111 年 國立中正大學光機電整合工程研究所《半導體元件物理》

本題主要在探討半導體的光學特性，特別是直接能隙 (direct-bandgap) 與間接能隙 (indirect-bandgap) 材料在光子發射與吸收過程上的差異。

核心觀念：

• 能帶結構 (Band Structure): 固體材料中電子的能量狀態分佈。價帶 (valence band) 和導帶 (conduction band) 之間的能量差稱為能隙 (bandgap, $E_g$)。
• 動量 (Momentum): 在晶體中，電子的動量通常用波向量 $\mathbf{k}$ 來表示。
• 光子 (Photon): 光的粒子，其能量為 $E_{ph} = hf = \frac{hc}{\lambda}$，其中 $h$ 是普朗克常數，$f$ 是頻率，$c$ 是光速，$\lambda$ 是波長。

詳解：

a. 直接能隙 (Direct-Bandgap) 與間接能隙 (Indirect-Bandgap) 材料

• 直接能隙材料： 在其能帶結構圖中，價帶頂部 (valence band maximum, VBM) 的 $\mathbf{k}$ 值與導帶底部 (conduction band minimum, CBM) 的 $\mathbf{k}$ 值相同。這意味著電子從價帶躍遷到導帶時，其動量變化量很小，幾乎為零。

  • 例如：GaAs, InP, GaN。

• 間接能隙材料： 在其能帶結構圖中，價帶頂部 (VBM) 的 $\mathbf{k}$ 值與導帶底部 (CBM) 的 $\mathbf{k}$ 值不同。這意味著電子從價帶躍遷到導帶時，需要很大的動量變化。

  • 例如：Si, Ge。

b. 帶間光學發射 (Inter-band Optical Emission) 與吸收 (Absorption) 過程

• 光學吸收 (Optical Absorption):
  • 當一個光子入射到半導體材料時，如果其能量 $E_{ph}$ 大於或等於材料的能隙 $E_g$，則電子可以吸收光子的能量，從價帶躍遷到導帶，形成一個電子-電洞對 (electron-hole pair)。

本題考查半導體的基本參數計算，包括擴散係數、電流計算以及光學吸收與載子產生。

核心觀念：

• 愛因斯坦關係式 (Einstein Relation): 擴散係數 $D$ 與載子遷移率 $\mu$ 之間存在關聯：$D = \mu \frac{kT}{q}$。
• 歐姆定律 (Ohm's Law): 電流 $I = \sigma A \frac{V}{L}$，其中 $\sigma$ 是電導率， $A$ 是截面積，$L$ 是長度，$V$ 是電壓。電導率 $\sigma = q n \mu_n + q p \mu_p$。
• 光電導效應 (Photoconductivity): 當光照射到半導體時，若光子能量大於能隙，則會產生電子-電洞對，增加載子濃度，進而增加電導率。
• 吸收係數 (Absorption Coefficient, $\alpha$)： 表示光在材料中傳播時，強度隨距離衰減的程度。
• 光功率與載子產生率： 入射光功率 $P_{in}$ 經吸收後，產生的電子-電洞對數量與吸收光功率、能隙、材料性質有關。

已知條件：

• 能隙 $E_g = 0.5$ eV
• 本質載子濃度 $N_i = 10^{14}$ cm$^{-3}$
• 溫度 $T = 300$ K
• 電子遷移率 $\mu_n = 8000$ cm$^2$/V-s
• 電洞遷移率 $\mu_p = 4500$ cm$^2$/V-s
• 玻爾茲曼常數 $k = 1.38 \times 10^{-23}$ J/K
• 電子電荷 $q = 1.602 \times 10^{-19}$ C
• 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J-s
• 光速 $c = 3 \times 10^8$ m/s

計算常數：

• $\frac{kT}{q}$ 在 300 K 時約為 $0.0259$ V $\approx 0.026$ V。

詳解：

(a) 電子與電洞擴散係數

根據愛因斯坦關係式：
$D_n = \mu_n \frac{kT}{q}$
$D_p = \mu_p \frac{kT}{q}$

代入已知數值：
$D_n = 8000 \, \text{cm}^2/\text{V-s} \times 0.026 \, \text{V} = 208 \, \text{cm}^2/\text{s}$
$D_p = 4500 \, \text{cm}^2/\text{V-s} \times 0.026 \, \text{V} = 117 \, \text{cm}^2/\text{s}$

【答案】電子擴散係數 $D_n = 208 \, \text{cm}^2/\text{s}$，電洞擴散係數 $D_p = 117 \, \text{cm}^2/\text{s}$。

(b) 施加 10 V 電壓時的電流

首先計算材料的電導率 $\sigma$。由於題目未說明是 P 型或 N 型，且未給定摻雜濃度，但給了本質載子濃度 $N_i$，且沒有提到額外的雜質濃度，我們暫且假設此材料為本質半導體 (intrinsic semiconductor)，此時 $n = p = N_i$。

電導率 $\sigma = q N_i (\mu_n + \mu_p)$
$\sigma = (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (10^{14} \, \text{cm}^{-3}) \times (8000 \, \text{cm}^2/\text{V-s} + 4500 \, \text{cm}^2/\text{V-s})$
$\sigma = (1.602 \times 10^{-5} \, \text{C/cm}^3\text{-V-s}) \times (12500 \, \text{cm}^2/\text{V-s})$
$\sigma = 0.20025 \, \text{S/cm}$

接下來計算電阻 $R$：
電阻率 $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{0.20025 \, \text{S/cm}} \approx 4.99 \, \Omega\text{-cm}$

題目給的 bar 尺寸：
截面積 $A = 100 \, \mu\text{m}^2 = 100 \times (10^{-4} \, \text{cm})^2 = 100 \times 10^{-8} \, \text{cm}^2 = 10^{-6} \, \text{cm}^2$
長度 $L = 10 \, \mu\text{m} = 10 \times 10^{-4} \, \text{cm} = 10^{-3} \, \text{cm}$

電阻 $R = \rho \frac{L}{A} = (4.99 \, \Omega\text{-cm}) \times \frac{10^{-3} \, \text{cm}}{10^{-6} \, \text{cm}^2} = 4.99 \times 10^3 \, \Omega = 4.99 \, \text{k}\Omega$

施加的電壓 $V = 10$ V。
根據歐姆定律，電流 $I = \frac{V}{R} = \frac{10 \, \text{V}}{4.99 \times 10^3 \, \Omega} \approx 2.004 \times 10^{-3} \, \text{A} = 2.004 \, \text{mA}$

重要說明： 如果題目假設此材料是摻雜半導體，且給定的 $N_i$ 僅為本質載子濃度，則需要額外的摻雜濃度資訊。但根據題意，最合理的解釋是將其視為本質半導體，或至少在該操作條件下，本質載子濃度是主要的貢獻者。如果該材料被高度摻雜，則必須使用摻雜濃度來計算 $n$ 和 $p$。但由於沒有給出，我們採用本質半導體的計算。

本題要求計算锗 (Ge) P-N 接面的內建電位 (built-in potential barrier)。

核心觀念：

• 內建電位 ($V_{bi}$)： 在 P-N 接面形成時，由於擴散作用，電子從 N 區擴散到 P 區，電洞從 P 區擴散到 N 區，在接面附近形成一個耗盡區 (depletion region)。耗盡區中存在一個由固定離子所形成的內建電場，這個電場對載子起到阻礙作用，形成內建電位。
• 內建電位的計算公式：
  $V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_a N_d}{N_i^2}\right)$
  其中：
  • $k$ 是玻爾茲曼常數 ($1.38 \times 10^{-23}$ J/K)。
  • $T$ 是絕對溫度 (K)。
  • $q$ 是電子電荷 ($1.602 \times 10^{-19}$ C)。
  • $N_a$ 是 P 區的受質濃度 (acceptor concentration)。
  • $N_d$ 是 N 區的施質濃度 (donor concentration)。
  • $N_i$ 是本質載子濃度 (intrinsic carrier concentration)。

已知條件：

• 溫度 $T = 300$ K
• 受質濃度 $N_a = 10^{15}$ cm$^{-3}$ (P 區)
• 施質濃度 $N_d = 10^{12}$ cm$^{-3}$ (N 區)
• 本質載子濃度 $N_i = 10^{10}$ cm$^{-3}$

計算：
首先計算 $\frac{kT}{q}$ 在 300 K 時的值：

本題主要考查金屬與 N 型半導體接面的能帶圖繪製，包含歐姆接觸 (ohmic contact) 和蕭特基接觸 (Schottky contact) 的形成條件，以及蕭特基接面在逆偏 (reverse bias) 和順偏 (forward bias) 下的能帶行為。

核心觀念：

• 功函數 (Work Function, $\phi$)： 電子從費米能階 (Fermi level) 躍遷到真空能階所需的最小能量。
• 電子親和勢 (Electron Affinity, $\chi$)： 電子從導帶底躍遷到真空能階所需的能量。
• 費米能階 ($E_F$)： 在絕對零度時，電子佔據的最高能階。在有限溫度下，是電子被佔據機率為 1/2 的能階。
• 能帶彎曲 (Band Bending)： 當兩種材料接觸時，若其功函數不同，費米能階會對齊，導致其中一種材料的能帶發生彎曲，形成接面電位。
• 歐姆接觸： 電流-電壓特性呈現線性關係，即電阻很小，對載子注入沒有阻礙。通常發生在金屬功函數與半導體功函數（或電子親和勢，取決於摻雜濃度）接近時，或者半導體被高度摻雜時。
• 蕭特基接觸： 電流-電壓特性呈現非線性，會形成能帶彎曲，並存在一個勢壘 (barrier)，阻礙載子流動。
• 勢壘高度 ($\phi_B$ 或 $E_{Bn}$)： 蕭特基接面中，載子克服的能量障礙。對於金屬-N 型半導體，其勢壘高度與金屬功函數、半導體電子親和勢和半導體功函數有關。
• 內建電位 ($V_{bi}$)： 蕭特基接面形成時，由於功函數差引起的費米能階對齊所產生的電位差。
• 偏壓 (Bias)： 外加電壓，會改變接面處的電場和載子分佈。

基本定義與關係：

• 金屬功函數：$\phi_m$
• 半導體功函數：$\phi_s = \chi + (E_c - E_F)_s$
• 半導體電子親和勢：$\chi$
• 費米能階與導帶底的能量差：$(E_c - E_F)_s$
• 勢壘高度 (對 N 型半導體)：$\phi_{Bn} = \phi_m - \chi$ (理想情況，忽略介面態和摻雜濃度影響)
• 內建電位 (對 N 型半導體)：$V_{bi} = \phi_m - \phi_s$ (理想情況)
  • 在 N 型半導體中，若雜質濃度不高，費米能階接近導帶底，則 $\phi_s \approx \chi$。此時 $V_{bi} \approx \phi_m - \chi = \phi_{Bn}$。
  • 若 N 型半導體濃度很高，費米能階接近導帶底，則 $\phi_s \approx \chi$。
  • 更精確的關係：$V_{bi} = \phi_m - \phi_s = \phi_m - (\chi + E_{Fn,bulk} - E_{c,bulk}) = (\phi_m - \chi) - (E_{c,bulk} - E_{Fn,bulk}) = \phi_{Bn} - (E_{c,bulk} - E_{Fn,bulk})$。

繪製能帶圖的步驟：

1. 繪製獨立的金屬和 N 型半導體能帶圖，標示出真空能階 ($E_v$)、導帶底 ($E_c$)、價帶頂 ($E_v$) 和費米能階 ($E_F$)。
2. 根據金屬與半導體的功函數關係，判斷接觸後的能帶彎曲方向。
3. 接觸後，費米能階必須對齊。
4. 形成耗盡區，能帶彎曲。

繪製圖例：

• 金屬 (Metal): 功函數 $\phi_m$。
• N 型半導體 (n-type semiconductor):
  • 電子親和勢 $\chi$。
  • 功函數 $\phi_s = \chi + (E_c - E_F)_s$。
  • 在 N 型半導體中，費米能階 $E_F$ 靠近導帶底 $E_c$。

(a) 理想金屬-N 型半導體接面：歐姆接觸與蕭特基接觸

• 歐姆接觸 (Ohmic Contact):

  • 形成條件：
    1. 金屬功函數 $\phi_m$ 與 N 型半導體的電子親和勢 $\chi$ 非常接近，即 $\phi_m \approx \chi$。
    2. N 型半導體被高度摻雜 ($N_d$ 很大)，使得費米能階非常接近導帶底。此時 $\phi_s \approx \chi$。
    3. 若 $\phi_m < \phi_s$ (或 $\phi_m < \chi$)，則金屬功函數小於半導體功函數，形成歐姆接觸。
  • 能帶圖：
    • 獨立材料： 金屬的 $E_F$ 與半導體的 $E_F$ 在同一水平。金屬的真空能階比半導體的真空能階低（因為 $\phi_m < \phi_s$）。
    • 接觸後： 費米能階對齊。由於 $\phi_m < \phi_s$，半導體的導帶底和價帶頂在接面處會向上彎曲，但彎曲程度很小，接近平直。耗盡區寬度 $W$ 非常窄。
    • 繪製：
      • 畫獨立金屬和 N 型半導體。
      • 接觸後，畫一條水平的費米能階線。
      • 半導體的 $E_c$ 和 $E_v$ 在接面處輕微向上彎曲。
      • 標示：$\phi_m$, $\phi_s$, $\chi$, $E_F$, $E_c$, $E_v$, $W$ (極小)。

• 蕭特基接觸 (Schottky Contact):

  • 形成條件：
    1. 金屬功函數 $\phi_m$ 與 N 型半導體的功函數 $\phi_s$ 有顯著差異。