115 年 國立中正大學機械工程學系碩士班乙組《自動控制》

此題考查 RLC 電路的時間域與拉氏轉換域分析，以及轉移函數的求解。

解題步驟如下：

1. 寫出電路元件的電壓電流關係式（拉氏轉換域）：
   • 電阻 $R$：$V_R(s) = R I(s)$
   • 電感 $L$：$V_L(s) = sL I(s)$
   • 電容 $C$：$V_C(s) = \frac{1}{sC} I(s)$
2. 寫出節點電壓與輸入電壓的關係式（拉氏轉換域）：
   由圖可知，輸入電壓 $u_i(t)$ 施加在電感 $L$ 和電阻 $R$ 的串聯組合上，而輸出電壓 $u_o(t)$ 是電容 $C$ 上的電壓。
   根據克希荷夫電壓定律 (KVL) 應用於整個迴路，我們有：
   $U_i(s) = V_R(s) + V_L(s) + V_C(s)$
   其中 $V_C(s) = U_o(s)$。
   因此，$U_i(s) = R I(s) + sL I(s) + U_o(s)$。
3. 表示電流 $I(s)$ 與輸出電壓 $U_o(s)$ 的關係：
   從上述 KVL 方程式中，我們可以得到：
   $U_i(s) - U_o(s) = (R + sL) I(s)$
   所以，$I(s) = \frac{U_i(s) - U_o(s)}{R + sL}$。
   另外，輸出電壓 $U_o(s)$ 是電容上的電壓，所以：
   $U_o(s) = \frac{1}{sC} I(s)$。

核心觀念

本題考查標準二階系統的閉迴路傳遞函數，以及由單位階響應的：

• 最大超越量 $M_p$
• 峰值時間 $t_p$

反推出阻尼比 $\zeta$ 與自然頻率 $\omega_n$。

標準二階系統形式為

$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}.$$

其中欠阻尼系統的公式為

$$M_p=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}},$$ $$t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}.$$

解題方法

由圖 2(a)，前向傳遞函數為

$$G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}$$

且為單位負回授，因此閉迴路傳遞函數為

$$\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)} =\frac{\frac{K}{s(Ts+1)}}{1+\frac{K}{s(Ts+1)}}.$$

整理得

$$\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{K}{s(Ts+1)+K} =\frac{K}{Ts^2+s+K}.$$

分母除以 $T$：

$$\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{\frac{K}{T}} {s^2+\frac{1}{T}s+\frac{K}{T}}.$$

與標準二階形式比較，可得

$$\omega_n^2=\frac{K}{T}, \qquad 2\zeta\omega_n=\frac{1}{T}.$$

由超越量求阻尼比

圖中標示最大超越量為

$$M_p=0.254.$$

因此

核心觀念

題目給定

$$G(s)=\frac{s}{s^2+bs+1},\qquad b>0.$$

分母可與標準二階系統比較：

$$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2.$$

因此

$$\omega_n=1,\qquad 2\zeta\omega_n=b$$

即

$$\zeta=\frac b2.$$

本題主要考查：

• 頻率響應 $G(j\omega)$ 的大小與相位。
• Bode 圖的低頻、高頻漸近特性。
• 頻率響應大小最大值所在的共振頻率。
• 在自然頻率 $\omega_n=1$ 時，分子與分母的相位抵消現象。

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(a) $b=0.2$ 時的 Bode 圖

1. 頻率響應

令 $s=j\omega$，則

$$G(j\omega) = \frac{j\omega}{(j\omega)^2+0.2j\omega+1} = \frac{j\omega}{1-\omega^2+j0.2\omega}.$$

其大小為

$$|G(j\omega)| = \frac{\omega} {\sqrt{(1-\omega^2)^2+(0.2\omega)^2}}.$$

以分貝表示：

$$20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}\omega - 10\log_{10}\left[(1-\omega^2)^2+0.04\omega^2\right].$$

相位為

$$\angle G(j\omega) = 90^\circ - \angle(1-\omega^2+j0.2\omega).$$

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2. 幅值圖的漸近線

低頻區：$\omega\ll 1$

此時 $1-\omega^2\approx 1$，且 $0.2\omega$ 很小，因此

$$|G(j\omega)|\approx \omega.$$

所以低頻幅值為

$$20\log_{10}|G(j\omega)| \approx 20\log_{10}\omega,$$

斜率為 $+20$ dB/decade。

高頻區：$\omega\gg 1$

此時分母主要由 $\omega^2$ 項決定：

$$|G(j\omega)| \approx \frac{\omega}{\omega^2} = \frac1\omega.$$

因此高頻幅值為

$$20\log_{10}|G(j\omega)| \approx -20\log_{10}\omega,$$

斜率為 $-20$ dB/decade。

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3. $\omega=1$ 時的幅值

在自然頻率 $\omega_n=1$ 處，

$$G(j) = \frac{j}{1-1+j0.2} = \frac{j}{j0.2} = 5.$$

所以

$$|G(j)|=5,$$

其分貝值為

$$20\log_{10}5\approx 13.98\text{ dB}.$$

因此 Bode 幅值圖在 $\omega=1$ 處達到峰值，約為 $14$ dB。

可取幾個代表點：

| 頻率 $\omega$ | $|G(j\omega)|$ 約值 | 幅值 |
|---:|---:|---:|
| $0.1$ | $0.102$ | $-19.8$ dB |
| $1$ | $5$ | $14.0$ dB |
| $10$ | $0.101$ | $-19.9$ dB |

由於 $b=0.2$ 對應阻尼比

$$\zeta=0.1,$$

阻尼很小，因此在 $\omega=1$ 附近會出現明顯而尖銳的共振峰。

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4. 相位圖

低頻時，

$$G(j\omega)\approx j\omega,$$

故

$$\angle G(j\omega)\approx +90^\circ.$$

在 $\omega=1$ 時，

$$G(j)=5>0,$$

所以

$$\angle G(j)=0^\circ.$$

高頻時，

$$G(j\omega)\approx \frac{j\omega}{-\omega^2} = -\frac{j}{\omega},$$

故

$$\angle G(j\omega)\approx -90^\circ.$$

因此相位由低頻的 $+90^\circ$，穿過 $\omega=1$ 時的 $0^\circ$，最後趨近高頻的 $-90^\circ$。

Bode 圖應具有下列特徵：

• 幅值：低頻斜率 $+20$ dB/decade。
• $\omega=1$ 附近出現約 $14$ dB 的共振峰。
• 高頻斜率 $-20$ dB/decade。
• 相位：由 $+90^\circ$ 下降至 $-90^\circ$，且在 $\omega=1$ 時為 $0^\circ$。

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(b) 證明不同阻尼 $b>0$ 的阻尼頻率皆等於自然頻率

本題的「阻尼頻率」是指頻率響應大小 $|G(j\omega)|$ 達到最大值的頻率，也就是共振頻率。

先考慮幅值平方：

核心觀念

本題考查負回授系統的 Nyquist 穩定判據，以及「具有相位超前特性的未知動態」仍可能使原本穩定的系統失穩。

令負回授迴路傳遞函數為

$$L(s)=M(s)\Delta(s),$$

則閉迴路特徵方程為

$$1+M(s)\Delta(s)=0.$$

Nyquist 判據指出：若迴路傳遞函數 $L(s)$ 沒有右半平面極點，Nyquist 曲線順時針包圍 $-1$ 點時，閉迴路便會產生右半平面極點，因此系統不穩定。

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解題方法

題目只說明 $\Delta$ 是一階相位超前系統，未指定其增益與零、極點位置。因此只要構造一個符合條件的 $\Delta(s)$，並證明其 Nyquist 曲線包圍 $-1$，即可說明「存在使 $P$ 不穩定的 $\Delta$」。

取一個一階相位超前動態：

$$\Delta(s)=K\frac{s+0.1}{s+1},\qquad K>0.$$

因為零點位於 $-0.1$、極點位於 $-1$，故其相位為

$$\angle\Delta(j\omega) = \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{0.1}\right) - \tan^{-1}(\omega)>0,$$

確實具有相位超前特性。

迴路傳遞函數為

$$L(s) = K\frac{s^2(s+0.1)} {(s^2+0.2s+1)(s+1)}.$$

$L(s)$ 的所有極點皆位於左半平面，因此開迴路右半平面極點數為

$$P_{\mathrm{RHP}}=0.$$

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Nyquist 曲線為何會包圍 $-1$

對 $M(j\omega)$ 而言，

$$M(j\omega) = \frac{-\omega^2}{1-\omega^2+j0.2\omega}.$$

其低頻時的相位接近 $180^\circ$，而在 $\omega$ 增加時相位下降。另一方面，$\Delta(j\omega)$ 提供正相位，因此兩者相乘後，$L(j\omega)$ 的曲線會先進入負實軸下方，再穿越負實軸，最後朝正實軸方向移動。

對 $K=1$，在約

$$\omega\approx0.894\ \text{rad/s}$$

時，$L(j\omega)$ 的相位約為 $-180^\circ$。此時

$$|M(j\omega)|\approx2.97,$$

且

$$\left|\frac{j\omega+0.1}{j\omega+1}\right| \approx0.67.$$