0$，其中 $k$ 是增益。
$1 + k\frac{s}{s^2 +1} = 0$
$s^2 + 1 + ks = 0$
$s^2 + ks + 1 = 0$

這是關於 $s$ 的二次方程式。其根（閉迴系統的極點）為：
$s = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2}$

4(a) 根軌跡，k ∈ [0, ∞)

當 $k=0$ 時，閉迴系統的極點為 $s^2 + 1 = 0 \implies s = \pm j$。這是根軌跡的起始點。
當 $k \to \infty$ 時，我們需要分析極點的漸近行為。
$s = \frac{-k}{2} \pm \frac{k}{2}\sqrt{1 - \frac{4}{k^2}} \approx \frac{-k}{2} \pm \frac{k}{2}(1 - \frac{2}{k^2}) = \frac{-k}{2} \pm (\frac{k}{2} - \frac{1}{k})$
所以，當 $k \to \infty$ 時，一個極點趨近於 $-\frac{k}{2} + \frac{k}{2} - \frac{1}{k} \to -\frac{1}{k} \to 0$ (實際上是趨向負無限大，因為 $k$ 是增益，根軌跡是從有限的極點出發，趨向無限的零點；這裡的分析是針對 $k$ 很大時的近似)。
更精確地，當 $k \to \infty$， $s^2 + ks + 1 = 0 \implies s \approx -k$ 或 $s \approx -1/k$。
由於 $k>0$，一個根趨向 $-\infty$，另一個根趨向 $0$。

我們來分析根軌跡的性質：

1. 起始點與終點：

   • $k=0$ 時，極點在 $s = \pm j$。
   • $k \to \infty$ 時，極點趨近於 $s = -\infty$ 和 $s = 0$。

2. 實軸上的根軌跡：
   特性方程式為 $s^2 + ks + 1 = 0$。
   若 $s$ 是實數，則 $s^2+1 = -ks$。
   若 $s>0$，則 $s^2+1 > 0$ 且 $-ks < 0$，等式不可能成立。所以實軸正半部沒有根軌跡。
   若 $s<0$，則 $s^2+1 > 0$ 且 $-ks > 0$。
   令 $s = -\sigma$, $\sigma > 0$。
   $(-\sigma)^2 + 1 = -k(-\sigma)$
   $\sigma^2 + 1 = k\sigma$
   $k = \frac{\sigma^2+1}{\sigma} = \sigma + \frac{1}{\sigma}$。
   由於 $\sigma > 0$，根據算幾不等式，$\sigma + \frac{1}{\sigma} \ge 2\sqrt{\sigma \cdot \frac{1}{\sigma}} = 2$。
   所以，當 $k \ge 2$ 時，在實軸負半部會有根軌跡。
   當 $k=2$ 時，$\sigma + \frac{1}{\sigma} = 2 \implies \sigma=1$，即 $s = -1$。這是實軸根軌跡的分離點。
   當 $k=0$ 時，極點在 $\pm j$。
   當 $k$ 從 $0$ 增加到 $2$，極點從 $\pm j$ 移向 $s = -1$。
   當 $k > 2$ 時，極點從 $s=-1$ 分開，一個沿著實軸負半部趨向 $-\infty$，另一個沿著實軸負半部趨向 $0$。
   所以，對於 $k \in [0, \infty)$，根軌跡從 $s = \pm j$ 開始，當 $k$ 增加，兩個極點在中點 $s=-1$ 分開，一個向左下方（實軸負半部）延伸，另一個向右上方（實軸負半部）延伸，最終分別趨近 $-\infty$ 和 $0$。

   繪製步驟 for k > 0:

   • 起始點: $s = j$ 和 $s = -j$。
   • 終點: $s \to -\infty$ 和 $s \to 0$。
   • 實軸根軌跡: 存在於 $s \le -1$ 的範圍。
   • 交匯點: $s = -1$ (當 $k=2$)。
   • 漸近線: 沒有。
   • 實軸與虛軸交點: $s = \pm j$ (當 $k=0$)。

   圖形描述 (k > 0):
   根軌跡從 $s = j$ 和 $s = -j$ 開始。當 $k$ 增加，這兩個極點向左移動，在 $s = -1$ 處分離。一個極點沿著實軸負半部向 $-\infty$ 移動，另一個極點沿著實軸負半部向 $0$ 移動。
   因此，對於 $k \in [0, 2]$，閉迴極點位於左半平面。
   對於 $k > 2$，一個極點位於左半平面（在 $s<-1$），另一個極點位於右半平面（在 $s \in (-1, 0)$）。

4(b) 根軌跡，k ∈ (-∞, 0)

令 $k = -\hat{k}$，其中 $\hat{k} > 0$。
特性方程式變為：$s^2 - \hat{k}s + 1 = 0$。
當 $\hat{k}=0$ (即 $k=0$) 時，極點在 $s = \pm j$。
當 $\hat{k} \to \infty$ (即 $k \to -\infty$) 時，
$s = \frac{\hat{k} \pm \sqrt{\hat{k}^2 - 4}}{2} \approx \frac{\hat{k}}{2} \pm \frac{\hat{k}}{2}(1 - \frac{2}{\hat{k}^2}) = \frac{\hat{k}}{2} \pm (\frac{\hat{k}}{2} - \frac{1}{\hat{k}})$
一個根趨近於 $\hat{k} \to \infty$，另一個根趨近於 $1/\hat{k} \to 0$。
所以，當 $k \to -\infty$ 時，一個極點趨近於 $+\infty$，另一個極點趨近於 $0$。

分析根軌跡性質：

1. 起始點與終點：

   • $k=0$ 時，極點在 $s = \pm j$。
   • $k \to -\infty$ 時，極點趨近於 $s = +\infty$ 和 $s = 0$。

2. 實軸上的根軌跡：
   特性方程式 $s^2 - \hat{k}s + 1 = 0$。
   若 $s$ 是實數，則 $s^2+1 = \hat{k}s$。
   若 $s>0$，則 $s^2+1 > 0$ 且 $\hat{k}s > 0$。
   令 $s = \sigma$, $\sigma > 0$。
   $\sigma^2 + 1 = \hat{k}\sigma$
   $\hat{k} = \frac{\sigma^2+1}{\sigma} = \sigma + \frac{1}{\sigma}$。

核心觀念

本題考查「不確定系統的強健穩定性」與小增益定理。

系統為

$$G(s)=G_0(s)\bigl(1+W(s)A(s)\bigr),$$

其中不確定項 $A(s)$ 滿足

$$|A(j\omega)|\le 1,\qquad \forall \omega\ge 0.$$

在負回授增益 $k$ 下，閉迴路特徵條件為

$$1+kG(s)=0.$$

將不確定項分離後，利用小增益定理判斷是否能保證所有允許的 $A(s)$ 都具有內部穩定性。

以下採用標準強健控制假設：$A(s)$ 為穩定、因果且適當的動態不確定項。若僅知道頻率響應大小，卻不限制 $A(s)$ 本身穩定，則無法保證內部穩定。

---

解題方法：將不確定項化為小增益迴路

閉迴路特徵式為

$$1+kG_0(s)\bigl(1+W(s)A(s)\bigr).$$

整理得

$$1+kG_0+kG_0W A = \bigl(1+kG_0\bigr) \left[ 1+\frac{kG_0W}{1+kG_0}A \right].$$

因此可定義不確定性迴路中的已知部分為

$$Q(s)=\frac{kG_0(s)W(s)}{1+kG_0(s)}.$$

只要名目系統穩定，且滿足嚴格小增益條件

$$\|Q\|_\infty\|A\|_\infty<1,$$

即可保證閉迴路對所有允許的 $A(s)$ 強健穩定。

由於題目給定

$$\|A\|_\infty\le 1,$$

所以必須要求

$$\|Q\|_\infty<1.$$

---

計算 $Q(s)$

已知

$$G_0(s)=\frac{1}{s+1}, \qquad W(s)=\frac{s+2}{s+1}.$$

先計算

$$1+kG_0(s) = 1+\frac{k}{s+1} = \frac{s+1+k}{s+1}.$$

因此

$$Q(s) = \frac{ k\left(\dfrac{1}{s+1}\right) \left(\dfrac{s+2}{s+1}\right) }{ \dfrac{s+1+k}{s+1} } = \frac{k(s+2)}{(s+1)(s+1+k)}.$$

當 $k>0$ 時，$Q(s)$ 的極點為

$$s=-1,\qquad s=-(1+k),$$

皆位於左半平面，因此 $Q(s)$ 穩定。

---

求 $\|Q\|_\infty<1$ 的條件

令 $s=j\omega$，則

$$|Q(j\omega)|^2 = \frac{k^2(\omega^2+4)} {(\omega^2+1)\bigl(\omega^2+(k+1)^2\bigr)}.$$

要求對所有 $\omega\ge 0$ 滿足

$$|Q(j\omega)|^2<1.$$

因此