111 年 國立中正大學光機電整合工程研究所《自動控制》

核心觀念

本題考查單位負回授系統的閉迴路傳遞函數。傳遞函數定義為輸出與輸入的比值；負回授的閉迴路傳遞函數為

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

圖中回授路徑為直接回授，因此 $H(s)=1$。

解題方法

由負回授加總點可得誤差信號：

$$E(s)=R(s)-C(s)$$

前向路徑為 $G(s)$，所以輸出為：

$$C(s)=G(s)E(s)$$

將 $E(s)=R(s)-C(s)$ 代入：

核心觀念

本題考查**典型二階系統（Standard Second-Order System）**的時域響應參數分析，主要包含以下核心定義與公式：

1. 標準二階轉移函數形式：
   $T(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$
   其中：

   • $\omega_n$ 為自然頻率（Natural frequency，或稱無阻尼固有角頻率，$\text{rad/s}$）
   • $\zeta$ 為阻尼比（Damping ratio，無因次）
   • $K$ 為系統的直流增益（DC gain）

2. 特徵方程式與極點（Poles）：
   令分母特徵多項式 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$，由一元二次方程式公式解可得系統極點：
   $s_{1, 2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} = -\sigma \pm j\omega_d$
   （當 $0 < \zeta < 1$ 時，$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 為阻尼自然頻率）。

3. 阻尼比與時域響應形式之對應關係：

   • $\zeta > 1$：過阻尼（Overdamped），具有兩個相異負實根，響應無振盪且上升緩慢。
   • $\zeta = 1$：臨界阻尼（Critically damped），具有重實根，響應無振盪且為最快到達穩態之非振盪響應。
   • $0 < \zeta < 1$：次阻尼／欠阻尼（Underdamped），具有一對共軛複數極點（實部為負），響應為衰減振盪（Decaying oscillation）並伴隨超調（Overshoot）。
   • $\zeta = 0$：無阻尼（Undamped），極點位於虛軸上，響應為等幅持續振盪。
   • $\zeta < 0$：不穩定系統（Unstable），響應發散。

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解題方法與詳細步驟

給定之轉移函數為：
$G(s) = \frac{6}{s^2 + 3s + 6}$

步驟一：對照標準式求 $\omega_n$ 與 $\zeta$

將分母特徵多項式與標準式 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2$ 進行係數比對：

1. 常數項：
   $\omega_n^2 = 6 \implies \omega_n = \sqrt{6}\text{ rad/s} \approx 2.449\text{ rad/s}$
2. 一次項係數：
   $2\zeta\omega_n = 3$
   將 $\omega_n = \sqrt{6}$ 代入：
   $\zeta = \frac{3}{2\omega_n} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.6124$

步驟二：求系統極點（Poles）

令系統特徵方程式為零：
$s^2 + 3s + 6 = 0$

利用一元二次方程式求根公式：

核心觀念

本題評量標準二階系統（Standard Second-Order System）的時域特性分析，涵蓋以下核心定義與公式：

1. 二階系統標準型式：

   $$T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

   其中：

   • $\omega_n$：自然頻率（Natural Frequency，或稱無阻尼自然頻率 Undamped Natural Frequency），單位為 $\text{rad/s}$。
   • $\zeta$：阻尼比（Damping Ratio）。

2. 極點（Poles）：
   令轉移函數的分母多項式（特徵方程式 Characteristic Equation）為零：

   $$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$$

   其根即為系統極點：

   $$s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\sigma \pm j\omega_d$$

   其中 $\sigma = \zeta\omega_n$ 為衰減係數，$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 為阻尼自然頻率（Damped Natural Frequency）。

3. 響應型態（Type of Response）之分類準則：
   依阻尼比 $\zeta$ 的大小判定：

   • $\zeta > 1$：過阻尼響應（Overdamped response），具有兩個相異負實根。
   • $\zeta = 1$：臨界阻尼響應（Critically damped response），具有兩個相等負實根。
   • $0 < \zeta < 1$：欠阻尼響應（Underdamped response），具有一對共軛複數根，其暫態響應伴隨指數衰減之正弦振盪（Decaying sinusoidal oscillation）。
   • $\zeta = 0$：無阻尼響應（Undamped response），具有一對純虛數根，呈現持續等幅振盪（Sustained oscillation）。

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解題方法

給定封閉迴路轉移函數為：

$$T(s) = \frac{12}{s^2 + 4s + 12}$$

步驟 1：求自然頻率 $\omega_n$ 與阻尼比 $\zeta$

將分母多項式與標準二階特徵方程式進行係數比對：

$$s^2 + 4s + 12 = s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2$$

1. 比對常數項：

   $$\omega_n^2 = 12 \implies \omega_n = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ rad/s} \approx 3.464\text{ rad/s}$$

   （自然頻率依物理定義取正值）

2. 比對 $s$ 的一次項係數：

   $$2\zeta\omega_n = 4 \implies \zeta\omega_n = 2$$

   代入 $\omega_n = 2\sqrt{3}$：

核心觀念

本題考查標準二階系統（Standard Second-Order System）的時域特徵分析。

標準二階系統的轉移函數原型為：

$$T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

其特徵方程式（Characteristic Equation）為：

$$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$$

其中：

1. $\omega_n$：自然頻率（Natural Frequency，未阻尼自然頻率），物理量綱為 $\text{rad/s}$，恆取正實數（$\omega_n > 0$）。
2. $\zeta$：阻尼比（Damping Ratio），為無因次純量。
3. 極點（Poles）：特徵方程式的根，決定系統的暫態響應型態：
   • $\zeta > 1$：兩相異負實根，系統為過阻尼（Overdamped）。
   • $\zeta = 1$：兩相等負實根，系統為臨界阻尼（Critically Damped）。
   • $0 < \zeta < 1$：一對共軛複數根，系統為次阻尼（Underdamped），產生衰減振盪。
   • $\zeta = 0$：一對虛軸共軛根，系統為未阻尼（Undamped），產生持續等幅振盪。

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解題方法

給定轉移函數：

$$G(s) = \frac{4}{s^2 + 10s + 4}$$

1. 求解極點（Poles）

令分母多項式（特徵方程式）為零：

$$s^2 + 10s + 4 = 0$$

利用二次方程式公式求根：

$$s = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 16}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{84}}{2}$$

簡化根號：

$$\sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$$

因此極點為：

$$s_{1, 2} = -5 \pm \sqrt{21}$$

（數值約為 $s_1 \approx -0.4174$，$s_2 \approx -9.5826$）

2. 求解自然頻率（Natural Frequency, $\omega_n$）

核心觀念

本題考查典型二階系統（Standard Second-Order System）的時域特徵參數與極點分佈對系統步階響應型態的影響。

1. 標準二階系統閉迴路轉移函數：

   $$T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

   其中：

   • $\omega_n$ 為**自然頻率（Natural Frequency）**或無阻尼自然頻率（Undamped Natural Frequency），單位為 $\text{rad/s}$。
   • $\zeta$ 為阻尼比（Damping Ratio），為無因次參數。

2. 特徵方程式與極點：
   系統極點由分母多項式（特徵方程式）求得：

   $$\Delta(s) = s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$$

   極點解為：

   $$s_{1, 2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$$

3. 響應型態（Kind of Response）的分類：
   系統對於步階輸入（Step Input）的暫態響應由阻尼比 $\zeta$ 決定：

   • $\zeta > 1$：過阻尼（Overdamped），兩相異負實根，響應無震盪且上升緩慢。
   • $\zeta = 1$：臨界阻尼（Critically Damped），兩相等負實根（重根），系統在無超調（No Overshoot）與無震盪的前提下達到最快收斂。
   • $0 < \zeta < 1$：次阻尼（Underdamped），共軛複數根，伴隨震盪與超越量。
   • $\zeta = 0$：無阻尼（Undamped），純虛數根，等幅持續簡諧震盪。

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解題方法

給定轉移函數為：

$$G(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25}$$

步驟一：求系統極點（Poles）

令轉移函數的分母為零，求特徵方程式之根：

$$s^2 + 10s + 25 = 0$$

因式分解：

$$(s + 5)^2 = 0$$

解得系統極點為負實數重根：

$$s_1 = s_2 = -5$$

核心觀念

本題結合直流馬達的轉矩–轉速特性、外嚙合齒輪的運動比，以及負載慣量與阻尼折算至馬達軸的公式。馬達反電動勢會形成與角速度成正比的等效阻尼，必須和機械阻尼一併納入運動方程。

解題方法

圖中電樞電壓 $E_a$ 經電阻 $R_a$ 驅動馬達；在 $30\ \text{V}$ 下，轉矩–轉速線由堵轉點 $(0,\ 150\ \text{N·m})$ 延伸至無載點 $(90\ \text{rad/s},\ 0)$。機械系統中，馬達側為 $J_1=9$、$D_1=7$、齒輪齒數 $N_1=15$；負載側為 $J_2=25$、$D_2=45$、齒輪齒數 $N_2=80$。

由無載點可求反電動勢常數 $K_b$。無載時電流為零，故：

$$K_b=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}\ \text{V·s/rad}$$

由堵轉點可求 $K_t/R_a$。堵轉時角速度為零，電樞電壓全部用於驅動電流，因此：

$$\frac{K_t}{R_a}=\frac{150}{30}=5\ \text{N·m/V}$$

忽略圖中未標示的電樞電感，馬達電磁轉矩為：

$$T_m(s)=\frac{K_t}{R_a}\bigl(E_a(s)-K_b\Omega_m(s)\bigr) =5E_a(s)-\frac{5}{3}\Omega_m(s)$$

齒輪角位移比的大小為：

$$r=\frac{N_1}{N_2}=\frac{15}{80}=\frac{3}{16}$$

將負載側慣量與阻尼折算至馬達軸，兩者皆乘上齒輪比的平方：

$$J_{\mathrm{eq}} =J_1+J_2r^2 =9+25\left(\frac{3}{16}\right)^2 =\frac{2529}{256}$$ $$D_{\mathrm{eq}} =D_1+D_2r^2 =7+45\left(\frac{3}{16}\right)^2 =\frac{2197}{256}$$

核心觀念

本題探討單位負回授系統（Unity Feedback System）的型態分類（System Type）以及對典型測試訊號的穩態誤差（Steady-state Error, $e_{ss}$）。

1. 系統型態（System Type）：
   定義為開迴路傳遞函數 $G(s)$ 在原點處極點（Pole at origin）的個數 $N$。標準型式寫作：

   $$G(s) = \frac{K \prod (s + z_i)}{s^N \prod (s + p_j)}$$

   其中 $N$ 即為 System Type。

2. 靜態誤差常數（Static Error Constants）：

   • 位置誤差常數（Position Error Constant）： $$K_p = \lim_{s \to 0} G(s)$$
   • 速度誤差常數（Velocity Error Constant）： $$K_v = \lim_{s \to 0} sG(s)$$
   • 加速度誤差常數（Acceleration Error Constant）： $$K_a = \lim_{s \to 0} s^2G(s)$$

3. 各輸入訊號之穩態誤差公式：
   由終值定理（Final Value Theorem）可得：

   • 單位步階輸入（Unit-step input, $R(s) = \frac{1}{s}$）： $$e_{ss,\text{step}} = \frac{1}{1 + K_p}$$
   • 單位斜坡輸入（Unit-ramp input, $R(s) = \frac{1}{s^2}$）： $$e_{ss,\text{ramp}} = \frac{1}{K_v}$$
   • 單位拋物線輸入（Unit-parabolic input, $R(s) = \frac{1}{s^3}$，對應時域輸入 $r(t) = \frac{1}{2}t^2 u(t)$）： $$e_{ss,\text{parabolic}} = \frac{1}{K_a}$$

   註：若拋物線輸入之時域定義為 $r(t) = t^2 u(t)$（即 $R(s) = \frac{2}{s^3}$），則穩態誤差為 $\frac{2}{K_a}$。考試若未特別聲明係數，標準控制工程教材均以 $R(s) = \frac{1}{s^3}$ 定義單位拋物線輸入。

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解題方法

題目給定開迴路傳遞函數為：

$$G(s) = \frac{3(s+4)(s+8)}{s^2(s+3)(s+5)(s+7)}$$

步驟一：判斷系統型態（System Type）

分母含有 $s^2$ 項，表示在 $s=0$ 處有 2 個極點（$N=2$）。
因此，本系統為 Type 2 系統。

步驟二：計算各靜態誤差常數

1. 位置誤差常數 $K_p$：

   $$K_p = \lim_{s \to 0} G(s) = \lim_{s \to 0} \frac{3(s+4)(s+8)}{s^2(s+3)(s+5)(s+7)} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 8}{0^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \infty$$

2. 速度誤差常數 $K_v$：

   $$K_v = \lim_{s \to 0} sG(s) = \lim_{s \to 0} \frac{3(s+4)(s+8)}{s(s+3)(s+5)(s+7)} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 8}{0 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \infty$$

核心觀念

本題考查單位回授系統（Unity-Feedback System）之穩態誤差常數（Static Error Constants）。

1. 系統型別（System Type）：
   開迴路轉移函數 $G(s)$ 在原點處極點（Poles at $s = 0$）的個數，代表系統型別。本題 $G(s)$ 分母含有 $s^2$，故此為Type 2 系統。
2. 加速度誤差常數（Acceleration Error Constant, $K_a$）定義：
   對於單位負回授系統（$H(s) = 1$），加速度誤差常數定義為： $$K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s)$$ 此常數決定系統面對拋物線輸入（Parabolic input, $r(t) = \frac{1}{2}t^2 u(t)$）時的穩態誤差 $e_{ss} = \frac{1}{K_a}$。

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解題方法

已知開迴路轉移函數為：

$$G(s) = \frac{K(s+7)(s+2)(s+5)(s+4)}{s^2(s+6)(s+8)(s+3)}$$

步驟一：套用 $K_a$ 定義式

$$K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s) = \lim_{s \to 0} s^2 \cdot \left[ \frac{K(s+7)(s+2)(s+5)(s+4)}{s^2(s+6)(s+8)(s+3)} \right]$$

步驟二：消去分母與分子之 $s^2$ 項並取極限

$$K_a = \lim_{s \to 0} \frac{K(s+7)(s+2)(s+5)(s+4)}{(s+6)(s+8)(s+3)}$$

將 $s = 0$ 代入：

$$K_a = \frac{K \cdot (7) \cdot (2) \cdot (5) \cdot (4)}{(6) \cdot (8) \cdot (3)}$$

核心觀念

本題考兩質塊以彈簧與阻尼器連接時，如何依牛頓第二定律建立運動方程，再經拉氏轉換求傳遞函數。兩質塊之間的彈簧力與阻尼力，取決於兩質塊的相對位移與相對速度。

解題方法

令向右為正方向，並假設系統初始靜止。由圖可知，$K_1$ 與 $f_{v_1}$ 分別連接 $M_1$ 和地面；$K_2$ 與 $f_{v_2}$ 並聯連接兩質塊；$f_{v_3}$ 連接 $M_2$ 和地面。

對 $M_1$ 使用牛頓第二定律：

$$M_1\ddot{x}_1 = -K_1x_1-f_{v_1}\dot{x}_1 +K_2(x_2-x_1)+f_{v_2}(\dot{x}_2-\dot{x}_1)$$

代入參數並整理：

$$7\ddot{x}_1+8\dot{x}_1+10x_1 = 3\dot{x}_2+6x_2$$

對 $M_2$ 使用牛頓第二定律：

$$M_2\ddot{x}_2 = f(t)-f_{v_3}\dot{x}_2 +K_2(x_1-x_2)+f_{v_2}(\dot{x}_1-\dot{x}_2)$$

代入參數並整理：

$$4\ddot{x}_2+11\dot{x}_2+6x_2 -3\dot{x}_1-6x_1 = f(t)$$